学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语132补集及集合运算的综合应用.docx
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学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语132补集及集合运算的综合应用
第2课时 补集及集合运算的综合应用
1.理解全集、补集的概念.
2.准确翻译和使用补集符号和Venn图.
3.会求补集,并能解决一些集合综合运算的问题.
1.全集
(1)定义:
如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集.
(2)符号表示:
全集通常记作U.
2.补集
温馨提示:
∁UA的三层含义:
(1)∁UA表示一个集合;
(2)A是U的子集,即A⊆U;
(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合.
1.A={高一
(1)班参加足球队的同学},B={高一
(1)班没有参加足球队的同学},U={高一
(1)班的同学}.
(1)集合A,B,U有何关系?
(2)B中元素与U和A有何关系?
[答案]
(1)U=A∪B
(2)B中的元素在U中,不在A中
2.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)全集是由任何元素组成的集合.( )
(2)不同的集合在同一个全集中的补集也不同.( )
(3)集合∁BC与∁AC相等.( )
(4)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素.( )
[答案]
(1)×
(2)√ (3)× (4)√
题型一补集的运算
【典例1】
(1)已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x<5},则∁UA=________________;
(2)已知全集U,集合A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},
∁UB={1,4,6},则集合B=________________.
[思路导引] 借助补集定义,结合数轴及Venn图求解.
[解析]
(1)将集合U和集合A分别表示在数轴上,如图所示.由补集定义可得∁UA={x|x<-3或x=5}.
(2)解法一:
A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},
∴U={1,2,3,4,5,6,7}.
又∁UB={1,4,6},∴B={2,3,5,7}.
解法二:
借助Venn图,如图所示.
由图可知B={2,3,5,7}.
[答案]
(1){x|x<-3或x=5}
(2){2,3,5,7}
求集合补集的基本方法及处理技巧
(1)基本方法:
定义法.
(2)两种处理技巧
①当集合用列举法表示时,可借助Venn图求解;
②当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助数轴,利用数轴分析求解.
[针对训练]
1.设全集U=R,集合A={x|2 [解析] 用数轴表示集合A为图中阴影部分,∴∁UA={x|x≤2或x>5}. [答案] {x|x≤2或x>5} 2.设U={x|-5≤x<-2或2 [解析] 解法一: 在集合U中, ∵x∈Z,则x的值为-5,-4,-3,3,4,5, ∴U={-5,-4,-3,3,4,5}. 又A={x|x2-2x-15=0}={-3,5}, ∴∁UA={-5,-4,3,4},∁UB={-5,-4,5}. 解法二: 可用Venn图表示. 则∁UA={-5,-4,3,4},∁UB={-5,-4,5}. [答案] {-5,-4,3,4} {-5,-4,5} 题型二交集、并集、补集的综合运算 【典例2】 已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2 [解] 把全集U和集合A,B在数轴上表示如下: 由图可知∁UA={x|x≤-2或3≤x≤4}, A∩B={x|-2 解决集合交、并、补运算的2个技巧 (1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解. (2)如果所给集合是无限集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. [针对训练] 3.设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则(∁RS)∪T等于( ) A.{x|-2 C.{x|x≤1}D.{x|x≥1} [解析] ∵S={x|x>-2},∴∁RS={x|x≤-2}. 而T={x|-4≤x≤1}, ∴(∁RS)∪T={x|x≤-2}∪{x|-4≤x≤1}={x|x≤1}. [答案] C 4.设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2 [解析] 由题意知,A∪B={x|2 ∴∁R(A∪B)={x|x≤2或x≥10}. 又∁RA={x|x<3或x≥7}. ∴(∁RA)∩B={x|2 [答案] {x|x≤2或x≥10} {x|2 题型三利用集合间的关系求参数 【典例3】 设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2 [思路导引] 理清集合间的关系,分类求解. [解] 由已知A={x|x≥-m},得∁UA={x|x<-m}, 因为B={x|-2 所以-m≤-2,即m≥2,所以m的取值范围是m≥2. [变式] (1)将本例中条件“(∁UA)∩B=∅”改为“(∁UA)∩B≠∅”,其他条件不变,则m的取值范围又是什么? (2)将本例中条件“(∁UA)∩B=∅”改为“(∁UB)∪A=R”,其他条件不变,则m的取值范围又是什么? [解] (1)由已知得A={x|x≥-m}, 所以∁UA={x|x<-m}, 又(∁UA)∩B≠∅,所以-m>-2,解得m<2. (2)由已知得A={x|x≥-m}, ∁UB={x|x≤-2或x≥4}. 又(∁UB)∪A=R,所以-m≤-2,解得m≥2. 利用集合关系求参数的2个注意点 (1)与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解,涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况. (2)不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视,还要注意补集是全集的子集. [针对训练] 5.已知集合A={x|x (1)若A∪(∁RB)=R,求实数a的取值范围; (2)若A(∁RB),求实数a的取值范围. [解] (1)∵B={x|1 ∴∁RB={x|x≤1或x≥3}, 因而要使A∪(∁RB)=R,结合数轴分析(如图),可得a≥3. (2)∵A={x|x 要使A(∁RB),结合数轴分析(如图),可得a≤1. 课堂归纳小结 1.全集与补集的互相依存关系 (1)全集并非是包罗万象,含有任何元素的集合,它是对于研究问题而言的一个相对概念,它仅含有所研究问题中涉及的所有元素,如研究整数,Z就是全集,研究方程的实数解,R就是全集.因此,全集因研究问题而异. (2)补集是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的,因此,它们是互相依存、不可分割的两 个概念. (3)∁UA的数学意义包括两个方面: 首先必须具备A⊆U;其次是定义∁UA={x|x∈U,且x∉A},补集是集合间的运算关系. 2.补集思想 做题时“正难则反”策略运用的是补集思想,即已知全集U,求子集A,若直接求A困难,可先求∁UA,再由∁U(∁UA)=A求A. 1.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合 ∁U(A∪B)=( ) A.{x|x≥0}B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1}D.{x|0 [解析] ∵A={x|x≤0},B={x|x≥1}, ∴A∪B={x|x≤0或x≥1}, ∴∁U(A∪B)={x|0 [答案] D 2.已知三个集合U,A,B之间的关系如图所示,则(∁UB)∩A=( ) A.{3}B.{0,1,2,4,7,8} C.{1,2}D.{1,2,3} [解析] 由Venn图可知U={0,1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3},B={3,5,6},所以(∁UB)∩A={1,2}. [答案] C 3.设全集U={x∈N|x≤8},集合A={1,3,7},B={2,3,8},则(∁UA)∩(∁UB)=( ) A.{1,2,7,8}B.{4,5,6} C.{0,4,5,6}D.{0,3,4,5,6} [解析] ∵U={x∈N|x≤8}={0,1,2,3,4,5,6,7,8}, ∴∁UA={0,2,4,5,6,8},∁UB={0,1,4,5,6,7}, ∴(∁UA)∩(∁UB)={0,4,5,6}. [答案] C 4.全集U={x|0 [解析] ∁UA={x|5≤x<10},如图所示. [答案] {x|5≤x<10} 5.设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},且∁UA={5},求实数a的值. [解] ∵∁UA={5},∴5∈U,但5∉A, ∴a2+2a-3=5,解得a=2或a=-4. 当a=2时,|2a-1|=3, 这时A={3,2},U={2,3,5}. ∴∁UA={5},适合题意.∴a=2. 当a=-4时,|2a-1|=9,这时A={9,2},U={2,3,5},A⃘U,∴∁UA无意义,故a=-4应舍去. 综上所述,a=2. 课内拓展 课外探究 空集对集合关系的影响 空集是不含任何元素的集合,它既不是有限集,也不是无限集.空集就像一个无处不在的幽灵,解题时需处处设防,提高警惕. 空集是任何集合的子集,其中“任何集合”当然也包括了∅,故将会出现∅⊆∅.而此时按子集理解不能成立,原因是前面空集中无元素,不符合定义,因此知道这一条是课本“规定”. 空集是任何非空集合的真子集,即∅A(而A≠∅).既然A≠∅,即必存在a∈A而a∉∅,∴∅A. 由于空集的存在,关于子集定义的下列说法有误,如“A⊆B,即A为B中的部分元素所组成的集合”.因为从“部分元素”的含义无法理解“空集是任何集合的子集”、“A是A的子集”、“∅⊆∅”等结论. 在解决诸如A⊆B或AB类问题时,必须优先考虑A=∅时是否满足题意. 【典例1】 已知集合A={x|x2-2x-8=0},B={x|x2+ax+a2-12=0},求满足B⊆A的a的值组成的集合. [解] 由已知得A={-2,4},B是关于x的一元二次方程x2+ax+a2-12=0(*)的解集.方程(*)根的判别式Δ=a2-4(a2-12)=-3(a2-16). (1)若B=∅,则方程(*)没有实数根,即Δ<0,∴-3(a2-16)<0, 解得a<-4或a>4.此时B⊆A. (2)若B≠∅,则B={-2}或{4}或{-2,4}. ①若B={-2},则方程(*)有两个相等的实数根x=-2, ∴(-2)2+(-2)a+a2-12=0,即a2-2a-8=0. 解得a=4或a=-2.当a=4时,恰有Δ=0; 当a=-2时,Δ>0,舍去.∴当a=4时,B⊆A. ②若B={4},则方程(*)有两个相等的实数根x=4, ∴42+4a+a2-12=0,解得a=-2,此时Δ>0,舍去. ③若B={-2,4},则方程(*)有两个不相等的实数根x=-2或x=4,由①②知a=-2,此时Δ>0,-2与4恰是方程的两根. ∴当a=-2时,B⊆A. 综上所述,满足B⊆A的a值组成的集合是{a|a<-4或a=-2或a≥4}. [点评] ∅有两个独特的性质,即: (1)对于任意集合A,皆有A∩∅=∅; (2)对于任意集合A,皆有A∪∅=A.正因如此,如果A∩B=∅,就要考虑集合A或B可能是∅;如果A∪B=A,就要考虑集合B可能是∅. 【典例2】 设全集U=R,集合M={x|3a-1 [解] 根据题意可知: N≠∅,又∵N⊆(∁UM). ①当M=∅,即3a-1≥2a时,a≥1. 此时∁UM=R,N⊆(∁UM)显然成立. ②当M≠∅,即3a-1<2a时,a<1. 由M={x|3a-1 又∵N⊆(∁UM),∴结合数轴分析可知 或 得a≤- . 综上可知,a的取值集合为 . [点评] 集合的包含关系是集合知识重要的一部分,在后续内容中应用特别广泛,涉及集合包含关系的开放性题目都以子集的有关性质为主,因此需要对相关的性质有深刻的理解.对于有限集,在处理包含关系时可列出所有的元素,然后依条件讨论各种情况,找到符合条件的结果. 课后作业(五) 复习巩固 一、选择题 1.设全集U=R,集合P={x|-2≤x<3},则∁UP等于( ) A.{x|x<-2或x≥3} B.{x|x<-2或x>3} C.{x|x≤-2或x>3} D.{x|x≤-2且x≥3} [解析] 由P={x|-2≤x<3}得,∁UP={x|x<-2或x≥3}.故选A. [答案] A 2.集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则A∩(∁RB)=( ) A.{x|x>1}B.{x|x≥1} C.{x|1 [解析] ∵B={x|x<1},∴∁RB={x|x≥1}. ∴A∩(∁RB)={x|1≤x≤2}. [答案] D 3.已知全集U={1,2,a2-2a+3},A={1,a},∁UA={3},则实数a等于( ) A.0或2B.0 C.1或2D.2 [解析] 由题意,知 则a=2. [答案] D 4.设全集U是实数集R,M={x|x>2或x<-2},N={x|x≥3或x<1}都是全集U的子集,则图中阴影部分所表示的集合是( ) A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x≤2} C.{x|1 D.{x|x<2} [解析] 阴影部分表示的集合为N∩(∁UM)={x|-2≤x<1},故选A. [答案] A 5.设集合U={-1,1,2,3},M={x|x2+px+q=0},若 ∁UM={-1,1},则实数p+q的值为( ) A.-1B.-5 C.5D.1 [解析] 由已知可得M={2,3}, 则2,3为方程x2+px+q=0的两根, 则p=-(2+3)=-5,q=2×3=6. 故p+q=-5+6=1.故选D. [答案] D 二、填空题 6.已知全集U={x|x≥-3},集合A={x|-3 [解析] 借助数轴得∁UA={x|x=-3或x>4}. [答案] {x|x=-3或x>4} 7.已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则(∁UA)∪B为________. [解析] 由U={0,1,2,3,4},A={1,2,3}, 得∁UA={0,4},因为B={2,4}, 所以(∁UA)∪B={0,2,4}. [答案] {0,2,4} 8.设全集U={0,1,2,3},集合A={x|x2+mx=0},若∁UA={1,2},则实数m=________. [解析] ∵U={0,1,2,3},∁UA={1,2},∴A={0,3},故m=-3. [答案] -3 三、解答题 9.设集合A={x|-5≤x≤3},B={x|x<-2或x>4},求A∩B,(∁RA)∪(∁RB). [解] A∩B={x|-5≤x≤3}∩{x|x<-2或x>4}={x|-5≤x<-2},∁RA={x|x<-5或x>3},∁RB={x|-2≤x≤4}. ∴(∁RA)∪(∁RB)={x|x<-5或x>3}∪{x|-2≤x≤4}={x|x<-5或x≥-2}. 10.已知集合A={x|2a-2 [解] ∁RB={x|x≤1或x≥2}≠∅,因为A∁RB, 所以分A=∅和A≠∅两种情况讨论. ①若A=∅,此时有2a-2≥a,所以a≥2. ②若A≠∅,则有 或 所以a≤1.综上所述,a≤1或a≥2. 综合运用 11.已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-2或x>4},那么集合(∁UA)∩(∁UB)等于( ) A.{x|3 C.{x|3≤x<4}D.{x|-1≤x≤3} [解析] ∵∁UA={x|x<-2或x>3},∁UB={x|-2≤x≤4},∴(∁UA)∩(∁UB)={x|3 [答案] A 12.已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N∩(∁IM)=∅,则M∪N等于( ) A.MB.N C.ID.∅ [解析] 因为N∩(∁IM)=∅,所以N⊆M(如图),所以M∪N=M. [答案] A 13.已知集合A={1,3,x},B={1,x2},若B∪(∁UB)=A,则∁UB=__________________. [解析] 因为B∪(∁UB)=A,所以A=U. ①当x2=3时,x=± ,B={1,3},∁UB={ }或{- }. ②当x2=x时,x=0或1.当x=0时,B={0,1},∁UB={3};而当x=1时不合题意,舍去. [答案] {- }或{ }或{3} 14.已知R为实数集,集合A={x|1≤x≤2},若B∪(∁RA)=R,B∩(∁RA)={x|0 [解析] ∵A={x|1≤x≤2}, ∴∁RA={x|x<1或x>2}. 又B∪(∁RA)=R,A∪(∁RA)=R,可得A⊆B. 而B∩(∁RA)={x|0 ∴{x|0 借助于数轴可得B=A∪{x|0 [答案] {x|0 15.已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3 (1)求A∪B,(∁RA)∩B; (2)若A∩C≠∅,求a的取值范围. [解] (1)因为A={x|2≤x<7},B={x|3 因为A={x|2≤x<7},所以∁RA={x|x<2或x≥7}, 则(∁RA)∩B={x|7≤x<10}. (2)因为A={x|2≤x<7},C={x|x 所以a>2,所以a的取值范围是{a|a>2}.
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- 学年 新教材 高中数学 第一章 集合 常用 逻辑 用语 132 运算 综合 应用