第10讲胡不归最值模型解析版.docx
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第10讲胡不归最值模型解析版
中考数学几何模型10:
胡不归最值模型
拨开云雾开门见山
名师点睛
在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值,除此之外我们还可能会遇上形如
“PA+kP〞这样的式子的最值,此类式子一般可以分为两类问题:
〔1〕胡不归问题;〔2〕阿氏圆.
【故事介绍】
从前有个少年外出求学,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即赶路回家.根据两点之间线段最短〞,
虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地,但他义无反顾踏上归途,当赶到家时,老人刚咽了气,小
伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说,老人弥留之际不断念叨着胡不归?
胡不归?
…〞〔胡〞同何〞〕
【模型建立】
如图,一动点P在直线MN外的运动速度为V1,在直线MN上运动的速度为V2,且V1 VV 【问题分析】 【问题解决】 CH 构造射线AD使得sin/DAN=k,即卩k,CH=kAC. AC 取到最小 将问题转化为求BC+CH最小值,过B点作BH丄AD交MN于点C,交AD于H点,此时BC+CH值,即BC+kAC最小. 【模型总结】 PA+PC〞 在求形如PA+kPB〞的式子的最值问题中,关键是构造与kPB相等的线段,将PA+kPB〞型问题转化为型•而这里的PB必须是一条方向不变的线段,方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段. 启迪思维探究重点 典题探究 例题1.如图,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE丄AC于点E,D是线段BE上的一个动点,那么CDBD 5 的最小值是. A CDDHCHBE4.5. 【小结】此题简单在于题目已经将BA线作出来,只需分析角度的三角函数值,作出垂线DH,即可解决问 题,假设稍作改变,将图形改造如下: 那么需自行构造a如下列图,这一步正是解决胡不归〞问题关键所在. 5sina=— 5 变式练习>>> 小值等于 【分析】考虑如何构造兰3PD〞,/A=60°且sin60=亠,故延长AD,作PH丄AD延长线于H点, 22 即可得pH于PD,将问题转化为: 求PB+PHBP、H三点共线时,可得PB+PH取到最小值,即BH的长,解直角AABH即可得BH长. 0dAbd的 2 例题2.如图,AC是圆0的直径,AC=4,弧BA=120°点D是弦AB上的一个动点,那么 应选: 变式练习>>> 2. 如图,△ABC中,ZBAC=30。 且AB=AC,P是底边上的高AH上一点.假设AP+BP+CP的最小值为2': •/AB=AC,AH丄BC,BAP=ZCAP, •/FA=FA,BAPCAP(SAS),•PC=PB, •/MG=PB,AG=AP,ZGAP=60° •••△GAP是等边三角形,•••PA=PG, •••PA+PB+PC=CP+PG+GM, •••当M,G,P,C共线时,PA+PB+PC的值最小,最小值为线段CM的长, •••AP+BP+CP的最小值为2: ': •CM=2: ': •••/BAM=60°/BAC=30°MAC=90°•AM=AC=2, 作BN丄AC于N.贝UBN=-LaB=1,AN=: ';,CN=2-二, •BC=血昭+c"=4負QD’=Ve^2.故答案为I—i;■<. 例题3.等边三角形ABC的边长为6,将其放置在如下图的平面直角坐标系中,其中BC边在x轴上,BC边的高0A在Y轴上.一只电子虫从A出发,先沿y轴到达G点,再沿GC到达C点,电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍,假设电子虫走完全程的时间最短,那么点G的坐标为〔0, 此时CG=AG=2OG,易知OG= 所以点G的坐标为〔0,-「;〕. 故答案为: 〔0,-「;〕. 变式练习>>> 3. 如图,△ABC在直角坐标系中,AB=AC,A(0,),C(1,0),D为射线AO上一点,一动点P从A出发,运动路径为AtDtC,点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍,要使整个运动时间最少,那么点D的坐标应为() 解: 假设P在AD的速度为3V,在CD的速度为1V, 因为AB=AC=3,过点B作BH丄AC交AC于点H,交0A于D, “丄= 0C DH 易证△ADHACO,所以 3,所以 例题4.直线y=—工与抛物线y=(x-3)2-4m+3交于A,B两点(其中点A在点B的左侧),与抛物线3 的对称轴交于点C,抛物线的顶点为D(点D在点C的下方),设点B的横坐标为t (1)求点C的坐标及线段CD的长(用含m的式子表示); (2)直接用含t的式子表示m与t之间的关系式(不需写出t的取值范围); (3)假设CD=CB.①求点B的坐标;②在抛物线的对称轴上找一点F,使BF芒CF的值最小,那么满足 5 条件的点F的坐标是 (3,竺). 4 h斗 /尸铲 /, 4 /尸尹/ / oi ! Q / f用图 【解答】解: 〔1〕抛物线y=〔x-3〕2-4m+3的对称轴为x=3,抛物线y=〔x-3〕2-4m+3的顶点D的坐标为〔3,-4m+3〕, •••点D在点C的下方,•CD=4-〔-4m+3〕=4m+1. 〔2〕•••点B在直线y=上,且其横坐标为t, 3s 令x=3,那么有y= X3=4,即点C的坐标为〔3,4〕. 那么点B的坐标为〔t,戈t〕,将点 B的坐标代入抛物线y= (x-3)2-4m+3中,得: t=(t-3)2-4m+3,整理,得: m= 4 1所示. 「*+3. 3 〔3〕①依照题意画出图形,如图 过点C作CE//x轴,过点B作BE//y轴交CE于点E. •••直线BC的解析式为y一x,.BE= 由勾股定理得: BC=「〞「r: .■'= CE. £ £ •/CD=CB, .•.有4m+1=— 3 当m=-4时,一+4X(-4)=- 9 =1,此时t=—+二 -3〕,解得: ②作B点关于对称轴的对称点如图2所示. •••直线BC的解析式为y= 131 v0,不适宜, d =6,y=—疋=8.故此时点 B',过点F作FM丄BC于点 ±x,FM丄BC, 3 1 4 3 •/B、B关于对称轴对称,•BF=BF, tan/FCM= 二sin/FCM= FC~5 BF+—CF=B'F+FM. 当点B、F、M TB点坐标为〔 •B点的坐标为 三点共线时B'F+FM最小. 6,8〕,抛物线对称轴为x=3,〔0,8〕. 又•••BM丄BC, •••tan/NB'F= •NF=B'N? tan/NBF= •••点F的坐标为〔3, .故答案为: 〔3, m=-4,或m=1. B的坐标为〔6,8〕. M,连接BM、BB交抛物线对称轴于点 ;E2 变式练习>>> 4.如图1在平面直角坐标系中将y=2x+1向下平移3个单位长度得到直线li,直线li与x轴交于点C;直线12: y=x+2与x轴、y轴交于A、B两点,且与直线li交于点D. (1)填空: 点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(0,2); (2)直线li的表达式为y=2x-2; (3)在直线li上是否存在点E,使Saaoe=2S^abo? 假设存在,那么求出点E的坐标;假设不存在,请说明理由. (4)如图2,点P为线段AD上一点(不含端点),连接CP,一动点H从C出发,沿线段CP以每秒i个单位的速度运动到点P,再沿线段PD以每秒二个单位的速度运动到点D后停止,求点H在整个运动过程中所用时间最少时点P的坐标. 團1動 【解答】解: (i)直线12: y=x+2,令y=0,那么x=-2,令y=0,那么x=2, 故答案为(-2,0)、(0,2); (2)y=2x+i向下平移3个单位长度得到直线li,那么直线li的表达式为: y=2x-2,故: 答案为: y=2x-2; (3)TSaaoe=2Saabo,yE=2OB=4, 将yE=4代入li的表达式得: 4=2x-2,解得: x=3,那么点E的坐标为(3,4); (4) 过点P、C分别作y轴的平行线,分别交过点D作x轴平行线于点H、H',HC交BD于点P; n-a? •————Jr ■ △ 1 f / 0 jr 直线12: y=x+2,那么/ABO=45°=ZHBD, 点H在整个运动过程中所用时间= 当C、P、H在一条直线上时,PH+PC最小,即为CH=6,点P坐标(i,3), 故: 点H在整个运动过程中所用最少时间为6秒,此时点P的坐标(i,3). 例题5.抛物线y=a(x+3)(x-1)(a工0,与x轴从左至右依次相交于A、B两点,与y轴相交于点C,经过点A的直线y=-「: : x+b与抛物线的另一个交点为D. (1)假设点D的横坐标为2,求抛物线的函数解析式; (2)假设在 (1)的条件下,抛物线上存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形,求点P的 坐标; (3)在 (1)的条件下,设点E是线段AD上的一点(不含端点),连接BE.—动点Q从点B出发, 沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒红! 个单位的速度运动到点D后停 3 •••直线y=—具x+b经过点A,•••b=-3: ;, •••y=-: _x-3.二当x=2时,y=-5二 那么点D的坐标为(2,-5「;), •••点D在抛物线上,•a(2+3)(2-1)=-5: "解得,a=-_;,那么抛物线的解析式为y=-■;(x+3)(x-1)=-持;: ;x2-2;;x+3: ;; (2)•/A的坐标为(-3,0),C(0,31;),•直线AC的解析式为: a 为和 圍2 y=x+3: : ①•••△ACP是以AC为直角边的直角三角形,•CP丄AC, •设直线CP的解析式为: y=--x+m,把C(0,3: ■;)代入得m=3: \, 3 ②•••△ACP是以AC为直角边的直角三角形, •APIAC,•设直线CP的解析式为: y=-_x+n, 3 把A(-3,0)代入得n=-二 •直线AP的解析式为: y=-「x-: 0 (3)如图2中,作DM//x轴交抛物线于M,作DN丄x轴于N,作EF丄DM于F, 那么tan/DAN=理=^^_=曲,DAN=60°EDF=60° AN5 •DE=——里——=空3ef,•Q的运动时间t^L+丹才=be+^DE=be+EF,sinZEDP31刘32 3| •当BE和EF共线时,t最小,那么BE丄DM,此时点E坐标(1,-4「;). 变式练习>>> 5.如图,抛物线y=-—x2+bx+c交x轴于点A(2,0)、B(-8,0),交y轴于点C,过点A、B、 4 C三点的OM与y轴的另一个交点为D. (1)求此抛物线的表达式及圆心M的坐标; (2)设P为弧BC上任意一点(不与点B,C重合),连接AP交y轴于点N,请问: AP? AN是否为定 值,假设是,请求出这个值;假设不是,请说明理由; (3)延长线段BD交抛物线于点E,设点F是线段BE上的任意一点(不含端点),连接AF.动点Q从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到点F,再沿线段FB以每秒口个单位的速度运动 到点B后停止,问当点F的坐标是多少时,点Q在整个运动过程中所用时间最少? 即当点F的坐标是(-2,-3)时,点Q在整个运动过程中所用时间最少. 领悟提升强化落实 达标检测 1 「如图,在平面直角坐标系中,点A3,3,点P为x轴"个动点,当AP2OP最小时,点P的坐 2.如图,四边形ABCD是菱形,AB=4,且/ABC=60°,点M为对角线BD(不含点B)上的一动点,那么 AM-BM的最小值为 [答案]: 3.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(0,-「;),C(2, 0),其对称轴与x轴交于点D. (1)求二次函数的表达式及其顶点坐标; (2)点M为抛物线的对称轴上的一个动点,假设平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形,求点M的坐标; (3)假设P为y轴上的一个动点,连接PD,求丄PB+PD的最小值. 【解答】解: db+亡=0 〔1〕由题意{匚二卞馬,解得 14a+2b+c=0 •••抛物线解析式为 •/y=^x2-吃x-衙=逅〔x-丄〕2-^1_,.••顶点坐标〔丄,-^! 〕; 2222S28 〔2〕设点M的坐标为〔丄,y〕. •••A〔-1,0〕,B〔0,-: \〕,•AB2=1+3=4. 1以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点,此时AM=AB, 那么〔£+1〕2+y2=4,解得y=¥,即此时点M的坐标为〔寺,乎〕或〔£,-乎〕; 2以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点,此时BM=AB, 那么〔寺〕2+〔y+範〕 即此时点M的坐标为上, 2=4,解得y=-;;+二2或 2 〕或〔二 2 2 ③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点,此时 丄. 那么(丄+1)2+y2=(丄)2+ 2 即此时点M的坐标为〔二, 2 (y+: ;)2,解得y= 2 AM=BM, 3 ); 综上所述,满足条件的点 或〔 〔3〕如图,连接 理由: •/OA=1, •••/ABO=30° PD=PH+PD=DH, •此时丄PB+PD 2 ). 的坐标为〔 1V7 或〔亍 AB,作DH丄AB于H,交OB于P, 0A V3 0B 3 OB=: •tan/ABO •PH= PB, 最短〔垂线段最短〕. 在Rt△ADH中,I/AHD=90°AD= ,/HAD=60°, •sin60 DH o •DH—: ・「…DH-., PD的最小值为上亠 4 此时—PB+PD最小. 4.【问题提出】如图①,海岛A到海岸公路BD的距离为AB的长度,C为公路BD上的酒店,从海岛A到酒店C,先乘船到登陆点D,船速为a,再乘汽车,车速为船速的n倍,点D选在何处时,所用时 间最短? 【特例分析】假设n=2,那么时间t=£P+gi,当a为定值时,问题转化为: 在 a2a 的值最小.如图②,过点C做射线CM,使得/BCM=30° CD; BC上确定一点D,使得丛+^2 a2a (1)过点D作DE丄CM,垂足为E,试说明: DE= (2)请在图②中画出所用时间最短的登陆点D'. 【问题解决】(3)请你仿照特例分析〞中的相关步骤,解决图①中的问题•(写出具体方案,如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等) 1x2 4 OB中点,设F为线段BC上一点(不含端点),连接EF•一动点P从E出发,沿线段EF以每秒1个 【综合运用】(4)如图③,抛物线y=- 与x轴分别交于A,B两点,与y轴交于点C,E为 单位的速度运动到F,再沿着线段FC以每秒丄个单位的速度运动到C后停止•假设点P在整个运动过程 中用时最少,请求出最少时间和此时点 【解答】解: (1)如图①,•/DE丄CM, •••/DEC=90°在Rt△BCM中,DE=CDsin30二 CD; (2)如图①过点A作AE丄CM交BC于点D;那么点D'即为所用时间最短的登陆点; (3)如图②,过点C作射线CM,使得sin/BCM=—, 过点A作AE丄CM,垂足为E交BC于点D,那么点D为为所用时间最短的登陆点; 过点C作CD//x轴交抛物线于点D,过点F作GF丄CD交CD于点G, 值时,写出x,y的关系,并说明理由. 【解答】 (1)解: 如图1中 •/△PCQ是等边三角形, •CP=CQ,ZPCQ=ZACB=60° •ZACP=ZBCQ, •△ACP^ABCQ, •ZCBQ=ZCAP=30°. (2)证明: 如图2中,将△ADC绕当A顺时针旋转60°得到△ABQ,连接DQ. •/△ACDABQ, •AQ=AD,CD=BQ, •••ZDAQ=60° •••△ADQ是等边三角形, 二AD=DQ, •DA,DB,DC为边一定能组成一个三角形(图中△BDQ) (3)如图3中,作PE丄AB于E,CF丄AB于F交AH于G. 根据垂线段最短可知,当E与F重合,P与G重合时, FA+2PC的值最小,最小值为2CF. 由 (1)可知△ACF◎△BCQ,可得BQ=FA, (1)假设点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式; (2)假设在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与△ABC相似,求k的值; (3)在 (1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线 段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F 的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少? (x+2)(x—4),令y=0,解得x=—2或x=4, 由题意,动点M运动的路径为折线AF+DF,运动时间: •t=AF+FG,即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值. 由垂线段最短可知,折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段. 过点A作AH丄DK于点H,那么t最小=AH,AH与直线BD的交点,即为所求之F点.TA点横坐标为-2,直线BD解析式为: y=-宀+于, x〔-2〕+^_=2「: ,•••F〔-2,2-: 〕. 综上所述,当点F坐标为〔-2,2.二: 〕时,点M在整个运动过程中用时最少. 方法二: 作DK//AB,AH丄DK,AH交直线BD于点F, •••/DBA=30°•••/BDH=30° •FH=DFxsin30= •••当且仅当AH丄DK时,AF+FH最小, M, 点M在整个运动中用时为: t= 「BD: "二X—,•FX=Ax=-2, •-F〔-2,二': : 〕. 7.已如二次函数y=-x2+2x+3的图象和x轴交于点A、B〔点A在点B的左侧〕,与y轴交于点C, 〔1〕如图1,P是直线BC上方抛物线上一动点〔不与B、C重合〕过P作PQ//X轴交直线BC于Q,求线段PQ 的最大值; 〔2〕如图2,点G为线段OC上一动点,求BG+—CG的最小值及此时点G的坐标; 〔3〕如图3,在〔2〕的条件下,M为直线BG上一动点,N为X轴上一动点,连接AM,MN,求AM+MN的最小值. 【解答】解: 〔1〕令y=0,即: -x2+2x+3=0, 解得: x=3或-1,即点A、B的坐标分比为〔-1,0〕、〔3,0〕,令x=0,贝Uy=3,那么点C的坐标为〔0,3〕, 直线BC过点C〔0,3〕,那么直线表达式为: y=kx+3, 将点B坐标代入上式得: 0=3k+3,解得: k=-1,那么直线BC的表达式为: y=-x+3,设点P的坐标为〔m,n〕,n=-m2+2m+3,那么点Q坐标为〔3-n,n〕,贝UPQ=m-〔3-n〕=-m2+3m,•••a=-1v0,贝UPQ有最大值,当m=-丄=—,PQ取得最大值为 2az AA'=2ABsinZABG=2X4>Sina AN=AAcosa=—且=— 5525 8.如图,在Rt△ABC中,ZACB=90°ZB=30°AB=4,点D、F分别是边AB,BC上的动点,连接CD,过点A作AE丄CD交BC于点E,垂足为G,连接GF,贝UGF^j-FB的最小值是() A」B」C•亠一D「 【解答】解: 延长AC到点P,使CP=AC,连接BP,过点F作FH丄BP于点H,取AC中点O,连接 OG,过点O作OQ丄BP于点Q, tZACB=90°ZABC=30°AB=4,/•AC=CP=2,BP=AB=4 •••△ABP是等边三角形,•••/FBH=30° •••Rt△FHB中,FH=丄FB •••当G、F、H在同一直线上时,GF+—FB=GF+FH=GH 2 •/AE丄CD于点G,: 丄AGC=90° •/O为AC中点,•OA=OC=OG=-LAC 2 •A、C、G三点共圆,圆心为O,即点G在OO上运动 •当点G运动到OQ上时,GH取得最小值 •/Rt△OPQ中,/P=60°,OP=3,sin/p=0Q_=V3 OF2 •OQ=-—OP='二」,•GH最小值为’「•- 222 应选: C. 9. 抛物线y—x2^^x6与x轴交于点A,B〔点A在点B的左边〕,与y轴交于点C.点P是直 63 线AC上方抛物线上一点,PF丄x轴于点F,PF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移,线段 1 OB的对应线段是O1B1,当PE-EC的值最大时,求四边形PO1B1C周长的最小值,并求出对应的点O1 2
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