重庆市第一中学届高三下学期第一次月考数学理试题解析版.docx
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重庆市第一中学届高三下学期第一次月考数学理试题解析版
2018年重庆一中高2018级高三下期第一次月考
数学试题卷(理科)
一、选择题.(共12小题,每小题5分,共60分)
1.集合,以下正确的是()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
由题意,集合,表示实数集,集合表示二次函数图象上的点作为元素构成的点集,所以,故选C.
2.二项式的展开式的各项系数和为()
A.B.C.D.
答案】A
解析】
由题意,对于二项式中,令,则,即二项式的展开式的各项系数的和为,故选A.
3.复数的模是()
A.
B.
C.
D.
答案】B
由复数的四则运算,可知
解析】
答案】D
解析】
执行如图所示的程序框图,可知:
第一次循环:
,满足,
;
第二次循环:
,满足,
;
第三次循环:
,满足,
;
第四次循环:
,满足,
第五次循环:
,步满足,输出,故选D.
5.已知一个四棱柱的侧棱垂直于底面,条件“该棱柱是正四棱柱”,条件“该棱柱底面是菱形”,那么是的
()条件
A.既不充分也不必要B.充分不必要
C.必要不充分D.充要
【答案】B
【解析】
由一个四棱柱的侧棱垂直于底面,若条件“该棱柱是正四棱柱”成立,则四棱柱的底面为一个正方形,所以命
题“该棱柱底面是菱形”是成立的;
由一个四棱柱的侧棱垂直于底面,若命题“该棱柱底面是菱形”是成立,则该四棱柱不一定是正四棱柱,所以
条件“该棱柱是正四棱柱”不一定成立,
所以命题是命题的充分不必要条件,故选B.
6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对应数
据:
关于的线性回归方程为,那么表中的值为()
根据上表提供的数据,若求出
A.B.C.D.
【答案】A
解析】
答案】D
【解析】
由题意得,向量为单位向量,且两两夹角为,
则,
且,
所以与的夹角为,且,
所以与的夹角为,故选D.
8.年东京夏季奥运会将设置米男女混合泳接力这一新的比赛项目,比赛的规则是:
每个参赛国家派出2
男2女共计4名运动员比赛,按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序,每种泳姿米且由一名运动员完成,每个运动员都要出场.现在中国队确定了备战该项目的4名运动员名单,其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳,男运动员乙只能承担蝶泳或自由泳,剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上,那么中国队共有()种
兵布阵的方式
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
由题意,若甲承担仰泳,则乙运动员有种安排方法,其他两名运动员有种安排方法,共计种方法;
若甲运动员承担自由泳,则乙运动员只能安排蝶泳,其他两名运动员有种安排方法,共计种方法,
所以中国队共有种不同的安排方法,故选A.
9.已知直线,圆,那么圆上到的距离为的点一共有()个.
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
由圆,可得圆心,半径,
又圆心到直线的距离,
如图所示,由图象可知,点到直线的距离都为,
所以圆上到的距离为的点一共个,故选C.
10.已知则的大小关系是()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
由题意,令
,则
,
当时,,
所以,
所以函数在区间上点掉递减,
所以,即,即,
又由三角函数的性质可知,所以,即,综上可得,故选B.
解析】
由曲线
,可得令
,得,
所以双曲线的离心率为
即,则,
点睛:
本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:
①求出,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,转化为的齐次式,然后转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范围).
12.
不等式对于任意正实数恒成立,则实数的最大值为(
答案】B
解析】
由题意,设,
则
,
因为,
所以在单调递增,且最小值为,
要使得对恒成立,
当且仅当,即时成立,所示实数的最大值为,故选B.
点睛:
本题主要考查导数在函数中的应用,不等式的恒成立问题,考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,解答中涉及到基本不等式的应用,利用基本不等式确定函数的最值及等号成的条件是解答的关键,实数有一定的难度,属于中档试题.
二、填空题.(共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知随机变量,且随机变量,则的方差
【答案】12
【解析】
由随机变量,则随机变量的方差为,
又因为,所以随机变量的方差为.
14.某三棱锥的三视图如图所示,其俯视图是等腰直角三角形,则该三棱锥的表面积为
根据给定的三视图可知,原几何体表示一个如图所示的三棱锥,
其中底面是一个底边为,高为的等腰直角三角形,则,
且底面,且,
解析】
所以三棱锥的各个面的面积为:
,,
所以该三棱锥的表面积为
答案】
画出不等式组所表示的平面区域,如图所示,
作出直线,则所以表示区域为,
所以
所以不等式对应的概率为
次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量,最后计算概率,本题的解答中正确画出二元一次
不等式所对应平面区域是解答的关键.
16.点是锐角三角形的外心,,则的值为
答案】20
解析】
可得在中,
所以.
点睛:
本题考查了平面向量化简与平面向量的数量积的运算问题,其中解答中将放在它的外接圆中,过点分别作,,得到分别是的中点,利用数量积的运算,分别求得的值是解答的关键,着重考查了平面向量的数量积的运算性质和三角形外接圆的性质,有一定的综合性,属于中档试
题.
三、解答题.(共70分)
17.已知等比数列的首项为,公比,且是的等差中项,是数列的前项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,求数列的前项和.
【答案】
(1);
(2).
【解析】
试题分析:
(1)设,根据条件列出方程,求得,即可求得数列的通项公式;
(2)由
(1),求得,即可利用分组求和求得数列的前项和.
试题解析:
1)设,根据条件有
(1)证明:
直线平面;
解析】
试题分析:
(1)证明:
根据条件得,又利用线面垂直的判定定理,即可证得结论;
,求得平面
(2)由题意,以为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.设与平面的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求解二面角的余弦值.
试题解析:
(1)证明:
根据条件可得,
(2)两两垂直.如图所示,以为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标
系.设,
又所以,
根据条件平面,所以可视为平面的一个法向量,现设是平面的一个法向量,则,令,所以,设平面与平面所成的锐二面角为
19.北方某市一次全市高中女生身高统计调查数据显示:
全市名高中女生的身高(单位:
)服从正态分布
.现从某高中女生中随机抽取名测量身高,测量发现被测学生身高全部在和之间,现将测量结果按如下方式分成组:
第组,第组,⋯,第组,下图是按上述分组方法得到的频
率分布直方图.
(2)在这名女生身高不低于的人中任意抽取人,将该人中身高排名(从高到低)在全市前名的人数记为,求的数学期望.
参考数据:
,,
【答案】
(1)人;
(2)见解析.
【解析】
试题分析:
(1)由直方图知,求得后组频率,进而可求得这名女生身高不低于的人数;
(2)由题意,求得这人中以上的有人,得出随机变量可取,求得随机变量取每个值得概率,列出分布列,利用公式求解数学期望.
试题解析:
(1)由直方图知,后组频率为,人数为,即这名女生身高不低于的人数为人;
(2)∵,
∴
∴.,则全市高中女生的身高在以上的有人,这人中以上的有人.
随机变量可取,于是,,
∴
20.已知标准方程下的椭圆的焦点在轴上,且经过点,它的一个焦点恰好与抛物线的焦点重合.椭
圆的上顶点为,过点的直线交椭圆于两点,连接、,记直线的斜率分别为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求的值.
【答案】
(1);
(2)见解析;(3).
【解析】
试题分析:
(1)由抛物线的焦点为,得到椭圆的两个焦点坐标为,再根据椭圆的定义得到,
即可求得椭圆的标准方程;
(2)由题意,设直线的方程为,并代入椭圆方程,求得,化简运算,即可求得的值.
试题解析:
根据椭圆的定义有,所以椭圆的标准方程为;
(2)由条件知,直线的斜率存在.设直线的方程为,并代入椭圆方程,得,
且,设点,由根与系数的韦达定理得,
解答此类题目,确定椭圆(圆锥曲线)
的极值;
;
点睛:
本题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系方程是基础,通过联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系,得到标函数”的解析式,确定函数的性质进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错漏百出,本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等
21.已知函数
(1)求函数
(2)求证:
(3),若对于任意的,恒有成立,求的取值范围.
【答案】
(1)见解析;
(2).
【解析】
试题分析:
(1)由题意,得,得出函数的单调性,即可求得函数的极值;
3)由题意的解析式,求得,令,求得,利用得存在,
使,且在上递减,在上递增,求得函数的的最小值,再转化为函数,
利用导数的单调性,即可求解实数的取值范围
试题解析:
1)由可得,函数在单减,在单增,所以函数的极值在取得,为极小值;
2)根据
(1)知的极小值即为最小值,即可推得当且仅当取等,所以,
所以有
(3)
令,则,∴在上递增
∵,当时,∴存在,使,且在上递减,在上递增
∵∴,即
∵对于任意的,恒有成立
∴
∴∴∴,又,
∵∴,令,,显然在单增,而,,
∴∴.点睛:
本题主要考查导数在函数中的应用,不等式的证明和不等式的恒成立问题,考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,对导数的应用的考查主要从以下几个
角度进行:
(1))利用导数求函数的单调区间,判断单调性或求参数值(取值范围);(2利用导数求函数的最值(极值),解决函数的恒成立与有解问题;(3)考查数形结合思想的应用.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点的极坐标为,点到直线的距离为.
(1)求值以及直线在平面直角坐标系下的方程;
(2)椭圆上的一个动点为,求到直线距离的最大值.
【答案】
(1).
(2)
【解析】
试题分析:
(1)利用极坐标与直角坐标的互化得到直线的直角坐标方程,再利用点到直线的距离公式,即可求解实数的值;
(2)设点,利用点到直线距离,确定时,即可求得距离的最大值.
试题解析:
(1)则点的直角坐标为,直线的直角坐标方程为又,所以直线的直角坐标方程为
.
(2)由
(1)得方程为,设点,
所以点到直线距离为,当时,距离有最大值,最大值为
23.函数,其最小值为.
(1)求的值;
(2)正实数满足,求证:
.
【答案】
(1)3;
(2)
【解析】
试题分析:
(1)由题意,利用绝对值三角不等式求得的最小值,即可求解的值;
(2)根据柯西不等式,即可作出证明.
试题解析:
(1),当且仅当取等,所以的最小值
(2)根据柯西不等式,
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- 重庆市 第一 中学 届高三 下学 第一次 月考 学理 试题 解析