06第六节多元函数的极值及其求法docx.docx
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第六节多元函数的极值及其求法
在实际问题中,我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题.与一元两数的情形类似,多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切的联系.下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题.
分布图示
★
引例
★二元函数极值的概念例1・3
★
极值的必要条件
★极值的充分条件
★
求二元函数极值的一般步骤
★例4
★
例5
★
求最值的一般步骤
★例6
★
例7
★例8
★
例9
★例10
★
例11
★
条件极值的概念
★
拉格郎H乘数法
★
例12
★例13
★
例14
★例15
★
例16
*数学建模举例
★线性冋归问题
★线性规划问题
★内容小结★课堂练习
★习题6-6
内容提要:
一、二元函数极值的概念
定义1设函数z=/(兀刃在点(勺,北)的某一邻域内有定义,对于该邻域内异于(兀°,%)的任意一点(兀,刃,如果
/(兀,刃(兀0,%),
则称函数在(兀(),儿)有极大值;如果
/(兀,刃>/(兀0,%),
则称函数在(心,北)有极小值;极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值
点.
定理1(必要条件)设函数z=/(X,y)在点(兀0,北)具有偏导数,.目.在点(兀0,);0)处有极
值,则它在该点的偏导数必然为零,即
fx(无),y())=0,fy(心,y())=0.(6.1)
与一元函数的情形类似,对于多元函数,凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的
驻点.
定理2(充分条件)设函数z二f(x,y)在点(兀,儿)的某邻域内有直到二阶的连续偏导数,又人(心儿)"'人(兀0』0)=。
•令
fxx(xQ,yQ)=A,4(x0,j0)=B,/,v(x0,y0)=C.
(1)当AC-B2>0时,函数/(x,y)在(兀°,%)处有极值,
且当A>0时有极小值/(x0,y0);A<0时有极大值/(勺,儿);
(2)当AC-B2<0时,函数f(x,y)在(兀(),儿)处没有极值;
(3)当AC-B2=0时,函数f(x,y)在(兀0,凡)处可能有极值,也可能没有极值.
根据定理1与定理2,如果函数/(x,y)具有二阶连续偏导数,则求z=/(兀』)的极值的一般步骤为:
第一步解方程组久(兀,〉,)=0,人(兀,刃=0,求出/(x,y)的所有驻点;
第二步求出函数/(x,y)的二阶偏导数,依次确定各驻点处A、B、C的值,并根据
AC-B2的符号判定驻点是否为极值点.最后求出函数/(x,j)在极值点处的极值.
二、二元函数的最大值与最小值
求函数/(兀,刃的最大值和最小值的一般步骤为:
(1)求函数/(X,y)在D内所有驻点处的函数值;
(2)求/(x,y)在£>的边界上的最大值和最小值;
(3)将前两步得到的所有函数值进行比较,其屮最大者即为最大值,最小者即为最小值.在通常遇到的实际问题中,如杲根据问题的性质,可以判断出函数/(x,y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得,而函数/(x,y)在D内只有一个驻点,则可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x,y)在D上的最大值(最小值).
三、条件极值拉格朗日乘数法
前面所讨论的极值问题,对于函数的自变量一般只要求落在定义域内,并无其它限制条件,这类极值我们称为无条件极值.但在实际问题中,常会遇到对函数的自变量还有附加条件的的极值问题.对自变量有附加条件的极值称为条件极值.
拉格朗日乘数法
设二元函数f(x,y)和0(x,y)在区域D内有一阶连续偏导数,则求z=fg刃在D内满足条件gy)=0的极值问题,可以转化为求拉格朗H函数
L(x,y,2)=f(x,y)+A(p(x,y)
(其中2为某一常数)的无条件极值问题.
于是,求函数z=/(兀』)在条件°(九刃=0的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为:
(1)构造拉格朗H函数
L(x,y,A)=f(x,y)+y)
其屮2为某一常数;
(2)由方程组
Lx=fx(兀,y)+九 L入—0(兀,y)=0 解出x,y,A,其中x』就是所求条件极值的可能的极值点. 注: 拉格朗tl乘数法只给出函数取极值的必要条件,因此按照这种方法求出来的点是否为极值点,还需要加以讨论.不过在实际问题中,往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点. 拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形: 四、数学建模举例 例题选讲: 二元函数极值的概念 例1(E01)函数z=2x2+3y2在点(0,0)处有极小值.从几何上看,z=lx1+3y2表示一开口向上的椭圆抛物而,点(0,0,0)是它的顶点.(图7-6-1). 例2(E02)函数z二-+>,2在点(0,0)处有极大值.从几何上看,z二-+>,2表示一开口向下的半圆锥面,点(0,0,0)是它的顶点.(图7-6-2). 例3(E03)函数z=/-x2在点(0,0)处无极值.从儿何上看,它表示双曲抛物面(马鞍面)(图7-6-3) 例4(E04)求函数/(x,y)=? -y3+3x2+3y2-9x的极值. 解先解方程组解得驻点为(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2). 再求出二阶偏导数(x,y)=6x+6,fxy(x,y)=0,fyyXx,y)=-6y+6. 亠一9[fXx,y)=3x2+6x-9=0 在点(1,0)处,AC—b2=12・6>0,又彳9,A>0, 厶a)2-3),2+6)=0 故函数在该点处有极小值/(1,0)=-5; 在点(1,2)处,(-3,0)处,AC-B2=-12-6<0,故函数在这两点处没有极值; 在点(-3,2)处,AC-B2=-U-(-6)>0,又Av0,故函数在该点处有极大值/(-3,2)=31. =-(l+ev)sinx=0 =e? v(cosx-l-y)=0 x=k兀 尸(_护_1伙wZ)・ 例5证明函数z=(1+ey)cosx-yey有无穷多个极大值而无一极小值. 又A=z: .=-(l+o')cos七B=zxy=-eysinx,C=z;.=ey(cosx-2-y). 在点(2砸,0)gz)处,4=一2,B=0,C=-l,AC-B2=2>0t 又Av0,所以函数z取得极大值; 在点(⑵2+1)龙,一2)仇wZ)处,A=1+0-2,B=0,C=—0-2,AC-B2=-e~2-e_4<0,此时函数无极值.证毕. 二元函数的最大值与最小值 例6求函数/(兀,刃=兀2-2兀y+2y在矩形域 D={(x,y)|0 上的最大值和最小值. 解先求函数f(x,y)在D内驻点.由fx=2x-2y=0,fy=-2x+2=0求得/在D内部的唯一驻点(1,1),且/(1J)=1.其次求函数/(兀,刃在D的边界上的最大值和最小值. 如图所示.区域D的边界包含四条直线段厶— 在厶上y=0,/(x,())=/,()5x53.这是x的单调增加函数,故在厶上f的最大值为/(3,0)=9,最小值为/(0,0)=0. 同样在厶2和厶4上/也是单调的一元函数,易得最大值、最小值分别为 /(3,())=9,/(3,2)=1(在厶2上), /(0,2)=4,/(0,0)=0(在厶4上), 而在厶上〉,=2,/(x,2)=x2-4x+4,05兀53,易求出/在厶上的最大值/(0,2)=4,最小值 /(2,2)=0. 将/在驻点上的值/(1,1)与厶,厶2上3,厶4上的最大值和最小值比较,最后得到/在D上的最大值/(3,0)=9,最小值/(0,0)=/(2,2)=0. 例7求二元函数z=/(x,y)=x2y(4-x-y)在直线x+y=6,x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值. 解先求函数在D内的驻点,解方程组 /;(兀,y)=2xy(4-x-y)-x2y=0 f;(x,y)=x2(4-x-y)-x2y=O' 得唯一驻点(2,1),且/(2,1)=4,再求/(兀,y)在D边界上得最值, 在边界兀+y=6上,即y=6—兀,于是/(x,y)=x2(6-x)(-2), 由f;-4x(x一6)+2x2=0,得x}-0,x2-4i>y=6-x=2, 而/(4,2)=-64,所以/(2,1)=4为最大值,/(4,2)=-64为最小值. 例8求函数/(x,y)=3x2+3y2一/在区域D: x2+y2<16±的最小值. 解先求/(x,y)在D内的极值.由 =6兀一3x2,fy(x,y)=6y, 解方程组]&-3”=0得驻点©()),(2,0).由于 6y=0 f: (0,0)=6,£;(0,0)=0,f;y(0,0)=6, 龙(2,0)=-6,(2,0)=0,f;y(2,0)=6. 所以,在点(0,0)^bB2-AC=-36<0,A=6>0,ttffi(0,0)处有极小值/(0,0)=0. 在点(2,0)处B2-AC=36>0,故函数在点(2,0)处无极值. 再求f(x,y)在边界x2+y2=16上的最小值.由于点(x,y)在圆周x2+y2=16上变化,故可解 出y2=16-x2(-4 z=/(x,y)=3x2+3>,2一兀3=48-x3(-4 这时z是兀的一元函数,求得在|~4,4]上的最小值z'=4=-16. 最后比较可得,函数/(x,y)=3x2+3y2-? 在闭区间D上的最小值/(4,0)=-16. 例9求z=「7的最大值和最小值. x+b+i =0,解得驻点 (宀于+])_2曲+刃二(兀2+),2+1)_2)心+刃 —(宀3)2-,△-―(x2+^2+1)2 因为lim厂弓=0,即边界上的值为零.又口+y+1 例10(E05)某厂要用铁板做成一个体积为2加3的有盖长方体水箱.问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省. 解设水箱的长为”,宽为艸,则其高应为2/xym.此水箱所用材料的面积 22、 (22) 初+y——+%—— =2 与+_+_ 1厂小丿 (兀y) A=2 (x>0,y>0). 此为目标函数.下面求使这函数取得最小值的点(兀,y). 令人=2y——-=0,Av=2x——t=0. 解这方程组,得唯-•的驻点x=V2,y=V2. 根据题意可断定,该驻点即为所求最小值点. 因此当水箱的长为呵”、宽为呵川、高为甘乖=臥时,水箱所用的材料最省. 注: 体积一定的长方体小,以立方体的表面积为最小. 例11(E06)设s为商品A的需求量,§2为商品3的需求量,其需求函数分别为 q}=16-2p)+4/? 2,? 2=20+4门一10/? 2,总成本函数为C=2q2,其中M,%为商品A和B的价格,试问价格卩,必取何值时可使利润最大? 解按题意,总收益函数为 R=P4+P2q2=〃|(16-2#|2-+4/? 2)+卩2(20+4/? |-IO%), 于是总利润函数为 L=R_C=q、(P\_3)+q2(P2_2) -3)(16-2刃+4”2)+(卩2一2)(20+4p-10卩2)・ 为使总利润最大,求一阶偏导数,并令其为零: -=14-4/? ! +8血=0, 学=4(。 一3)+(20+4门一10血)一10(卩2-2) 二28+8卩]—20Pf—0, 由此解得p.=63/2,p2=14,又因 (厶;尸-厶: .•厶;.=82-(-4)(-20)<0. 故取价格p严63/2,/? 2=14时利润可达最大,而此时得产量为s=9,%=6. 例12求函数u=xyz在附加条件 l/x+l/y+l/z=l/a(x>0,y>0,z>0,a>0) (1) 下的极值. 解作拉格朗日函数L(x,y,z,几)=xyz+2(l/x+1/y+1/z-1/a). L*=yz-A/x2=0=>3xyz-A(1/x+1/y+l/z)=0. xyz=2/3a. x=y=x=3a. rtl-Lv=xz-A/y2=0=> Lz=xy-X! z1=0=> 故(3a,3a,3g)是函数“=xyz在条件 (1)下唯一驻点・ 把条件 (1)确定的隐函数记作z=zgy),将目标函数看作w=小•zg刃=F(x,y),再应用二元函数极值的充分条件判断,知点(3°,3a,3d)是函数u=xyz在条件 (1)下的极小值点.而所 求极值为27/. 条件极值拉格朗日乘数法 例13(E07)求表面积为/而体积为最大的长方体的体积. 解设长方体的三棱长为七”z,则问题就是在条件 0(兀,y,z)=2xy+2yz+2xz-a2=0 (1) 下,求函数V=xyz(x>0,y>0,z>0)的最大值.作拉格朗tl函数 L(x.y.z,A)=xyz+A(2xy+2yz+2xz一tr), x+zy_x+yy+z‘zx+z =yz+22(y+z)=0兀由«Ly=xz+22(兀+z)=0=*y L二=xy+22(y+x)=0=>x=)'=z. 代入 (1)式,得唯一可能的极值点: x=y=z=46a/6,由问题本身意义知,此点就是所求最大值点.即,表而积为a? 的长方体屮,以棱长为\[6a/6的正方体的体积为最大,最大体积V=^a3. 36 例14在经济学中有个Cobb-Douglas生产函数模型/(x,y)=cxay[-\式中x代表劳动力的数量,y为资本数量(确切地说是y个单位资本),c与g(0vav1)是常数,由各工厂的具体情形而定.函数值表示生产量. 3 现在已知某制造商的Cobb-Douglas生产函数是/(x,y)=100^/,每个劳动力与每单位资本的成本分别是150元及250元.该制造商的总预算是50000元.问他该如何分配这笔钱用于雇用劳动力与资本,以使生产量最高. 解这是个条件极值问题,求函数/(兀刃=100//》"在条件150x+250y=50000 下的最大值.令£(x,A)=100x3/4y1/4+yl(50000-150x-25O.y),由方程组 Lx=75兀一WyW—1502=0 Lx=50000-150x-250y=0 中的第一个方程解得A=-x-]/4yl/\将其代入第二个方程中,得 2 25x3/4y_3/4-125x~1/4y1/4=0, 在该式两边同乘兀回)严,有25x-\25y=0,即x=5y.将此结果代入方程组的第三个方程得x=250,y=50,即该制造商应该雇用250个劳动力而把其余得部分作为资本投入,这时可获得最大产S/(250,50)=16719. 例15(E08)设销售收入/? (单位: 万元)与花费在两种广告宣传的费用(单位: 万元) Z间的关系为 利润额相当五分之一的销售收入,并要扣除广告费用.己知广告费用总预算金是25万元,试问如何分配两种广告费用使利润最大? 解设利润为z,有 值问题.令 从 40% x+5 20y 10+J Lx= 200 (5+x)2 一1+2=0, 200 (10+)y -l+A=0 "执十尸警+誥―"儿限制条件为.这是条件极 (5+x)2=(10+y)2 又y=25-x,解得x=15,y=10.根据问题本身的意义及驻点的唯一性即知,当投入两种广告的费用分别为15万元和10万元时,可使利润最大. 例16设某电视机厂生产一台电视机的成本为c,每台电视机的销售价格为",销售量为厂假设该厂的生产处于平衡状态,即电视机的生产量等于销售量.根据市场预测,销售量x与销售价格为p之问有下面的关系: x=Me~ap(M>0,a>0) (1) 其屮M为市场最大需求量,g是价格系数.同时,生产部门根据对生产环节的分析,对每台电视机的生产成本c有如下测算: c=c0-k\nx(R>0,x>1), (2) 其中q是只生产一台电视机时的成本,£是规模系数.根据上述条件,应如何确定电视机的售价°,才能使该厂获得最大利润? 解设厂家获得的利润为〃,每台电视机售价为”,每台生产成本为c,销售量为兀,则 U=(p-c)x. 于是问题化为利润函数u=(p-c)x在附加条件 (1)、⑵下的极值问题.利用拉格朗日乘数法,作拉格朗日函数: L(x,p、c,入“)=(p—c)x+2(兀一Me~a,>)+//(c-c0+kInx). 令厶i=(〃一c)+久+=0,Lp=xAaMe~(ip=0,Lc=-%+“=0. 将 (1)代入⑵,得c=c{)-k(\nM-ap).(3) 由⑴及厶厂0知加=一1,即几=一1/久(4) 由厶c=0知兀=“,即x/“=l. 将(3)、(4)、⑸代入Lx=0,得 p-cQ+k(lnM一ap)-\/a+k=0. 由此得 *c0-k\nM+\! a-k卩_\-ak 由问题本身可知最优价格必定存在,故这个卩*就是电视机的最优价格. 数学建模举例 1.最小二乘法 数理统计屮常用到回归分析,也就是根据实际测量得到的一组数据来找出变量间的函数关系的近似表达式.通常把这样得到的函数的近似表达式叫做经验公式.这是一种广泛采用的数据处理方法.经验公式建立后,就可以把生产或实践中所积累的某些经验提高到理论上加以分析,并由此作出某些预测.下面我们通过实例來介绍一种常用的建立经验公式的方法. 例17(E09)为测定刀具的磨损速度,按每隔一小时测量一次刀具厚度的方式,得到如下实测数据: 顺序编号d 0 1 2 3 4 5 6 7 时间右(小时) 0 1 2 3 4 5 6 7 刀具厚度兀(毫米) 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 试根据这组实测数据建立变量y和tZ间的经验公式y=/(/). 解观察散点图,易发现所求函数J=f(t)可近似看作线性函数, 因此可设/(/)=at+/? 其中G和b是待定常数,但因为图中各点并不在同一条直线上,因此希望要使偏差%一(z=0,1,2,…,7)都很小.为了保证每个这个的偏差都很小,可考 7 虑选取常数6Z",使M=工[兀-(at.t+历]2最小.这种根据偏差的平方和为最小的条件来;=0 选择常数a,b的方法叫做最小二乘法. 7 求解本例: 可考虑选取常数。 上,使M=工[必-⑷‘+方)]2最小.把M看成自变量G /=0 7 工[开-(at,.+b)氏=0/=0 工[必-("+b)]=0 /=0 和b的一个二元函数,那么问题就可归结为求函数M=M(a,b)在那些点处取得最小值.令 ——=一2工[)1_(弘+")]心=0 %»=o 学=-2工[必_(弘+b)]=0db/=o 整理得 777 Z=1f=lZ=1 77 +论工y ・Z=1/=! 代入 (1),得 a=-0.3036,b=27.125. 14067+28/7=717 28。 +8b=208.5 于是,所求经验公式为j=/(r)=-0.3036/+27.125.⑵ 根据上式算出的/©)与实测的必有一定的偏差,见下表: 0 1 2 3 4 5 6 7 实测X 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 计算/亿) 27.125 26.821 26.518 26.214 25.911 25.607 25.303 25.000 偏左 -0.125 -0.021 -0.018 -0.086 0.189 0.093 -0.003 -0.200 注: 偏差的平方和M=0.108165,其平方根顾=0.392.我们把倆称为均方误差, 它的大小在一定程度上反映了用经验公式近似表达原来函数关系的近似程度的好坏. 注: 本例中实测数据的图形近似为一条直线,因而认为所求函数关系可近似看作线性函数关系,这类问题的求解比较简便.有些实际问题中,经验公式的类型虽然不是线性函数,但我们可以设法把它转化成线性函数的类型来讨论. 2.线性规划问题 求多个白变量的线性函数在一组线性不等式约束条件下的最大值最小值问题,是一类完全不同的问题,这类问题叫做线性规划也题.下面我们通过实例来说明. 例18—份简化的食物由粮和肉两种食品做成,每份粮价值30分,其中含有4单位酶,5单位维生素和2单位蛋白质;每一份肉价值50分,其中含有1单位酶,4单位维生素和4单位蛋口质.对一份食物的最低要求是它至少要由8单位醯,20单位维生素和1()单位蛋口质组成,问应当选择什么样的食物,才能使价钱最便宜. 解设食物由兀份粮和y份肉组成,其价钱为C=30x+50y・由食物的最低要求得到三个不等式约束条件,即: 为了有足够的醯,应有4x+y>& 为了有足够的维生素,应有5x+4y»20; 为了有足够的蛋白质,应有2兀+4yn10;并£L还有x20,yn0. 上述五个不等式把问题的解限制在平血上如图的阴影区域中,现在考虑直线族 C=30x+50>\ 当C逐渐增加时,与阴彫区域相交的笫一条直线是通过顶点S的直线,S是两条直线 5x+4y=20和2x+4
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