专题23矩阵与变换解析版.docx
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专题23矩阵与变换解析版
专题23矩阵与变换
1、(2019年江苏卷)已知矩阵A=⎡31⎤
⎢22⎥
⎣⎦
(1)求A2;
(2)求矩阵A的特征值.
【分析】
(1)利用矩阵的乘法运算法则计算A2的值即可;
(2)首先求得矩阵的特征多项式,然后利用特征多项式求解特征值即可.
⎢22⎥
【解析】
(1)因为A=⎡31⎤,
⎣⎦
⎢22⎥⎢22⎥
所以A2=⎡31⎤⎡31⎤
⎣⎦⎣⎦
⎡3⨯3+1⨯23⨯1+1⨯2⎤⎡115⎤
=⎢2⨯3+2⨯22⨯1+2⨯2⎥=⎢106⎥.
⎣⎦⎣⎦
(2)矩阵A的特征多项式为
λ-3
f(λ)=-2
-1
λ-2
=λ2-5λ+4.
令f(λ)=0,解得A的特征值λ1=1,λ2=4.
2、(2018年江苏卷)已知矩
.
(1)求的逆矩
;
(2)若点P在矩阵对应的变换作用下得到
,求点P的坐标.
【解析】分析:
(1)根据逆矩阵公式可得结果;
(2)根据矩阵变换列方程解得P点坐标.
详解:
(1)因
,,所以A可逆,从
.
(2)设P(x,y),
,所
,因此,点P的坐标为(3,–1).
点睛:
本题考查矩阵的运算、线性变换等基础知识,考查运算求解能力.
0110
3、(2017江苏卷)已知矩阵A=10,B=02.
(1)求AB;
(2)若曲线C
x2y2
1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C,求C
的方程.
1:
+=22
82
0110
规范解答:
(1)因为A=10,B=02,
011002
所以AB=1002=10.
(2)设Q(x0,y0)为曲线C1上的任意一点,它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x,y),
02x0
x
y
2y0=x,
x0=y,
则10
y0=
,即x=y,所以y0=x.
02
x2y2
因为点Q(x0,y0)在曲线C1上,所以0+0=1,
82
y2x222
从而+
8
=1,即x+y=8.
8
因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2:
x2+y2=8.
1-
1
122
4、(2016年江苏卷)已知矩阵A=0-2,矩阵B的逆矩阵B-1=02,求矩阵AB.
ab
规范解答设B=cd,
1-1
2ab10
则B-1B=02cd=01,
a-1cb-1d
2210
即2c2d=01,
a-1c=1,
2
故b-1d=0,
2
2c=0,
2d=1,
a=1,
b=1,
解得4
c=0,
d=1,
2
1
1
4
1
2
.
所以B=0
1
4
1
2
=
15
1214
因此,AB=0-20.
0-1
5、(2015年江苏卷)已知x,y∈R,向量α=1是矩阵A=x1的属于特征值-2的一个特征向量,求矩
阵A以及它的另一个特征值.
规范解答由已知,得Aα=-2α,即
-1
x11
=
y0
x-1-2
=,
x-1=-2,
则
y=2,
x=-1,
即
y=2,
y0-1y2
-11
所以矩阵A=.20
从而矩阵A的特征多项式f(λ)=(λ+2)(λ-1),令f(λ)=0,解得A的特征值λ1=-2,λ2=1,所以矩阵A的另一个特征值为1.
一、二阶矩阵与平面向量
(1)矩阵的概念
在数学中,把形如
,23,
1
3
15
1,3,4
2,0,-1
这样的矩形数字(或字母)阵列称为矩阵,其中,同一横排
中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行,同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列,而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素.
(2)二阶矩阵与平面列向量的乘法
①[a11a12]b11=[a11×b11+a12×b21];
b21
②a11a12
x0a11×x0+a12×y0
=.
a21a22y0a21×x0+a22×y0
二、.几种常见的平面变换
10
(1)当M=01时,则对应的变换是恒等变换.
k010
(2)由矩阵M=01或M=0k(k>0)确定的变换TM称为(垂直)伸压变换.
(3)反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称.
cosθ-sinθ
(4)当M=sinθcosθ时,对应的变换叫旋转变换,即把平面图形(或点)逆时针旋转θ角度.
(5)将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换.
1k10
(6)由矩阵M=01或k1确定的变换称为切变变换.三、线性变换的基本性质
(1)设向量α=
,则λα=λx.
x
y
λy
(2)设向量α=x1,β=x2,则α+β=x1+x2.
y1y2y1+y2
(3)A是一个二阶矩阵,α、β是平面上任意两个向量,λ是任一实数,则A(λα)=λAα,A(α+β)=Aα+Aβ.
(4)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点).四、二阶矩阵的乘法
(1)A=a1b1,B=a2b2,
c1d1c2d2
则AB=
a1a2+b1c2a1b2+b1d2c1a2+d1c2c1b2+d1d2
(2)矩阵乘法满足结合律(AB)C=A(BC).几种特殊的变换
反射变换:
10
M=0-1:
点的变换为(x,y)→(x,-y),变换前后关于x轴对称;
-10
M=01:
点的变换为(x,y)→(-x,y),变换前后关于y轴对称;
-10
M=0-1:
点的变换为(x,y)→(-x,-y),变换前后关于原点对称;
01
M=10:
点的变换为(x,y)→(y,x),变换前后关于直线y=x对称.投影变换:
1
0
M=
0
0
:
将坐标平面上的点垂直投影到x轴上,点的变换为(x,y)→(x,0);
M=
0
0
0
1
:
将坐标平面上的点垂直投影到y轴上,点的变换为(x,y)→(0,y);
M=
1
1
0
0
:
将坐标平面上的点垂直于x轴方向投影到y=x上,点的变换为(x,y)→(x,x);
M=
0
0
1
1
:
将坐标平面上的点平行于x轴方向投影到y=x上,点的变换为(x,y)→(y,y);
1
1
2
2
11x+y,x+y
M=22:
将坐标平面上的点垂直于y=x方向投影到y=x上,点的变换为(x,y)→22.
五、逆变换与逆矩阵
(1)对于二阶矩阵A、B,若有AB=BA=E,则称A是可逆的,B称为A的逆矩阵.
(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵,则AB也存在逆矩阵,且(AB)-1=B-1A-1.
(3)利用行列式解二元一次方程组.
2.特征值与特征向量
(1)设A是一个二阶矩阵,如果对于实数λ,存在一个非零向量α,使Aα=λα,那么λ称为A的一个特征值,而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量.
(2)
从几何上看,特征向量的方向经变换矩阵A的作用后,保持在同一条直线上,这时特征向量或者方向不变(λ>0),或者方向相反(λ<0).特别地,当λ=0时,特征向量就变换成零向量。
题型一、由矩阵变换求曲线的方程
由矩阵变换求曲线的方程一般式通过代换法求得,要分布设变换前与变换后的点坐标,用变换后的坐标变式变换前的坐标,然后代入变换前的方程即可。
1
1
12
例1、(2019宿迁市直学校期末)已知矩阵M=a1的一个特征值为λ=3,其对应的一个特征向量为α=,
求直线l1:
x+2y+1=0在矩阵M对应的变换作用下得到的曲线l2的方程.
1
1
1
1
12
规范解答解法1由Mα=λα得a1
12
所以a=2,M=21.(2分)
=3,
设P1(x1,y1)是直线l1上任意一点,在矩阵M对应的变换作用下得到点P2(x2,y2),且P2在曲线l2上.
12x1x2
由21y1=y2得
x2=x1+2y1,y2=2x1+y1,
(4分)
x1=-1x2+2y2,
33
所以y=2-1y,(6分)
1x22
33
代入直线l1的方程得x2+1=0,所以曲线l2的方程为x+1=0.(10分)
12
解法2由Mα=λα得a1
12
1
1
1
1
=3,所以a=2,M=21.(2分)
12-1-1121-1
取直线l1上两点P1(-1,0),P2(1,-1),由21
0=-2,21
-1=1,(4分)
所以在矩阵M对应的变换作用下P1,P2变换为Q1(-1,-2),Q2(-1,1)在曲线l2上,(6分)又因为二阶矩阵把直线变为直线,所以曲线l2就是经过点Q1,Q2的直线x=-1.(10分)
例2、(2016南京三模)已知曲线C:
x2+2xy+2y2=1,矩阵A=所对应的变换T把曲线C变成曲线C1,求曲线C1的方程.
思路分析设变换T把曲线C上的任意点P(x,y)变成曲线C1上的点Q(x′,y′),用x′,y′表示x,y,代入曲线C的方程x2+2xy+2y2=1,则得关于x′,y′的方程,这就是曲线C1的方程.
12
规范解答设曲线C上的任意一点P(x,y),P在矩阵A=10对应的变换下得到点Q(x′,y′).
12
则10x=x′,即x+2y=x′,x=y′,
yy′
.(5
所以x=y′,y=x′-y′分)
2
+
代入x2+2xy+2y2=1,得y′2+2y′·x′-y′2
2
所以曲线C1的方程为x2+y2=2.(10分)
x′-y′
22=1,即x′2+y′2=2,
a-2
例3、(2019南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港三调)已知a,b,c,d∈R,矩阵A=0b
1c
的逆矩阵A-1=d1.若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到直线y=2x+1,求曲线C的方程.
10a-21ca-2dac-210
规范解答由题意得,AA-1=01,即0b
所以a=1,b=1,c=2,d=0,
1-2
即矩阵A=01.(5分)
d1=
bdb=01,
设P(x,y)为曲线C上的任意一点,在矩阵A对应的变换作用下变为点P′(x′,y′),
x′1-2
x
y
x′=x-2y,
则y′=01
,即
y′=y.
(8分)
由已知条件可知,P′(x′,y′)满足y=2x+1,整理得2x-5y+1=0,所以曲线C的方程为2x-5y+1=0.(10分)
题型二矩阵的特征值与特征向量
求矩阵的特征值与特征向量要注意格式和步棸。
先求特征值然后再求特征向量。
21
例4、(2019南京三模)已知矩阵M=12
(1)求M2;
(2)求矩阵M的特征值和特征向量.
212154
规范解答
(1)M2=1212=45.(4分)
|λ-2-1|
(2)矩阵M的特征多项式为f(λ)=-1λ-2=(λ-1)(λ-3).
令f(λ)=0,解得M的特征值为λ1=1,λ2=3.(6分)
21
①当λ=1时,12x=
y
x+y=0,
x
y
,得
x+y=0.
1
令x=1,则y=-1,于是矩阵M的一个特征向量为
.(8分)
-1
21
②当λ=3时,12
x=3
y
x-y=0,
x
y
,得
x-y=0.
1
1
令x=1,则y=1,于是矩阵M的一个特征向量为.
1
因此,矩阵M的特征值为1,3,分别对应一个特征向量为,
-1
.(10分)
1
1
例5.(2018南通、泰州一调)已知x∈R,向量与A-1.
是矩阵A=1x的属于特征值λ的一个特征向量,求λ
0
1
02
1x
规范解答由已知得020=
1
=λ,
x
2
0
1
λ=2,10
所以
x=0.
所以A=02.(4分)
ab
设A-1=cd,
10ab10
则AA-1=02
ab
cd=01,
10
即2c2d=01.
所以a=1,b=c=0,d=1.
2
10
1
所以λ=2,A-1=02.(10分)
-14
例6、(2016苏州暑假测试)求矩阵M=
的特征值和特征向量.
26
||
.规范解答特征多项式f(λ)=λ+1-4=(λ+1)(λ-6)-8=λ2-5λ-14=(λ-7)(λ+2),
-2λ-6
由f(λ)=0,解得λ1=7,λ2=-2.(3分)
1
2
8x-4y=0,
将λ1=7代入特征方程组,得
分)
-2x+y=0,
即y=2x,可取
为属于特征值λ1=7的一个特征向量.(6
1
2
同理,λ2=-2时,特征方程组是的一个特征向量.(8分)
-x-4y=0,
-2x-8y=0,
4
即x=-4y,所以可取
-1
为属于特征值λ2=-2
-14
综上所述,矩阵M=有两个特征值λ=7,λ=-2.属于λ=7的一个特征向量为
,属于λ=
-2的一个特征向量为
26
4
.(10分)
-1
1212
题型三矩阵运算及逆矩阵
(1)对于二阶矩阵A、B,若有AB=BA=E,则称A是可逆的,B称为A的逆矩阵.
(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵,则AB也存在逆矩阵,且(AB)-1=B-1A-1.
(3)利用行列式解二元一次方程组.
21bc
例7、(2019苏锡常镇调查)已知矩阵A=0a,其逆矩阵A-1=01,求A2.
1021bc10
规范解答因为AA-1=01,则有0a01=01,(2分)
21
即a=1,b=1,c=-1,则A=01,(5分)
22
21
21
43
则A2=
01
01
=
01
.(10分)
1
7
例8、(2018苏州期末)已知矩阵M=12,向量β=
21
,求M4β.
.思路分析若矩阵M的特征值为λ1,λ2,对应的特征向量为α1,α2,且β=mα1+nα2,则M4β=mM4α1
+nM4α2=mλ4α+nλ4α.
1122
|λ-1-2|
解法1(公式法)矩阵M的特征多项式为f(λ)=-2λ-1=(λ-1)2-4=(λ-3)(λ+1).(2分)
令f(λ)=0,得特征值λ1=3,λ2=-1.
1
1
1
属于λ1=3的一个特征向量为α1=,属于λ2=-1的一个特征向量为α2=
.(5分)
-1
设β=mα1+nα2,易得m=4,n=-3,即β=4α1-3α2,(7分)
所以M4β=4M4α-3M4α=4λ4α-3λ4α=324
1321
1
1
-3=.(10分)
121122
-1327
解法2(直接法)因为M4=(M2)2,所以也可直接硬解.
1
2
1
2
54
因为M2=
2
1
2
1
=
45
,
所以M4=
5
4
4
5
5
4
4
5
=
41
40
40
41
,(7分)
4140
所以M4β=40411=321.(10分)
7327
ab
|λ-a-b|
|λ-ab|
易错警示矩阵M=cd,若将M的特征多项式f(λ)=
特征值的结果,但是由此算得的对应特征向量不正确.
-cλ-d误写为
cλ-d,虽然不影响
例9、(2018扬州期末)下得到点N(3,5),求矩阵A的逆矩阵A-1.
1
1
3
5
3
5
1
1
2x2+x=3,x=1,21
规范解答因为A=
,即3y
=,即3+y=5,解得y=2,所以A=32.(5分)
2a+c=1,
3a+2c=0,
ab21ab10
2b+d=0,
解法1(定义法)设A-1=cd,则AA-1=32
cd=01,即3b+2d=1,(7分)
a=2,
2-1
解得b=-1,所以A-1=-32.(10分)
c=-3,d=2,
1、(2019盐城市2019届高三第三次模拟考试)直线l:
2x-y-3=0在矩阵M=下得到直线l′,求l′的方程.
规范解答在直线l上点取A(1,-1),
-10
41所对应的变换TM
-101-1
41-1=3,故A(1,-1)在矩阵M的变换下得到A′(-1,3),(4分)
再在直线l上取点B(2,1),
-10
41
-2
2
1
=9,在矩阵M的变换下得到B′(-2,9),(8分)
连结A′B′,可得直线l′:
6x+y+3=0.(10分)
1220
2、(2018南京三模)已知矩阵A=01,B=01,若直线l:
x-y+2=0在矩阵AB对应的变换作用下得到直线l1,求直线l1的方程.
思路分析设直线l上任意一点P(x,y)在矩阵AB对应的变换作用下得到直线l1上的点Q(x′,y′),用x′,
y′表示x,y.由关于x,y的方程转化为关于x′,y′的方程.
规范解答首先,AB=1220=22.(4分)
010101
设直线l上任意一点P(x,y)在矩阵AB对应的变换作用下得到直线l1上的点Q(x′,y′),
则x′
y′
=22
01
x′=2x+2y,
x
y
,即
y′=y,
(6分)
x=1x′-y′,
得2
y=y′.
因为x-y+2=0,所以1x′-y′-y′+2=0,即x′-4y′+4=0.
2
所以直线l1的方程是x-4y+4=0.(10分)
1012
3、(2018苏北四市二模)已知矩阵A=-11,B=03,C=AB.
(1)求矩阵C;
(2)若直线l1:
x+y=0在矩阵C对应的变换作用下得到另一直线l2,求l2的方程.
规范解答
(1)C=AB=
12
1.(4分)
1012
13=
12
(2)设直线l1:
x+y=0上任意一点(x,y)在矩阵C对应的变换作用下得到点(x′,y′),则[x′]=其坐标变换公式为{x′=x+2y,(6分)
1[x],
x=x′-2y′x′+y′
,,
由此得33
代入x+y=0
2x′-y′
0,即2x′-y′=0,
得=
3
所以直线l2的方程为2x-y=0.(10分)
2-210
4、(2017南京学情调研)已知矩阵A=1-3,B=0-1,设M=AB.
(1)求矩阵M;
(2)求矩阵M的特征值.
2-21022
规范解答
(1)M=AB=1-3
(2)矩阵M的特征多项式为
0-1=13.(5分)
f(λ)=
λ-2-2
||
-1λ-3=(λ-2)(λ-3)-2=λ2-5λ+4,
令f(λ)=0,解得λ1=1,λ2=4,
所以矩阵M的特征值为1和4.(10分)
2
1
1a
5、(2017苏州暑假测试)已知α=)为矩阵A=-14属于λ的一个特征向量,求实数a,λ的值及
2
1
A2.
1
2
1
a
规范解答由条件可知-14
2+a=2λ,
=λ,
所以
-2+4=λ,
12
解得a=λ=2.(5分)
因此A=-14,
1212
-110
所以A2=-14-14=-514.(10分)
1
1
6、(2017苏锡常镇调研)已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1=的变换将点(-1,2)变换成(-2,4).
(1)求矩阵M;
(2)求矩阵M的另一个特征值.
,并且矩阵M对应
1
1
1
1
aba+b
-1-2
-a+2b
规范解答
(1)设M=cd,M=8
=c+d,M2=
4=-c+2d,(3分)
a+b=8,所以c+d=8,
-a+2b=-2,
-c+2d=4,
a=6,解得b=2,
c=4,d=4,
|λ-6-2|
62
即M=44.(5分)
(2)令特征多项式f(λ)=
解得λ1=8,λ2=2.
-4λ-4=(λ-6)(λ-4)-8=0,(8分)
所以矩阵M的另一个特征值为2.(10分)
12
7、(2018南京学情调研)设二阶矩阵A=34.
(1)求A-1;
(2)若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线C′:
6x2-y2=1,求曲线C的方程.
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- 专题23 矩阵与变换解析版 专题 23 矩阵 变换 解析
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