计算方法 习题第一二章答案.docx

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计算方法习题第一二章答案

第一章误差

1问3.142,3.141,272分别作为n的近似值各具有几位有效数字?

分析利用有效数字的概念可直接得出。

解n=3.14159265…

记X1=3.142,X2=3.141,X3=22.

由n-X1=3.14159…-3.142=-0.00040…知

1J31

10：

：

|二一捲|10

22

因而x1具有4位有效数字。

由n-X2=3.14159…-3.141=-0.00059…知

110：

：

:

|二-X2寺10，

因而X2具有3位有效数字。

由n-乡=3.14159…-3.14285…=-0.00126…知

110,町二一乡1一言10，

因而X3具有3位有效数字。

2已知近似数X*有两位有效数字，试求其相对误差限。

分析本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。

解利用有效数字与相对误差的关系。

这里n=2,印是1到9之间的数字。

|；*（x）|=以口九10』115%

1|x*|2ai21

3已知近似数的相对误差限为0.3%，问X*至少有几位有效数字？

分析本题利用有效数字与相对误差的关系。

解a1是1到9间的数字。

"（x）0.3%=10002；02

设x*具有n位有效数字，令-n+仁-1，则n=2,从而x*至少具有2位有效数字。

4计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%。

分析本题应利用有效数字与相对误差的关系。

解设取n位有效数字，由sin1.2=0.93…，故&=9。

叭"小品匕餌旷仁0.01。

"10'

解不等式10*1乞10^知取n=4即可满足要求。

2ai

5计算760，视已知数为精确值，用4位浮点数计算。

解亡9去0"1318X10-2-0.1316x10-2=0.2x10-5

结果只有一位有效数字，有效数字大量损失，造成相对误差的扩大，若通分后再计算:

1

759

=0.173410$

1_1_1

7607597600.5768106

就得到4位有效数字的结果。

此例说明，在数值计算中，要特别注意两相近数作减法运算时，有效数字常会严重损失,

遇到这种情况，一般采取两种办法：

第一，应多留几位有效数字；第二，将算式恒等变形，

然后再进行计算。

例如，当x接近于0,计算1-COSX时，应先把算式变形为

sinx

1-cosx

sinx

1-cos2x

sinx（1cosx）

sinx

1cosx

再计算。

又例如，当x充分大时，应作变换

1x-

X「1

1+x+茂X

11_1xx1x（x1）

6计算a=（2-1）6，取21.4，采用下列算式计算:

（1）1-

（21）6；

（2）99-702；

（3）（3-22）3；

（4）

1_（322）3.

问哪一个得到的结果最好?

解显然

a=（2-1）6

（2-1）6（21）6

（21）6

_1

（21）6

（2-1）6二（2-1）23=（3-22）3=99-702

（2-1）6

1

（21）6

1

3（322）3

所以

（1）三

（2）三（3）三（4）,这4个算式是恒等的，但当取2、1.4计算时，因为

（2）,

（3）都涉及到两个相近数相减，使有效数字损失，而

（1）在分母算式上的乘幕数比算式（4）

大，所以算式（4）最好，事实上，当取2:

1.4时，有|△x|<0.015，再由f（x）的误差

f（x*「咲）-f（x）|、|f（1.4）||，x|也可直接估计出每个算式的误差，显然，算式（4）误差最

小。

具体计算可行：

（211）6〜2佶；

99-702

（1）

（2）

:

1.0

（3）

（3-22）3

8.010；；

1

（322）3

比较可得用第（4）个算式所得的结果更接近于

7求二次方程x2-（109+1）x+109=0的根。

（4）

:

5.110'.

a。

解由于x2-（109+1）x+109=（x-109）（x-1），所以方程的两个根分别为X1=109,X2=1

但如果应用一般二次方程ax2+bx+c=0的求根公式：

-b二b2匸4ac

2a

X1,2

由于当遇到b2»4|ac|的情形时，有|b卜b2-4ac,则用上述公式求出的两个根中,

总有一个因用了两个相近的近似数相减而严重不可靠，如本例若在能将规格化的数表示到小

数点后8位的计算机上进行计算，则-b=109+1=0.1x1010+0.0000000001x1010，由于第二项最后两位数“01”在机器上表示不出来，故它在上式的计算中不起作用，即在计算机运算时，

9

-b=10.

通过类似的分析可得

b2-4ac：

IblB

所以，求得的两个根分别为

=109

=0

-bb2-4ac109109

X1:

2a2

_b_b2_4ac109-109

x2:

2a2

显然，根X2是严重失真的。

为了求得可靠的结果，可以利用根与系数的关系式:

X1X2

弋，在计算机上采用如下

公式:

-b-sgn（b）b2-4ac

2a

X2二c

-ax1

当b<0时，sgn（b）=-1。

显然,

其中，sgn（b）是b的符号函数，当b>0时sgn（b）=1;上述求根公式避免了相近数相减的可能性。

分析函数「J的原函数已知,

8当N充分大时，如何计算

我们自然考虑用Newton-Leibniz公式求这个定积分

的值。

由于N很大，这样会遇到两个相近的数相减，因此，应采用一些变换公式来避免这种情况。

解若用定积分的Newton-Leibniz公式计算此题，有

N11

N1■x2

=arctan（N1）—arctanN，则当

N充分大时，因为

arctan（N+1）禾口arctanN

非常接近，两者相减会使有效数字严重损失，从而影响计算结果的精度，这在数值计算中是

要尽量避免的，但是通过变换计算公式，例如：

令tan01=N+1,tan02=N,则由

tan（y-*）

tan才-tan2

1tan^tan*

N1-N

1（N1）N

1

1（N1）N

，得

^-.^arctaMn（1^arctN^arctan（N11）N

N充分

就可以避免两相近数相减引起的有效数字损失，从而得到较精确的结果。

所以，当

大时，用

阳1

N1X2

=arctan1N^N2计算积分的值较好。

1

9计算积分|n=[xnex^dx（n=1,2,….

分析数值计算中应采用数值稳定的算法，因此在建立算法时，应首先考虑它的稳定性。

解利用分部积分法，有

11111

xnexJLdxxndex」=xnex->\-ex->nxn」dx=1_nxn」ex->dx

00000

得递推公式：

In=1-n|n4

（n=1,2,|||）

（1）

10

xoex」dx=1

e

利用公式

（1）计算In,由于初值I0有误差，不妨设求I0的近似值|0时有大小为£的误差

即

10=1°；

则由递推公式

（1）得

1（=1-10=I-Io-；-I1-；

丨2=I-2h=I-2I12；=|22!

；

丨3=I-312=I-312-32!

；=133!

；

丨4=I-413=I-41343!

；=144!

；

In=In（-1）nn!

；

显然初始数据的误差&是按n!

的倍数增长的，误差传播得快，例如当n=10时，10!

~3.629

x106,\110-ho\=10!

；，这表明I10时已把初始误差&扩大了很多倍，从而丨1。

的误差已把I10的真值淹没掉了，计算结果完全失真。

但如果递推公式

（1）改成

Ind二n（l-In）（n二k,k一1,3,2）

于是，在从后往前计算时，In的误差减少为原来的丄，所以，若取n足够大，误并逐步减小，

n

显然，计算的结果是可靠的。

所以，在构造或选择一种算法时，必须考虑到它的数值稳定性

问题，数值不稳定的算法是不能使用的。

10为了使计算

v=1034-6

x-1（x-1）2（x-1）3

的乘除法运算次数尽量地少，应将表达式改写为怎样的形式？

解设t-,y=10（3（4-6t）t）t.

X-I

在数值计算中，应注意简化运算步骤，减少运算次数，使计算量尽可能小。

11若x*=3587.64是x的具有六位有效数字的近似值，求x的绝对误差限。

12为使70的近似值的相对误差小于0.1,问查开方表时，要取几位有效数字？

13利用四位数学用表求x=1-cos2。

的近似值，采用下面等式计算：

（1）1-cos2°

（2）2sin21°

问哪一个结果较好？

14求方程x2-56x+1=0的两个根，使它至少具有四位有效数字（已知783、27.982）。

15数列{x}n：

=0满足递推公式

Xn=10xn-j1（n=1,2,）

若取X。

21.41（三位有效数字），问按上述递推公式，从X。

计算到xe时误差有多大？

这

个计算过程稳定吗？

16如果近似值x「》（a1az10」a310^-an10『）10m的相对误差限小

于110*1，证明：

这个数具有n位有效数字。

2佝1）

（115-100）（115-144）

（121—100）（121—144）

10.722756

5

|13：

'68

5i2

00

X

300

X

16

15629=0.16312510,

第二章插值法与数值微分

1已知100=10,121=11,144=12，试利用插值法近似计算115。

分析由题中已知条件本题可利用三点二次Lagrange插值，也可利用三点二次Newton

插值，它们所得结果相同。

解利用三点二次Lagrange插值。

记f（x）二x,xo=100,X1=121,X2=144,yo=10,y1=11,y^12，则f（x）的二次

Lagrange插值多项式为

L2（x）=y^（XX1）（x-X2）（x-X0）（X-©

（X0—Xi）（X0_X2）（X1_X0）（X1_X2）

（X—X0）（X—X1）

y（X2-X0）（X2_Xi）

10（x-121）（x-144）（x-100）（x-144）

-0（100-121）（100-144）（121-100）（121-144）

（x-100）（x-121）

（144—100）（144-121）

f（115）=、；115：

L2（115）

（115-121）（115-144）

-（100-121）（100-144）

（115-100）（115-121）

（144-100）（144-121）

J_3_5

因为f（x）专xS（x）二计x^,f（x）=3x「2，

R2（x）=f（x）_l_2（x）

二盘f（）（x〜X0）（xfx）（XfX2）,：

e（100,144）

所以

|R2（115）|=|f（115）丄（115）|

（115-100）（115-121）（115-144）|

2已知y=f（x）的函数表

Xi

0

1

2

yi

8

-7.5

-18

求函数f（x）在［0,2］之间的零点的近似值。

分析一般情况下，先求出f（x）在［0，2］上的插值函数P（x），然后求P（x）的零点，把

此零点作为f（x）的近似零点。

特别地，若f（x）的反函数存在，记为x=「：

（y），那么求f（x）

的零点问题就变成求函数值「：

（0）的问题了，利用插值法构造出二（y）的插值函数，从而求出

f（x）的零点-（0）的近似值，这类问题称为反插值问题，禾U用反插值时，必须注意反插值条

件，即函数y=f（x）必须有反函数，也即要求y=f（x）单调。

本题y是严格单调下降排列，

可利用反插值法。

解将原函数表变成反函数表

yi

8

-7.5

-18

Xi

0

1

2

利用三点二次Lagrange插值，由上反函数表构造y=f（x）的反函数x=「：

（y）的二次Lagrange插值多项式。

令yo=8,yi--7.5,y2--18,xo=0,xi=1,x2=2,则x=-L（y）的二次Lagrange插值

多项式为

対（y一yo）（y一y2）

（y1-y。

）®-y2）

比（y一yo）（y一y1）

（y2-yo）（y2-yi）

函数y=f（x）的近似零点为

（o7.5o（o18）

（87.5）（818）

（o-8）（o18）

（-7.5-8）（-7.518）

（o-8）（o7.5）

（-18-8）（-187.5）

0.445232

3设f（x）=x4，试用Lagrange插值余项定理写出以-1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式。

解设f（x）以-1,0。

1,2为插值节点的三次Lagrange插值多项式为L3（x）,由Lagrange

插值余项定理有

f⑷©

R3（x）=f（x）-L3（x）4（x1）（x-0）（x-1）（x-2）

=（x1）（x-0）（x-1）（x-2）

因而

L3（x）二f（x）-（x1）（x-0）（x-1）（x-2）

=x4-x（x1）（x-1）（x-2）=2x3x2-2x

4设lo（x）,h（x），…,ln（x）是以xo,xi/,Xn为节点的Largange插值基函数，试证：

（1）

（2）

（3）

'Tk（x）=1.

Exklk（x）=xj（j=1,…,n）.

'（Xk—x）jlk（x）=0（j=1,,n）.

kJ0

n

送lk（0）xk=

k卫

0,

j=1,2,,n

（-1）nxoxiXn,j二n1

分析

本题是关于Lagrange插值基函数lk（x）（k=0,1，…，n）的性质问题，观察要证明的结论，应考虑对常数1和xj进行插值入手，通过插值余项为0得到结论。

证

（1）设f（x）

=1，则f（x）以X0,xi，…,Xn为插值节点的n次Lagrange插值多项式为

nn

Ln（X）八f（Xk）lk（X）八lk（x）

k=0

由插值余项定理知

f（x）-Ln（x）二

（f黑n1（X）=0

（n1）!

从而

Ln（X）-f（X）

n

'Tk（x）=1

（2）设f（x）二xj（j=1,,n）则

kT

f（x）以xo,xi/,Xn为插值节的n次Lagrange插值多项

式为

n

Ln（x）='

k=0

n

f（Xk）|k（X）='lk（X）

k=0

由插值余项定理知

f（x）—Ln（x）=（fnW（x）=0

从而

Ln（X）二f（x）

n

7lk（x）=1

k=0

（2）设f（x）-xj（j-1/,n），贝yf（x）以X0,X1/,Xn为插值节点的n次Lagrange插值

多项式为

nn

Ln（X）二'f（Xk）lk（X）八xklk（X）

k=0k=0

由插值余项定理

严（◎

f（x）一Ln（x）=（n1）!

■m（X^0

从而

Ln（X）二f（X）

即

n

Zxklk（x）=xj（j=1,…，n）

k兰

（3）将（Xk-x）j按二项式展开，得

（Xk-x）j=迟（—1）jcjxk七

i=0

代入左端，得

nnh

Z（Xk-x）jlk（x）=迟E^1）iCjxhj-Lxi]lk（x）

k=0

k=0i=0

jn

=S（-1）Cx送xkJ1k（x）

i=Sk-0

利用

（2）的结论，有

n

j

v（Xk-x）j|k（x）二為（-1）iCjxixj°=（X-x）j=0

k=0i=0

（4）当j=1,2，…,n时，由

（2）的结论知

n

、lk（0）xk=xj|xk0

k=0

当j=n1时，令f（x）二xn1，有f（n°（x）二（n1）!

f（x）以X0,X1,…,Xn为插值节点的n次Lagrange插值多项式为

n

Ln（X）八xLlk（X）

k=0

由插值余项定理知

严冷

f（X）-Ln（X）=（n.°'n4（X）=3nl（x）

从而

Ln（X）=f（X）-.；：

n1（X）

即

n

、xk1lk（x）=Xn1—（X—XO）（X—X1）（X-Xn）

k卫

令X=0,有

n

、Xn%（0）=（-1）nX0XlXn

kz0

5设f（X）C2a,b］，且f（a）二f（b）=0，求证

max〔f（X）卜：

：

（b_a）2max|f（x）|

a岂x汕1f（x丿1—8a乞x乞b1f（x）1

分析本章内容是代数插值，而题设f（a）二f（b）=0，易知若用线性插值，线性插值

函数只能为0，且误差为2f（）（x-a）（x-b），这样利用余项估计式可直接把f（x）与f（x）

联系起来。

证以a,b为插值节点进行线性插值，其线性插值多项式为

Li（x）二

x-b

a-b

f（a）兵f（b）=0

线性插值余项为

f（巴）

f（x）-Li（x）=才（x一a）（x一b）（a,b）

从而

f（匕）

f（x）=『（x-a^x-b）

由于|（x—a）（x—b）|在x=；（a+b）处取最大值，故

amaXblf（x）^JamxXblf（x）lab'（^a）（x-b）|

=8（宀）蔦輿気1心）1

6证明：

由下列插值条件

X

0

0.5

1

1.5

2

2.5

f（x）

-1

-0.75

0

1.25

3

5.25

所确定的Lagrange插值多项式是一个二次多项式，该例说明了什么问题?

分析本题是关于Lagrange插值问题，由已知数据表构造Lagrange插值多项式便可得

出结论。

解令X0=0,%=0.5,X2=1,X3=1.5,X4=2,X5=2.5

yo--1,yi--0.75,y2=0,y3=1.25,y4=3,y5=5.25

（X_X0）（X_X4）

（X2-X0）（X2-X4）

以X0,X2,X4为插值节点作f（x）的二次插值多项式L2（x），则

L2（x）沖严-汽厂胃

（X0_（X2）（XO_X4）

y4

（X_X0）（x_X2）

（X4-X0）（X4-X2）

（x-1）（x-2）（x-0）（x-2）

（0一1）（0-2）（1-0）（1-2）

易验证L2（Xi）二yi（i=0,1，…,5），因而满足插值条件

L（x）=yi（i=0,1，…，5）

（1）

的Lagrange插值多项式为P（x）=X2「1。

由插值多项式的存在惟一定理知满足条件

（1）的5次插值多项式是存在且惟一的，但

该5次多项式并不一定是真正的5次多项式，而是次数w5的多项式。

7对于任意实数■-0以及任意正整数r,s，多项式

q（x）-■（x-X0）r（x-X1）s（xX0）f（xi）（x_%）f（x0）

X1-X0X0-X1

是r-s次多项式，且满足q（x0）=f（x0）,q（xi）=f（x1）。

本题说明了什么问题？

解本题说明由两个插值条件q（x0）=f（x0）,q（xi）=f（x1）构造大一1次的插值多项式，

答案是不惟一的，类似地，由n+1插值条件构造大于n次的插值多项式，答案也是不惟一的。

8我们用sin30°=0.5,sin45°=0.7071,sin60°=0.8660，作Lagrange二次插值，并用来求sin40°的近似值，最后根据插值余项定理估计此误差。

分析本题显然是利用Lagrange插值余项定理

解设

f（x）二sinx,f（x）二cosx,f（x）--sinx,f（x）--cosx

令

X0=30=0.5236,X1=45=0.7854,X2=60=1.0472,x=40=0.6981

其插值余项为

（X_X0）（x「X1）（x-X2）

11/25

从而

R（40）卜甩（0.6981）

=^3^（0.6981-0.5236）（0.6981-0.7854）（0.6981-1.0472）

w10.17540.08730.3491：

0.000886

9已知x二0,2,3,5对应的函数值为y=1,3,2,5，作三次Newton插值多项式，如再增

加x=6时的函数值6,作四次Newton插值多项式。

分析本题是一道常规计算题

解首先构造差商表

Xi

f（x）

一级差商

二阶差商

三阶差商

0

1

2

3

1

3

2

-1

-2/3

5

5

3/2

5/6

3/10

三次Newton插值多项式为

N3（x）=1x—2x（x—2）爲沁一习匕一①

增加x4=6,f（x4）=6作差商表

Xi

f（x）

一级差商

二阶差商

三阶差商

四级差商

0

1

2

3

1

3

2

-1

-2/3

5

5

3/2

5/6

3/10

6

6

1

-1/6

-1/4

-11/120

四次Newton插值多项式为

N4（x）=1x-舟x（x-2）和仪-2）匕-3）

一？

2^仪-2）&-3）&-5）

10已知f（x）=x7X43x1，求f[2°2,,27]及