全等三角形压轴题分类解析供参考.docx
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全等三角形压轴题分类解析供参考
三角形全等综合题归类
一、双等边三角形模型
1.
(1)如图1,点0是线段AD的中点,分别以A0和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形
OCD,连结AC和BD,相交于点E,连结BC.求ZAEB的大小:
(2)如图2,A0AB固左不动,保持4OCD的形状和大小不变,将A0CD绕着点0旋转(4OAB和A0CD不能重叠),
求ZAEB的大小.
2、如图/Z\ABC和ACEF是两个大小不等的等边三角形.且有一个公共顶点C,连接AF和BE.
(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?
请证明你的结论;
(2)将图a中的ACEF绕点C旋转一左的角度,得到图b,
(1)中的结论还成立吗?
作出判断并说明理由;
(3)若将图a中的AABC绕点C旋转一立的角度,请你画出一个变换后的图形c(草图即可),
(1)中的结论还成
立吗?
作出判断不必说明理由.
3.如图1,若△ABC和HADE为等边三角形,分别为E5CD的中点
(1)AADE绕A点旋转到图2的位置时,CD=BE是否成立?
若成立,请证明:
若不成立,请说明理由;
(2)△ADE绕A点旋转到图3的位宜时,△皿例是否还是等边三角形?
若是,请给出证明,若不是,请说明理由.
4、已知,如图①所示,在AABC和中,AB=AC9AD=AE,ZBAC=ZDAE,且点bA,D在一条直线上,连接CD,M,N分别为〃£;CD的中点.
(1)求证:
①BE=CD:
②AM=AN.
(2)在图①的基础上,将AADE绕点A按顺时针方向旋转18°°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接
A图①
写出
(1)中的两个结论是否仍然成立.C
5.如图,四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形,连接BG与DE相交于点H.
(1)证明:
AABG^AADE:
(2)试猜想ZBHD的度数,并说明理由:
(3)将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转(0“VZBAE<180°),设AABE的而积为S],AADG的而积为S2,判断S|与S2的大小关系,并给予证明.
6•已知:
如图,△ABC是等边三角形,过A3边上的点D作DG//BC9交AC于点G,在GD的延长线上取
点、E,使DE=DB、连接AECD.
(1)
求证:
AAGE^ZXDAC.
(2)过点E作EF//DC,交BC于点F,请你连接AF,并判断ZV1EF是怎样的三角形,试证明你的结论.
2.垂直模型(该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容)
考点1:
利用垂直证明角相等
1、如图,Z\ABC中.ZACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF丄AE,垂足为F,过B作BD丄BC交CF的延长线于D・
求证:
(1)AE=CD;
(2)若AC=12cm,求BD的长.
2、如图
(1),已知AABC中,ZBAC二900,AB二AC,AE是过A的一条宜线,且B、C在A、E的异侧,BD丄AE于D,CE丄AE于Eo
(1)试说明:
BD二DE+CE・
⑵若直线AE绕A点旋转到图⑵位置时(BD
3.直线CD经过ZBC4的顶点&CA二CB・E.F分别是直线CD上两点,且MEC=ZCFA=Za.
(1)若直线CD经过ZBC4的内部,且E、F在射线CD上,请解决下而两个问题:
①如图1,若'BCA=90:
Za=90;则盯\BE-AF\(填“〉”.或—号);
②如图2,若0 考点2: 利用角相等证明垂直 1、如图,在等腰RtAABC中,ZACB二90。 D为BC的中点,DE丄AB,垂足为E,过点B作BF〃AC交DE的延长线于点F,连接CF・ (1)求证: CD二BF: (2)求证: AD丄CF: (3)连接AF,试判断ZkACF的形状. A B 2、如图9所示,AABC是等腰直角三角形,ZACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证: ZADC=ZBDE. 3.如图1,已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上,连接AE9GC. (1)试猜想AE与°C有怎样的位置关系,并证明你的结论: (2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转,使E点落在BC边上,如图乙连接AE和GC.你认为(“中的结论是否还成立? 若成立,给出证明;若不成立,请说明理由. 4•如图1,MBC的边bc在直线/上,AC丄〃C,且AC=BC仝fp的边FP也在直线/上,边EF与边AC重合,REF=FP (1)在图I中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB与4P所满足的数量关系和位置关系: (2)将△£/屮沿直线/向左平移到图2的位置时,EP交AC于点。 ,连接猜想并写岀与所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想; (3)将沿直线/向左平移到图3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结人卩陀,你认为 (2)中所猜想的BQ口AP的数量关系和位置关系和位巻关系还成立吗? 若成立,给出证明;若不成立,请说明理由. 三、等腰三角形(中考亟难点之一) 考点1: 等腰三角形性质的应用 1.如图,AABC中,AB=AC9ZfiAC=90。 ,£)是BC中点,ED丄FD,ED与AB交于E,FD与AC交于F・求 证: BE=AF・AE=CF・ 2.两个全等的含30,60角的三角板遊和三角板ABC如图所示放置,£”,C三点在一条直线上,连结也儿取3D的中点连结MEMC.试判断MMC的形状,并说明理由. 3. 4、已知: 如图,Z^BC中,ZABC=450,CD丄处于6BF平分ZABC,且BF丄&C于&与CD相交于点F,H是BC边的中点,连结期"相交于点°⑴虻心心抄⑶CE与3C的大小关系如何。 考点2: 等腰直角三角形(45度的联想) 1.如图1,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点。 直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E 在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一条直角边与ZCBM的平分线BF相交于点F・ ⑴如图14-1,当点E在AB边的中点位置时: ©通过测量DE,EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是_@连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是_®请证明你的上述两猜想. 国147 ⑵如图14-2,当点E在AB边上的任意位置时,请你在AD边上找到一点N,使得NE二BF,进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明 2•在RtAABC中,AC=BC・ZACB=90。 ,D是AC的中点,DG丄AC交AB于点G・ (1)如图1,E为线段DC上任意一点,点F在线段DG上,且DE=DF,连结EF与CF,过点F作FH丄FC,交直线AB于点H. 1求证: DG=DC 2判断FH与FC的数量关系并加以证明. (2)若E为线段DC的延长线上任意一点,点F在射线DG上, (1)中的其他条件不变,借助图2画出图形。 在你所画图形中找出一对全等三角形,并判断你在 (2)中得岀的结论是否发生改变.(本小题直接写出结论,不必证明) 3、已知: AABC为等边三角形,M是BC延长线上一点,直角三角尺的一条直角边经过点A,且60°角的顶点E在BC上滑动,(点E不与点B.C重合),斜边与ZACM的平分线CF交于点F (1)如图 (1)当点E在BC边得中点位置时 1猜想AE与EF满足的数量关系是 2 m⑵ 连结点E与AB边得中点N,猜想BE和CF满足的数量关系是③请证明你的上述猎想; (2)如图 (2)当点E在BC边得任总位置时,怎样的数量关系,并说明你的理由? 4.角平分线问题 1.如图: E在线段CD上,EA、EB分别平分ZDAB和ZCBA,ZAEB=90°,设AD=P BC=>',且x*满足A-2+r-6x-8y+25=0 (1)求AD和BC的长: (2)你认为AD和BC还有什么关系? 并验证你的结论; (3)你能求出AB的长度吗? 若能,请写出推理过程;若不能,请说明理由. 2.如图①,0P是ZMON的平分线,请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称轴的全等三角形。 请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题: (1)如图②,在ZkABC中,ZACB是直角,ZB=60°,AD、CE分别是ZBAC、ZBCA的平分线,AD、CE相交于点厂请你判断并写岀FE与FD之间的数量关系; 3•如图,在四边形ABCD中.等于多少? AC平分Z3AQ,过C作CE丄AB于E,并且 AE=^(AB+AD) 2 9则XABC+XADC (2)如图③,在AABC中,如果ZACB不是直角,而⑴中的其它条件不变,请问,你在⑴中所得结论是否仍然成 立? 若成立,请证明;若不成立,请说明理由。 4.如图,ZlkABC中,AD平分ZBAC,DG丄BC且平分BC,DE丄AB于E,DF丄AC于F. (1)说明BE=CF的理由: (2)如果AB二°,AC』,求AE、BE的长. 五、中点问题 1.在AABC中,D为BC的中点,过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于点G°DE丄GF,并交于点E.连结EG. (1)求证: BG=CF: (2)请猜想BE+CF与EF的大小关系,并加以证明 2、已知WC中,AB=AC.3D为AB的延长线,且=CE为AABC的AB边上的中线.求证CD=2CE 3、以AABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RIA4BD和等腰RUACE,Z5AD=ZCAE=90。 •连接DE,M>N分别是DE的中点・探究: AM与DE的位置关系及数量关系. ⑴如图①当41BC为直角三角形时,AM与DE的位置关系是: 线段AM与£)£的数量关系是: 图① ⑵将图©中的等腰R34BD绕点A沿逆时针方向旋转少(0<"90)后,如图②所示,⑴问中得到的两个结论是否发生改变? 并说明理由. 3、已知: 如图,矩形ABCD中点G为3C延长线上一点,连接DG、BH丄DG「77,且=DH,点E,F分 别在A5BC上,且EFHDGa (1)若Q=3,CG=2,求DG的长; EF=-DG (2)若GF=AD+BEf求证: 2 4、(2010年宁徳市)(本题满分13分)如图,四边形ABCD是正方形,AABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM. (1)求证: AAMB^AENB; ⑵①当M点在何处时,AM+CM的值最小: 7 ②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由: \/ ⑶当AM4-BM+CM的最小值为門+1时,求正方形的边长.F—\\/
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