完整版相似三角形常见模型总结材料doc.docx
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第一部分相似三角形模型分析
一、相似三角形判定的基本模型认识
(一)A字型、反A字型(斜A字型)
A
A
D
DEE
BCBC
(平行)(不平行)
(二)8字型、反8字型
A
AB
B
O
J
C
D
D
C
(蝴蝶型)
(平行)
(不平行)
(三)母子型
A
A
D
D
BCC
(四)一线三等角型:
三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景
标准文案
实用文档
(五)一线三直角型:
(六)双垂型:
A
D
C
二、相似三角形判定的变化模型
旋转型:
由A字型旋转得到。
8字型拓展
A
A
EF
G
DBCEBC
共享性
标准文案
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一线三等角的变形
一线三直角的变形
标准文案
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第二部分相似三角形典型例题讲解
母子型相似三角形
例1:
如图,梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD交于点O,BE∥CD交CA延长线于E.
求证:
OC2OAOE.
例2:
已知:
如图,△
ABC中,点E在中线AD上,
DEB
ABC.
B
求证:
(
1)DB2
DEDA;
(2)
DCE
DAC.
D
E
AC
例3:
已知:
如图,等腰△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,CG∥AB,BG分别交AD、AC于E、F.
求证:
BE2EFEG.
相关练习:
1、如图,已知AD为△ABC的角平分线,EF为AD的垂直平分线.求证:
FD2FBFC.
标准文案
实用文档
2、已知:
AD是Rt△ABC中∠A的平分线,∠C=90°,EF是AD的垂直平分线交AD于M,EF、BC的延长线交于一点N。
求证:
(1)△AME∽△NMD;
(2)ND2=NC·NB
3、已知:
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E
是AC上一点,CF⊥BE于F。
求证:
EB·DF=AE·DB
4.在ABC中,AB=AC,高AD与BE交于H,EFBC,垂足为F,延长AD到G,使DG=EF,M是AH的中点。
求证:
GBM90
5.(本题满分14分,第
(1)小题满分4分,第
(2)、(3)小题满分各
已知:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=4,P是斜边AB
一个动点,PD⊥AB,交边AC于点D(点D与点A、C都不重合),E是射
A
M
E
H
B
D
C
F
G
5分)
上的
B
线DC上一点,且∠EPD=∠A.设A、P两点的距离为
x,△BEP的面积为
y.
P
(1)求证:
=2;
AEPE
A
C
D
E
(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(第25
题图)
(3)当△BEP与△ABC相似时,求△BEP的面积.
标准文案
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双垂型
1、如图,在△ABC中,∠A=60°,BD、CE分别是AC、AB上的高求证:
(1)△ABD∽△ACE;
(2)△ADE∽△ABC;(3)BC=2ED
A
E
D
2、如图,已知锐角△ABC,AD、CE分别是BC、AB边上的高,△ABC和△BDE的面积分别是27和3,DE=62,
求:
点B到直线AC的距离。
BC
A
E
BDC
共享型相似三角形
1、△ABC是等边三角形
D、B、C、E在一条直线上
120
,已知BD=1,CE=3,,求等边三角形的边
∠DAE=
长.
A
DBCE
2、已知:
如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠DAE=45°.
求证:
(1)△∽△
;
(2)
BC
2
2BECD
.
ABE
ACD
A
一线三等角型相似三角形
C
BDE
A
标准文案
EF
实用文档
例1:
如图,等边△ABC中,边长为6,D是BC上动点,∠EDF=60°
(1)求证:
△BDE∽△CFD
(2)当BD=1,FC=3时,求BE
例2:
(1)在
ABC中,AB
AC5,BC
8,点P、Q分别在射线CB、AC上(点P不与点C、
点B重合),且保持APQ
ABC.
①若点P在线段CB上(如图),且BP
6,求线段CQ的长;
②若BP
x,CQ
y,求y与x之间的函数关系式,并写出函数的定义域;
A
A
A
Q
B
P
C
B
C
B
C
备用图
备用图
(2)正方形ABCD的边长为5(如下图),点P、Q分别在直线..CB、DC上(点P不与点C、点B重
合),且保持APQ90.当CQ1时,求出线段BP的长.
ADADAD
BCBCBC
例3:
已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,且AD=5,AB=DC=2.
(1)如图8,P为AD上的一点,满足∠BPC=∠A.
ABPDPC
A
P
D
①求证;△∽△
AP
②求的长.
B
C
(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合),且满足∠BPE=∠A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么
标准文案
实用文档
①当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定
义域;
②当CE=1时,写出AP的长.
AD
AD
BB
CC
例4:
如图,在梯形
ABCD中,AD∥BC,AB
CDBC6,AD
3.点M为边BC的中点,以
M为顶点作
EMF
B,射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F,联结EF.
(1)求证:
△MEF∽△BEM;
(2)若△BEM是以BM为腰的等腰三角形,求
EF的长;
(3)若EF
CD,求BE的长.
相关练习:
1、如图,在△
ABC中,ABAC
8,BC10,D是BC边上的一个动点,点
E在AC边上,且
ADEC.
(1)
求证:
△
∽△
;
ABDDCE
A
(2)
如果BD
x,AE
y,求y与x的函数解析式,并写出自变量
x的定义域;
(3)
当点D是BC的中点时,试说明△
ADE是什么三角形,并说明理由.
E
B
D
C
2、如图,已知在△
中,
==6,
=5,
D
是
AB
上一点,
=2,
E
是
BC
上一动点,联结
,并作
ABC
ABAC
BC
BD
DE
标准文案
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DEFB,射线EF交线段AC于F.
(1)求证:
△DBE∽△ECF;
(2)当F是线段AC中点时,求线段
BE的长;
(3)联结DF,如果△DEF与△DBE相似,求FC的长.
A
F
D
BEC
3、已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,且BC=6,AB=DC=4,点E
是AB的中点.
(1)如图,P为BC上的一点,且BP=2.求证:
△BEP∽△CPD;
(2)如果点P在BC边上移动(点P与点B、C不重合),且满足∠EPF=∠C,PF交直线CD于点F,同
时交直线AD于点M,那么
x
①当点
F
在线段
的延长线上时,设
=
,
=
y
,求
y
关于
的函数解析式,并写出函数的定义
CD
BPx
DF
域;
②当SDMF
9SBEP时,求BP的长.
4
D
A
A
D
E
E
B
P
C
B
C
(第25
题
(备用图)
4、如图,已知边长为
3的等边
ABC,点F在边BC上,CF
1,点E是射线BA上一动点,以线段EF
为边向右侧作等边
EFG,直线EG,FG交直线AC于点M,N,
(1)写出图中与
BEF相似的三角形;
(2)证明其中一对三角形相似;
(3)设BEx,MN
y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量
x的取值范围;
(4)若AE1,试求GMN的面积.
备用图
标准文案
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一线三直角型相似三角形
例1、已知矩形ABCD中,CD=2,AD=3,点P是AD上的一个动点,且和点A,D不重合,过点P作PECP,
交边AB于点E,设PDx,AEy,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围。
APD
E
BC
例2、在
ABC中,C
90o,AC
4,BC
3,O是AB上的一点,且
AO
2,点P是AC上的一个动
AB
5
点,PQ
OP交线段
BC
于点
,(不与点
B,C
重合),设APx,CQ
y,试求
y
关于
x
的函数关系,
Q
并写出定义域。
C
Q
P
BA
O
【练习1】
在直角ABC中,C90o,AB5,tanB3,点D是BC的中点,点E是AB边上的动点,DFDE
4
交射线AC于点F
(1)、求AC和BC的长
(2)、当EF//BC时,求BE的长。
(3)、连结EF,当DEF和ABC相似时,求BE的长。
AA
EE
F
F
B
CDCDB
【练习2】
标准文案
实用文档
在直角三角形ABC中,C90o,ABBC,D是AB边上的一点,E是在AC边上的一个动点,(与A,C不
重合),DFDE,DF与射线BC相交于点F.
(1)、当点D是边AB的中点时,求证:
DEDF
(2)、当AD
m,求DE的值
DB
DF
(3)、当AC
BC
AD
1
x,BF
y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域
6,
,设AE
DB
2
C
C
F
F
E
E
A
D
B
A
D
B
【练习4】]如图,在
ABC中,C90
,AC
6,tanB
3
,D是BC边的中点,E为AB边上
4
的一个动点,作
DEF90,EF交射线BC于点F.设BE
x,
BED的面积为y.
(1)求y关于x的函数关系式,并写出自变量
x的取值范围;
(2)如果以B、E、F为顶点的三角形与
BED相似,求
BED的面积.
【练
习
5】、
(2015年黄浦一模25)
如图,在梯形ABCD中,ABCD,
AB2,AD4,tanC
4
,ADC
DAB900,P是腰BC
3
上一个动点(不含点B、C),作PQ
AP交CD于点Q.(图1)
(1)求BC的长与梯形ABCD的面积;
(2)
当PQ
DQ时,
求BP的长;(图2)
(3)
设BP
x,CQ
y,试求y关于x的函数解析式,并写出定义域.
A
B
A
B
P
P
标准文案
DQCDQC
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(图1)(图2)
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