1993考研数一真题及解析.docx
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1993考研数一真题及解析
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
1
⑴函数F(x)=[(2-p)dt(XAO)的单调减少区间为.
⑵由曲线3X2y=12,绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0「3,、.2)处的指
/=0
向外侧的单位法向量为.
⑶设函数f(X)-二XX2(-二:
:
X:
:
二)的傅里叶级数展开式为
a^+Z(ancosnx+bnSinnx),则其中系数b3的值为
2n4
(4)设数量场u=lnJx2+y2+z2,贝卩div(gradu)=.
⑸设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n-1,则线性方程组Ax=0的
通解为二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
sinxq/
(1)设f(x)=[sin(t)dt,g(x)=x+x则当xt0时,f(x)是g(x)的()
(A)等价无穷小(B)同阶但非等价无穷小(C)高阶无穷小(D)低阶无穷小
⑵双纽线(x2y2)2=x2-y2所围成的区域面积可用定积分表示为()
(A)2(4cos2日d日(B)4『cos2日d日
1x-y=6
与L2:
则L1与L2的夹角为()
(2y+z=3
(C)204.:
cos2rdr(D)1.04(cos2"2dr
⑶设有直线□二口二口
1-21
jiji
(A)—(B)-
64
jtji
(C^-(D)-
32
⑷设曲线积分Jf(x)-ex]sinydx-f(x)cosydy与路径无关,其中f(x)具有一阶
连续导数,且f(0)=0,则f(x)等于()
-XXX-X
e—ee—e
(A)--(B)e—
22
xx
ee_
2
xx
亠e+e_
(C)PT21(D)]1⑸已知Q=24t,P为三阶非零矩阵,且满足PQ=0,则
L369;
(A)t=6时,P的秩必为1(B)t=6时,P的秩必为2
(C)t=6时,P的秩必为1(D)t=6时,P的秩必为2
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)
21
(1)求lim(sincos—)x.
Fxxx
⑵求dx.
.e-1
y|x4=1的特解.
(3)求微分方程x2y•xy二y2,满足初始条件
四、(本题满分6分)
计算ii2xzdydz,yzdzdx-z2dxdy,其中二是由曲面z二色x2y2与z=;2-x2-y2所围立体的表面外侧.
(1)设在[0「:
)上函数f(x)有连续导数,且f(x)-k•0,f(0):
:
:
0,证明f(x)在
(0,+二)内有且仅有一个零点
⑵设b-a,e,证明abba.
七、(本题满分8分)
已知二次型f(x1,x2,x3^2x23x;■3xf■2ax2x3(a-0),通过正交变换化成标
准形f二y:
Jy;5ys,求参数a及所用的正交变换矩阵.
八、(本题满分6分)
设A是nm矩阵,B是mn矩阵,其中n”:
m,E是n阶单位矩阵,若AB=E,
证明B的列向量组线性无关
九、(本题满分6分)
设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动•物体B从点(-1,0)与A同时出发,其速度大小为2v,方向始终指向A,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件•
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分,把答案填在题中横线上.)
(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为.
⑵设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量Y=X2在(0,4)内的概率分
布密度fY(y)=.
十、(本题满分6分)
1
设随机变量X的概率分布密度为f(x)=—e^X:
:
.
2
(1)求X的数学期望E(X)和方差D(X).
⑵求X与|X|的协方差,并问X与|X|是否不相关?
(3)问X与|X|是否相互独立?
为什么?
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
1
(1)【答案】0—
4
【解析】由连续可导函数的导数与0的关系判别函数的单调性
1
若函数F(x)严格单调减少,则F(x)=2—0,即、x
两边对x求导,得F(x)=2-旷-<0,即、xJ.
2
1
所以函数F(x)单调减少区间为0”:
x乞1.
【相关知识点】函数的单调性:
设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.
(1)如果在(a,b)内f(x)*0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加;
(2)如果在(a,b)内f(x):
:
:
0,那么函数y二f(x)在[a,b]上单调减少.
(2)【答案】1B,、2,,3?
75
【解析】先写出旋转面S的方程:
3(x2z2)-2y2=12.
令F(x,y,z)=3(x2z2)2y2-12.
则S在点(x,y,z)的法向量为
F;:
F;:
F
n,,6x,4y,6z』,
J■x;:
y:
工
所以在点(o,••.3八2)处的法向量为
n=10,4.3,6'、2心2〈0,2'3,3、.2?
.
xsin3xdx为偶函数所以
u
:
x
1
■.x2y2z2
12x
2\x2y2z2
x
由对称性知
⑸【答案】k(1,1,川,1)T
【解析】因为r(A)二n-1,由n-r(A)=1知,齐次方程组的基础解系为一个向量
故Ax=0的通解形式为k.下面根据已知条件“A的各行元素之和均为零”来分
各行元素的和均为0,即
析推导Ax=0的一个非零解,它就是Ax=0的基础解系.
31^31^=0
a21+a22111+a2n=0
,
而齐次方程组Ax=0为
311人戸由312322%1片七吕仆天n0=0a21x1*a22x2+[||*a2nxn=0
iiiiiHiiinniHiiiHiiiiiiHiii.
两者比较,可知M=X2=川¥.1为1是nAx^0的解n.所以应填k(1,1,|H,1)T.
、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(B)
所以f(x)与g(x)是同阶但非等价的无穷小量.应选(B).
【相关知识点】无穷小的比较:
设在同一个极限过程中「(x)「(x)为无穷小且存在极限
P(x)
(1)若1=0,称〉(x),:
(x)在该极限过程中为同阶无穷小;
⑵若1=1,称〉(x),:
(x)在该极限过程中为等价无穷小,记为〉(x)U:
(X);
⑶若1=0,称在该极限过程中:
(x)是:
(x)的高阶无穷小,记为
(2)【答案】(A)
(4)【答案】(B)
【解析】在所考察的单连通区域上,该曲线积分与路径无关=
aa
一((f(x)_ex)siny)=—(_f(x)cosy),
:
yx
即(f(x)_ex)cosy_-f(x)cosy,
化简得f(x)f(x)=ex,即||exf(x)=e2x,
解之得exf(x^1e2xC,所以f(x^e^(1e2xC).
22
由f(0)=0得C=二,因此f(x)-e「,故应选(B).
【相关知识点】曲线积分[Pdx+Qdy在单连通区域内与路径无关的充分必要条
件是
;卩_:
Q
.:
y;:
x
⑸【答案】(C)
【解析】若A是mn矩阵,B是ns矩阵,AB=0,则r(A)r(B)空n.
当t=6时,矩阵的三行元素对应成比例,r(Q)=1,有r(P)r(Q)空3,知
r(P)乞2,
所以,r(P)可能是1,也有可能是2,所以(A)、(B)都不准确;
当t=6时,矩阵的第一行和第三行元素对应成比例,r(Q)=2,于是从
r(P)r(Q)乞3得r(P)乞1,又因P=0,有r(P)_1,从而r(P)=1必成立,所以应当选(C).
1
(1)【解析】令一二t,则当X—-■时,t-;0,
x
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)
21-lim(sincos-)x=IJm(sin2tcost)t,
sin2t*cost二
这是1-型未定式,
1
lim(sin2tcost)t=lim(1sin2tcost-1)sin2tcostJ
1
而ltm(1+sin2t+cost-1啓沁°心是两个重要极限之一,即
1
lim(1sin2tcost-1)sin2tcost^-e.
sin2t"cost-1sin2t"cost-1
所以lim(sin2tcost)t=帆
limtU-0t
et=e^t.
2cos2t-sint
洛lim012,
2
二e.
[xedx=2[xdJex—1=2xjex一1_2\Jex_1dx.Jex—1令.ex-1=t,则x=ln(t21),dx二2tdt
所以,厂dx二t翌
Lt2+1
sin2tcost-1而lim
t】0
2
故lim(sin
jx
(2)【解析】
t
1x
cos)
x
方法一:
2
21
t21
=2=dt=2(1-弋)dt
,t2+1Lt2+1
=2t-2arctantC=2.ex-1-2arctan.ex-1C,
x
xe
所以.ex/je—二血
=2x\e-1-4;ex-14arctan:
ex-1C.
v.ex-1
方法二:
令..ex-1=t,贝Uex=t21,x=ln(t21),dx^dt-
oot2+1
(t21)ln(t2"具dtQnLDdttt2+1\
t2
222
-2tln(t1)—2tdln(t1)=2tln(t1)-4二dt.
x
所以f—dx=
LVex-1
t2t1
关于亠dt的求解同方法一,所以
€+1
x
「¥—dx=2tIn(t2+1)—4(t—arctant)+C
ex-1
=2x.ex-1-4;ex-14arctan:
ex-1C.
(3)【解析】解法一:
所给方程为伯努利方程,两边除以y2得
x2yQyxy』=1,即_x2(y」)xy」=1.
11
令y'二z,则方程化为-x2z*xz=1,即z--z~2,
xx
即,二,
xx积分得ZC.
x2
11
由y'=z得x^C,
xy2
2x
12Cx2,
代入初始条件y|x^1,得
解法二:
所给方程可写成
12x
C二丄,所以所求方程的特解是y二二.
21x2
y>(y)2-y的形式,此方程为齐次方程.
xx
u•xu,所以方程可化为
积分得丄1门
2
以y丸
x
故特解为y=
1+x
四、(本题满分6分)
uxu=u2-u,分离变量得一du空
u(u-2)xu-22
=In|x|C1,即Cx.
u
u—2
代入上式,得y—2x=Cx2y.代入初始条件
2x
2・
ylxj-1,得c--1,
【解析】将I表成I二PdydzQdzdx-Rdxdy,则
y
一卩;:
Q-;R,
2zz-2z=z.
:
x;:
y;z
又三是封闭曲面,可直接用高斯公式计算•
记二围成区域Ix见草图匸取外侧,由高斯公式得
…住PcQcR'
Iff丁+丁
dxdycz
I
用球坐标变换求这个三重积分.
dV=川zdV.
Q
在球坐标变换下为:
0_二_2二,0,0一二八2,于是
4
2兀卫J22
I=zdV二小4d「cos二sind-
"0-0-0
Q
=2~
4sindsin
0二0
如J—_20_40
23
一注T
=2二—
4
JI
1=一
2
五、(本题满分7分)
【解析】先将级数分解,
(-1)n(n2-n1)_J:
(-1)nn(n-1)
-—二2n
□0
A八
nz0
第二个级数是几何级数
2n
,它的和已知001
*2)
n=02
求第一个级数的和转化为幕级数求和
田1
、(E)n.
n=0
12
13.
1-(-1)3•考察2
1
(|x卜:
1).
所以J
n=0
鮎n
:
:
n10
S(x)八(-1)nn(n-1)xn‘
(-1)nn(n-1「丄S(1、_]_
_22
(2)一4J)327
2
n
x
J+x
Y(-1)啜)n=0
24
(1x)3'
2n
因此原级数的和A=—-
273
22
27
六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)
(1)【解析】证法一:
由拉格朗日中值定理可知,在(0,x)存在一点•,使得
f(x)-f(O)=f()(x-O)=xf(),
即f(x)二xf()f(0).
因为f(J—k・0所以当x—上」时,)一「",故f(x)—•.
由f(0)<0,所以在(0,x)上由介值定理可知,必有一点•(0,x)使得f()=0.又因为f(J-k•0,故f(x)为严格单调增函数,故值唯一.
证法二:
用牛顿-莱布尼兹公式,由于
xx
f(x)二f(0)of(t)dt_f(0).0kdt二f(0)kx,
以下同方法1.
(2)【解析】先将不等式做恒等变形:
因为bae,故原不等式等价于blnaalnb或——.
ab
a
证法一:
令f(x)二xlna-aInx,(xae),贝Uf(x)=Ina.
x
aa
因为xae所以lna1,1,故f(x)=lna0.
xx
从而f(x)在xae时为严格的单调递增函数,故f(x)・f(a)=0,(xae).
由此f(b)=blna-alnb0,即卩abba.
证法二:
令f(x)=(xe),贝Uf(x)=1__.
xx
当x(e/:
=)时,f(x)<0,所以f(x)为严格的单调递减函数,故存在bae
00X
3a,它的特征方程是
a、3丿2
(和~'2)(*—6'■9-^a)=0.
成立.即abba.
七、(本题满分8分)
2
【解析】写出二次型f的矩阵为A=0一200。
|人E—A|=0人一3-a
0-a几一3
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f经正交变换化成标准形f二y;•2y;-5y;,那么标准形中平方项的系数1,2,5就是A的特征值.
把’=1代入特性方程,得a2-4=0=a=2.
f200、
项都是二次的多项式)
nn
f为,X2,Hl,Xn'QjXiXj,其中aj二a「
称为n元二次型.令Xh[x,,X2,|l(,XnT,A=[aij,则二次型可用矩阵乘法表示为
fX1,X2,||),Xn]=XTAX,
其中A是对称矩阵AT=A,称A为二次型fX1,X2川,Xn的矩阵.
八、(本题满分6分)
【解析】证法一:
对B按列分块,记B=(l「2」'n)若
证法二:
因为B是mn矩阵,n:
:
:
m,所以r(B)-n.
又因r(B)—r(AB)=r(E)=n,故r(B)=n.所以、,学川G线性无关.
【相关知识点】1.向量组线性相关和线性无关的定义:
存在一组不全为零的数ki,k2,|||,km,使k^:
1k^km^0,则称〉1,〉2,IHm线性相关;否则,称
〉1,〉2,lH,〉m线性无关.
2.矩阵乘积秩的结论:
乘积的秩小于等于单个矩阵的秩
九、(本题满分6分)
【解析】如图,设当A运动到(0,Y)时,B运动到(x,y).y”
由B的方向始终指向A,有dy=y—丫,即卩/
初始条件显然是y(T)=0,y(T)=1.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分,把答案填在题中横线上.)
(1)【解析】可以用古典概型,也可以用抽签原理.
方法一:
从直观上看,第二次抽出次品的可能性与第一次抽到正品还是次品有关所以考虑用全概率公式计算.
2—10
121112116
设事件By“第i次抽出次品”i=1,2,由已知得卩宀尸仁冃即二任次抽得次品的概率相同,都是-^1.
126
(2)【解析】方法一:
可以用分布函数法,即先求出分布函数,再求导得到概率密度
函数.
由已知条件,X在区间(0,2)上服从均匀分布,得X的概率密度函数为
丄,0cxc2Fx(x)=2’
[o,其它2
先求F的分布函数Fy(y)-P(Y乞y)-P(X2乞y).
FY(y)=P〈Y_yl=P〈X2_yl"、-、..〒_X_,y/y-0y1
=嘉卩乂甲弋严打即Fy(y)=也
当y<0时,Fy(y)=0;当y一4时Ey)=1;当0”:
:
4时,
丄dx=2
22
.0cyv4,
2
于是,对分布函数求导得密度函数
I—,0vyc4
fY(y)二FY(y)=4;y
故随机变量Y=X2在(0,4)内的概率分布密度fy器=丄.
4jy
方法二:
也可以应用单调函数公式法.
由于y=x2在(0,4)内单调,反函数x=h(y)二■.y在(0,2)内可导,且导数
1
h(y)二一一恒不为零,因此,由连续型随机变量函数的密度公式,得到随机变量Y2卜
的概率密度为
11(1
_,0£y£4,,0cyc4,
24.y
0,其他•
」(小估(川,°”:
4=2+
[0,其他0其他
故随机变量Y=X2在(0,4)内的概率分布密度'fY(y)-——.
4jy
1、(本题满分6分)
【解析】
(1)第一问是常规问题,直接运用公式对其计算可得期望与方差•
-be空X4
x
(因为被积函数-e疋口奇
2D(X)=fx2f(x)dx=f
E(X)二._xf(x)dxe*dx=0.
屈日主函数,积分区域关于2y轴对称,所以积分值为0.)
'a
1:
:
2
2'''':
一e4xdx
:
2
-be21-be2
x2e卡1dx偶函数积分的性质2x2e^dx
2J0
说7A版优质实用文档幺
[x'e^dx=—x2e»xe」dx
=2(-xe~产+0”e」dx)
(2)根据协方差的计算公式|X|)-E(X)E(|X|)来计算协方差.
Xe"dx=0,所以
E(X|X|)—0E(|X|)=E(X|X|)
x|x|f(x)dxx|x|eQdx=0.
/
(因为被积函数2lx|e»是奇函数,积分区域关于y轴对称,所以积分值为0.)所以X与|X|不相关.
(3)方法一:
对于任意正实数a(0:
:
:
a:
:
:
=),事件「|X|:
:
:
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