结构力学课后解答第10章结构动力学.docx
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结构力学课后解答第10章结构动力学
第十章
10-5试确定图示各体系的动力自由度,忽略弹性杆自身的质址。
(a)
m2
hjr^Trr^r
分布质址的刚度为无穷大.由广义坐标法可知.体系仅有两个振动自由度*0。
(C)
ntnt
(d)
2E1
T777T
在集中质虽处施加刚性链杆以限制质虽运动体系。
有四个自由度。
10-8图示结构横梁具有无限刚性和均布质虽帀,3处有一弹性支座(刚度系数为《),C处有一阻尼辭(阻尼系数为梁上受三角形分布动力荷载作用,试用不同的方法建立体系的运动方程。
解:
1〉刚度法
该体系仅有一个自由度。
可设A截面转角a为坐标顺时针为正,此时作用于分布质量历上的惯性力呈三角形分布。
其端部集度为两“
取A点隔离体•A结点力矩为:
M.=lx7?
i/nx/x?
/
233
由动力荷栽引起的力矩为:
丄你厂/•二/=丄你厂
33
由弹性恢复力所引起的弯矩为:
k・U・Ll^cal2
33
根据A结点力矩平衡条件+M“+M、=0可得:
1—门kap4⑴"
一〃?
a/+_/・+ca厂=
393
整理得:
—••ka加a+—+
3/
3ca細
〒=〒
2)力法
解:
取AC杆转角为坐标,设在平衡位置附近发生虚位移a。
根据几何关系,虚
—-ka3ca
—+—
3//
功方程为:
-aJ2a一-lak-la-lalac-[maxaxdx=0
则同样有:
10-9图示结构AD和DF杆具有无限刚性和均布质处转动弹簧狡的刚度系数为怎・C、
E处弹费的刚度系数为b/?
处阻尼器的阻尼系数为c试建立体系自由振动时的运动方程。
取DF隔离体.22附尸=0:
「2d
R2a=mx2adx^—ka2aJo2
3R=2血a+-kaa
4
取AE隔离体:
人=0
心a+[“用adx+ca1°+4防°+3&=°
将R代入,整理得:
__25、
R=15〃?
"a+亍肋'a+&a=0
(a)
10-10试建立图示各体系的运动方程。
解:
(1)以支座B处转角作为坐标.绘出梁的位移和受力图如下所示。
图中惯性力为三角形分布,方向与运动方向相反。
W(/)
—nila
(2)Bi出Mp和届图(在B点处作用一附加约束)
(3)列出刚度法方程
2
I[p少4(n11w
—-19El24M.
代入R“、褊的值,整理得:
加q+年i^=
")
厂
解:
屁图
试用柔度法解题此体系自由度为1。
设质虽集中处的竖向位移y为坐标。
y是由动力荷载锋⑴和惯性力矩共同引起的。
由图乘法:
惯性力矩为-myl,
1/2
"6E7
5厂
48E/
v=
3EI
3£75
经整理得,体系运动方程为:
也〉,+于〉,=丘©⑴。
10-11试求图示各结构的自振频率•忽略杆件自身的质址。
(a)
m
彳o%?
臼=常数厶
2a=>4<-aa卜“
解:
图乘得:
几=丄話厶“畀厶£+2x2计厶卜竺
EI\22323)6EZ
(b)
Y〃几\5ma-
m
解:
此体系为静定结构.内力容易求得。
2在集中质址处施加垂直力P.使质址发生竖向讥位位移.可得弹簧处位移为一。
3
4由此根据弯矩平衡可求得P=—ko
9
(C)
El
EAi=°°
上简支梁柔度系数为磐二备下简支梁柔度系数为
于是两者并联的柔度系数为务「盼96曰|。
2日
(d)
Trrrr
b*—/十—IT
解:
在原结构上质虽运动方向加上一根水平支杆后•施加笊位水平位移后画得弯矩
图如下。
水平支杆中力为
黔7
30EI
1M
(e)忽略水平位移
解:
而图
x2x^+lx3fl=fs
(f)
M图
硏图玩图
1
右+右
3232
0.014974/3=E/
3f2316213f
/x—X—/+—X—X—/
21933219364
0=薦=気爲4'7聽
10-15设已测得某单自由度结构在振动10周后振幅由1.188mm减小至0.060mm,试求该结构
|y|||88
的阻尼比仁解:
——In—=——In—=0.04752n7ry*20龙0.06
10-16设有阴尼比<=0.2的单自由度结构受简谐荷aFr(r)=Fsin0t作用,且有&=O.75e。
若阻尼比降低至$=0.02,试问要使动位移幅值不变,简谐荷救的幅值应涮整到笫大?
tF解:
A=T
mar
已知§从0.2降低至0・02・&=0.75e,Fx=FsinOt,A不变。
A=
f2
卜汀"0.02详
=>耳=0・827耳
F简谐荷载的幅值应调整到0.827Fo
10-19试求图示梁在简谐荷载作用下作无阻尼强迫振动时质虽处以及动力荷载作用点的动位
(a)
解:
由力法可知,琨位荷裁作用在B点引起打位移。
V/?
/JVml
Ipfff/3
yhl=——才sin^r=—sin^f即幅值为——
⑴,少加fir3EZ3EI
1-^r
X幅值最大时.弯矩也报大。
(b)
解:
M皿图
FsinOt
El
屁图
(1)求结构运动方程
jTrnrnTrrT-T-^l
如所示弯矩图,图乘后,
Is5/
,Jn==3Ei^l2=^2l=isEi
-my\^f[2FsinOt
y+啤¥=匹抽创mP•2m
5
_2
24E/
—sinOi二fir
其中宀等八1「稳态解:
sin0t
1-1
4
5FP.〜
sinOt36£/
所示结构的运动方程为y⑴36曰
(2)求B点的动位移反应
C点最大动位移幅值为篇
~f、
p・021
+%
*八》
少.少
]_-~
sinOf
儿厂竺Si"
•W36EZ
P
sin创
PP1214.门
sinw
3EI1283121”.
sindf
288曰
12IP/
B点的动位移幅值为上上丄
288E/
=x—+x—-
288£/I236EII2
(3)绘制最大动力弯矩图
3EI
Mi图
10-20试求图示集中质址体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。
设杆件为无限
刚性,弹赞的刚度系数为怎
g(/)=qsin&『
32
9
若%)为静力荷载,弹簧中反力为一“。
8
已知图示体系为静定结构,具有一个自由度。
设为B点处顺时针方向转角a为
坐标。
建立动力方程:
a—ma—+a—-——l+kal■al=卩qaxdx
22232J。
amaI2+ka2l2=aq-l2^>ma+ka=-q
88
则弹贽支座的最大动反力为-
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用,试求各柱所受的最大动剪力。
已知£/=6X106N.nr,“=0」s,^=8X1^0
(a)
解:
求排架自振频率•横梁无限刚性,
则各排架水平侧移相同。
可将排架柱视为三个并联的弹赞。
边柱刚度柔数k\=k、=
3EI
/F
\2EI
12x6xlO6A^/h2
\'63/?
73-8OOOxlO2N
=0.645rad/s
T=—=9.735>
CD
T9.7397.3
数值很小
所以认为当作用结束时,结构位移很小,弹性力忽略不计,于是根据动量守恒原理刁J得:
ni'Va=*Ffi=>8x10’片]=gx8x10“x0.1
=>vfl=5xlO_\/7/^
再根据势能守恒得:
£处:
=+血n*x8x10’x(5x10」)2=|x|x106xy:
=>yxl=0.0077m
①中=儿•乩=0.0077x1xl06=l283/V‘FQ^=\-FQC?
J=642/Vu乙
10-22设图a所示排架横梁为无限刚性,并有图b所示水平短时动力荷载作用,试求横梁的动位移=
(a)解:
在三角形冲击荷载作用下做自由度休系的质点位移反应可分两个阶段考世°
第一阶段(0<心):
儿严士“叱)
sine(f_Z)dZ
=鶴烽in吩Z“Z
求T的过程。
顾图
第二阶段(/>")
CD
因为不受外力作用,所以横梁以人时刻的位移和速度为初始值做自由振动。
(b)
10-23设题10・22图a所示刚架加=4000kgM=4m,刚架作水平自由振动时因阻尼引起振幅的对数递减率y=0.10o若要求振幅在10秒内衰减到最大振幅的5%,试求刚架柱子的弯曲刚度E/至少为何值。
解:
(1)求周期数。
一hi0.05
0.1
=30
窗=(2x3•⑷59x30)l4.0xl0l]421.223xl0吶加C;io2
两柱并联
2EI・2=knEI=3:
19x\0N・m2
/F
10-24设某爪自由度体系在简谐荷载FHO=FsinOt作用下作有阻尼强迫振动,试问简谐荷载
频率&分别为何值时,体系的位移响应、速度响应和加速度响应达到最大?
解:
在简谐荷戦斤(山Fsin创作用下,稳态位移响应可表示为儿)=4sin(分一a)
其中:
A=
(1)使动位移最大•即使“最大,
(毋Y02
T7j小。
202
ar
T+用
2+4泮
arar
使/(;)=0,则&=诃1_2孑
(2)儿)=%cos⑹一a)g“)最小。
使:
g彷)"冷一舟卜》一土卜0得6=3。
1一织+4年£
少丿少
01
ar
]0V
如果使速度响应最大,则gp)最大,设g"|=—
3)
2
“21
+4^—
显然要求
(3)=-61As\n(3t-a)
e1
令屜H存十)+爲显然要求伽最小。
则心)=丄-上生=0解的:
0"0-
10-26试用柔度法求下列集中质虽体系的自振频率和主振型。
(a)
解:
(1)E[f\
莎图玩图
Elf”=2x—x/x—x—x—+—x—x/=>f“=——,fn=f>i=0
223222'一\2EI儿八
(2)振型方程
P1)
厨加一歹片+0兮0
0・儿+
-^•2/h-XK=0
[\2EIa)2)-
12F7
令几=W,频率方程为:
D=mlar
3-2
0
0
10-2
=0
=>(2-3XA-10)=0
二>人=10,禺=3
*=J旦L1.095
1VlO/n/3
I12EZ小
3.=ir=2
・V3mP
(3)振型图如下
第二振型
得振型方程:
6EI
m——LA.+
3EIar
/
S+
6EI
in_
6E/少
-4^2=0-令厶
13EI
2.414-A0.707
°=0.7070.707-2*由频*力"°=(,
o
A】】0.7071,A12
解:
屁图
图
2
_M
13/'
'1J'A=両'『a=12El'办2=^21
5/3加
(2)振型方程
13/3
ri
A.+
3EIa)2厂
5/3).
m•A+
\2EI
w4^=o
12F/
令几=上二,频率方程为:
D=ml盯
4-2
5
5
13-2
=0
"-17人+52-25=0=>^=15.227^=1.773
=1602
⑶、”|几=&=15.227时,设九=1=>每=台”=0.7227当兄=入=1.773时,设A.=1=>A”=鱼二^=-0.6227
-匸_10
(d)
0.6227
第二振型
解:
第一振型
Afi图
1
而2图
6El丿
11竺
48E7
1a3
48E7
1//;1/^|/2d=—
1.212J二
%"丄
6El2{2/kl+2/kl
11a3
48E7
频率方程为:
亦血如-土
=0
_1-X
取〃《=ma、叫=-nta代入整理得:
+40/=0其中兄=上浜
3a〃Q
Ay=11.045讥=3.625a
Vll.O45n4/H\a4m
4=I4S£/,~=3.639耳
V3.625n?
?
j/n
振型方程为:
£阿人+(九.加2_+)舛=0
将”=色人=10=1・2)代入(a)式中的第一个方程中,得:
■7T"<5ii,hi
0.2301—-0.2292—
_ElEl
?
1-3
-ma
48E73
0.135
3.625—11〃/
48El
1—jnia48£73
-22.125
绘出振型图如下:
解:
屁图
(1),f“=
112EI2・2EI
P
6E7
(2)振型方程
eie\
nt-—A.+mA.+0A,=0
2EIa)2)16EZ;■
/31(Is1)
6EZ;1[2EIar}'
0-Aj+0•Ay+
.6EI
\
令入=学
mlar
频率方程为:
3-2
D=1
0
0
0=0
2-A
振型图如下:
1
1
1
_-7
第一振型
1
第二振型
A
第三振型
(0
T
nt
E/=常数
m
解:
丄
M\图
屁图
证图
1,
8.93
5;u14I
%=——a',5
113EI
八=a=—a,富[=£
-3E133Elu
6£/3E1
(2)振型方程为:
'RIL
——〃]_r人+
3日少厂
(若T”
4
3£7
m-A+
6E1;
Vm3EI
■A
8卅14
〃[一人+
3EI少厂
'14R人
m•人+3EI厂
墙则4=0
—=0
3EZ丿'
(9R
I百
•4m-丄人=0
少丿
人?
6EI
频率方程为:
D=
2-久
5
8
5
16-A
28
32
112
216-/1
=0
=>人=231•&人=1.936,=0.2317
g=l・76oJZ®=5・089
Yma
二=0.161
仃、
(\、
的=
3.469
{A}2=1.390
他=
-0.687
6.640丿
•0.219,
.0.052,
10-27试用刚度法求下列集中质虽体系的自振频率和主振型。
(a)
解:
/wi=m
El
/W2=2m
ElEZ
El
El
证图
24£/
.24E/;48E/
~7?
~•^22=~3~
24-v-24
=0
-2448-2v
~eT>
X=7.029,y2=40.971•①=2.651
.0=6.401
0.707丿
Z1
-0.707
振型图如下:
第二振型
(b)
第一振型
EA_+EA近S冋EA
"F4■药亍一21
振空方程:
4+V2-2
=0
令八兽,频率方程为:
4+血-几
V2
£/
P
M\图
臥图
作出附加连杆移动讥位位移的弯矩图
4EI
見=5=-¥・红耳+—岁
列出频率方程:
求第一振型:
令人1=1得A2I=1求第二振型:
令人2=1得血=一1
结构的振型向虽形式为:
解:
AfiS
列振型方程:
(*)<
求振型
\15-y)A=0
(16_y)生=0
列频率方程并求解:
15-y0,—、
D==0=>15-v)(16-y)=0
016-y'•八•7
X=15,儿=16
将x=]5,%=1代入方程组(◎中得:
A2l=0,即A01=
丿
将儿=16,血=1代入方程组C)中得:
A22=O.即屮)=°
振型图如下:
第一振型
第二振型
10-28试说明在应用多自由度体系强迫振动的振幅方程(10-66)和(10-71)时,对动力荷載
的性质、持点和作用位宜分别有何要求?
10-29试说明为什么可以将惯性力幅值与简谐荷载幅值同时作用在体系上,按静力学方法汁算
体系的动内力幅值。
10-30试求图示结构/?
点的最大竖向动位移并绘制最大动力弯矩图。
设均布简谐荷
栽频率ST,3点处弹性支座的刚度系数k=^L,忽略阻尼的影响。
屁图
Mp图
5/
\2EI
qa
k4E/
列出方程得:
(\2
I1/
\1a
21/
+_x—ga・
+—x—xax—x—qa
14
34
)22
34
解得:
/,=]qa
31a'1a3130
△厨w=-qax-x—+-qax—=
冏叭)?
2£/4El28E/
根据公式M=而山+M»画出最大动力弯矩图。
10-31图示结构在B点处有水平简谐荷载件a)=lkN・sin⑵作用,试求集中质量处的最大水平位移和竖向位移,并绘制最大动力弯矩图。
设6=爲•忽略阻尼的影响。
解:
作出届丽2图
*22.2洛
心=》存2扌2=拾,》=》*2尸22=昔
码洛弓"罟・2=着,代入惯性力幅值方程:
解得:
人=-乞KNJ、=-丄KN,人=厶=-0・941〃〃儿人=厶=-0・261〃劝
17■17~〃妙
将以上求得最大惯性力/「厶和动力荷载•同时作用于结构.可得垠大动力弯矩图:
M图
10-32图示刚架幹横梁为无限刚性,试求横梁处的位移幅值和柱端弯矩幅值。
已知川=100(,
/=5m,E/=5X105kN.m2:
简谐荷载幅值F=30kN.每分钟振动240次:
忽略阻尼的影响。
Fsin&r
nt2=1.5/n
m\=2m
解:
k\3
?
4£/层间刚度设为k.
cInn2^x240ou===o?
r
6060
动位移幅值方程为:
F=30KNl=5m
24EI
24E/4—A+
48£Z
—1.5"妙卜‘一学九=F
24E/,—A+
24£,卄=0
将具体数值代入,解得:
A=-0.1353nun.A2=-0.0926/?
?
/?
?
Ay=-0.2710〃"”
底柱柱端弯矩幅―恥罟《553x2
mhlO%=16.236KN-加
2
中柱柱端弯矩幅值
M,=(4-人=(0.1353-0.0926)x10,x^^-=5.124KN•加
顶柱柱端弯矩幅值:
M严丄=0・2710xl0'x竺2=32・52KN〃i3-尸25
W2^sin^r
10-33试求图示结构两质量处的最大竖向动位移,并绘制最大动力弯矩图。
设"仔彳弘常数I*
解:
该结构有两个自由度.使用刚度法。
J*
7/3
96E/
196£/
El103E/
F=7/3
1_
2
左构件尸
121-X—X—232
/3
6EZ
16EI
=^=y
t.6EIEl1EI
kj=k+«=〒+=
将上述刚度系数.质址值及荷载幅值代入位移幅值方程.并il&=
I3丿
7EI4£Z
z103£/4EI\
A、=F
E[A
_E+
U032善心吨
最大动力弯矩图
求解过程:
对于AB杆件,相十于在中点作用一集中力
尸#=A欠=0.032xyF=0.439F
对于CD杆件.相为于在中点作用一集中力
FCD=A2k2=0.344x6F=2.064F
10-34试说明用振型分解法求解多自由度休系动力响应的基木思想•这一方法是利用了振动休系的何种持性?
10-35试用振型分解法计算趣10・32。
解:
'2k
・k
o-
「2m
0
O'
刚度矩阵鸟=
・k
2k
・k
质量矩阵"=
0
1.5m
0
0
-k
k
0
0
m
其中k=予i=96xl06Nnf\m=lxlO5Kg由刚度矩阵和质量矩阵可得:
■-0.31150.57740.2639'
A=-0.52780-0.6230
-0.6230・0.57740.5278.
co{=12」=30・98$二0=45.75.<,
•-O.3115丫
_2
0
o'
■-O.3115'
nti=A'i,!
MA'''=nt
-0.5278
0
1.5
0
-0.5278
=/n=lxlO5Arg
-0.6230
0
0
1
■一0.6230.
=刀川伽山=m=lx10、焰
m3=A(3)rA£4<3)==1x\QPkg
■-O.3115'
7
"o'
Fr⑴=A^TFp^=
-0.5278
F
■一0.6230.
.0.
sin创=-15・83sin创KN
'0.5774'
T
0
F
-O.5774-
0
sin01=0
0.2639
A⑶耳卄=-0.6230
0.5278
0
Fsin创=一18
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- 结构 力学 课后 解答 10 动力学