第八章 专题强化 机械能守恒定律的应用 功能关系的理解和应用.docx
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第八章专题强化机械能守恒定律的应用功能关系的理解和应用
专题强化 机械能守恒定律的应用 功能关系的理解和应用
[学习目标]
1.能灵活应用机械能守恒定律的三种表达形式.2.会分析多个物体组成系统的机械能守恒问题.3.知道常见的几种功能关系,知道功是能量转化的量度.
一、多物体组成的系统机械能守恒问题
1.多个物体组成的系统,就单个物体而言,机械能一般不守恒,但就系统而言机械能往往是守恒的.
2.关联物体注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系.
3.机械能守恒定律表达式的选取技巧
(1)当研究对象为单个物体时,可优先考虑应用表达式Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或ΔEk=-ΔEp来求解.
(2)当研究对象为两个物体组成的系统时:
①若两个物体的重力势能都在减小(或增加),动能都在增加(或减小),可优先考虑应用表达式ΔEk=-ΔEp来求解.
②若A物体的机械能增加,B物体的机械能减少,可优先考虑用表达式ΔEA=-ΔEB来求解.
如图1所示,斜面的倾角θ=30°,另一边与地面垂直,高为H,斜面顶点上有一定滑轮,物块A和B的质量分别为m1和m2,物块A和B均可视为质点,通过轻而柔软的细绳连接并跨过定滑轮.开始时两物块都位于与地面距离为
H的位置上,释放两物块后,A沿斜面无摩擦地上滑,B沿斜面的竖直边下落.若物块A恰好能达到斜面的顶点,试求m1和m2的比值.滑轮的质量、半径和摩擦以及空气阻力均可忽略不计.
图1
答案 1∶2
解析 设B刚下落到地面时速度为v,由系统机械能守恒得:
m2g·
-m1g·
sin30°=
(m1+m2)v2①
A以速度v上滑到顶点过程中机械能守恒,则:
m1v2=m1g·
sin30°,②
由①②得
=1∶2.
机械能守恒定律的研究对象是几个相互作用的物体组成的系统,经常出现下面三种情况:
(1)系统内两个物体直接接触或通过弹簧连接.这类连接体问题应注意各物体间不同能量形式的转化关系.
(2)系统内两个物体通过轻绳连接.如果和外界不存在摩擦力做功等问题时,只有机械能在两物体之间相互转移,两物体组成的系统机械能守恒.解决此类问题的关键是在绳的方向上两物体速度大小相等.
(3)系统内两个物体通过轻杆连接.轻杆连接的两物体绕固定转轴转动时,两物体转动的角速度相等.
二、链条类物体的机械能守恒问题
链条类物体机械能守恒问题的解题关键是分析重心位置,进而确定物体重力势能的变化,解题要注意两个问题:
一是零势能面的选取;二是链条的每一段重心的位置变化和重力势能变化.
如图2所示,总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮,开始时下端A、B相平齐,当略有扰动时其一端下落,则当铁链刚脱离滑轮的瞬间,铁链的速度为多大?
图2
答案
解析 方法一 (取整个铁链为研究对象):
设整个铁链的质量为m,初始位置的重心在A点上方
L处,末位置的重心与A点最初位置在同一水平面上,则重力势能的减少量为:
ΔEp=mg·
L
由机械能守恒得:
mv2=mg·
L,则v=
.
方法二 (将铁链看做两段):
铁链由初始状态到刚离开滑轮时,等效于左侧铁链BB′部分移到AA′位置.
重力势能减少量为
ΔEp=
mg·
由机械能守恒得:
mv2=
mg·
则v=
.
三、利用机械能守恒定律分析多过程问题
(2019·启东中学高一下学期期中)如图3,光滑管状轨道ABC由直轨道AB和圆弧形轨道BC组成,二者在B处相切并平滑连接,O为圆心,O、A在同一条水平线上,OC竖直,一直径略小于圆管直径的质量为m的小球,用细线穿过管道与质量为M的物块连接,物块距离地面足够高,将小球由A点静止释放,当小球运动到B处时细线断裂,小球继续运动.已知弧形轨道的半径为R=
m,所对应的圆心角为53°,sin53°=0.8,cos53°=0.6,g=10m/s2.
图3
(1)若M=5m,求小球运动到B处时的速度大小;
(2)若M=5m,求小球从C点抛出后下落高度h=
m时到C点的水平位移;
(3)M、m满足什么关系时,小球能够运动到C点?
答案
(1)2
m/s
(2)
m (3)M≥
m
解析
(1)小球从A到B:
M、m系统机械能守恒
(M+m)v2=MgxAB-mgxABsin53°
在Rt△OAB中,得xAB=
,解得v=2
m/s;
(2)小球从B到C,根据机械能守恒,有
mv2=
mvC2+mgR(1-cos53°)
小球离开C后做平抛运动,x=vCt
h=
gt2
解得x=
m;
(3)小球从A到B:
M、m组成的系统机械能守恒
(M+m)vB2=MgxAB-mgxABsin53°
线断后,小球从B到C,vC≥0
mvC2-
mvB2=-mgR(1-cos53°)
联立解得M≥
m.
机械能守恒定律多与其他知识相结合进行综合命题,一般为多过程问题,难度较大.解答此类题目时一定要注意机械能守恒的条件,分析在哪个过程中机械能守恒,然后列式求解,不能盲目应用机械能守恒定律.
四、功能关系的理解与应用
功与能的关系:
功是能量转化的量度,某种力做功往往与某一种具体形式的能量转化相联系,做了多少功,就有多少能量发生转化.具体功能关系如下表:
功
能量转化
关系式
重力做功
重力势能的改变
WG=-ΔEp
弹力做功
弹性势能的改变
WF=-ΔEp
合外力做功
动能的改变
W合=ΔEk
除重力、系统内弹力以外的其他力做功
机械能的改变
W=ΔE机
两物体间滑动摩擦力对物体系统做功
机械能转化为内能
Ff·x相对=Q
如图4所示,在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道,半径OA水平、OB竖直,一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落,小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力.已知AP=2R,重力加速度为g,则小球从P到B的运动过程中( )
图4
A.重力做功2mgR
B.机械能减少mgR
C.合外力做功mgR
D.克服摩擦力做功
mgR
答案 D
解析 从P到B的过程中,小球下降的高度为R,则WG=mgR,选项A错误;小球到达B点时恰好对轨道没有压力,则有mg=m
,设摩擦力对小球做的功为Wf,从P到B的过程,由动能定理可得mgR+Wf=
mvB2,联立以上两式解得:
Wf=-
mgR,即克服摩擦力做功
mgR,机械能减少
mgR,故B错误,D正确;根据动能定理知:
W合=
mvB2=
mgR,故C错误.
(多选)如图5所示,木块静止在光滑水平桌面上,一子弹(可视为质点)水平射入木块的深度为d时,子弹与木块相对静止,在子弹入射的过程中,木块沿桌面移动的距离为x,木块对子弹的平均阻力为Ff,那么在这一过程中,下列说法正确的是( )
图5
A.木块的机械能增量为Ffx
B.子弹的机械能减少量为Ff(x+d)
C.系统的机械能减少量为Ffd
D.系统的机械能减少量为Ff(x+d)
答案 ABC
解析 木块机械能的增量等于子弹对木块的作用力Ff做的功Ffx,A对;子弹机械能的减少量等于动能的减少量,即子弹克服阻力做的功Ff(x+d),B对;系统减少的机械能等于产生的内能,也等于摩擦力乘以相对位移,ΔE=Ffd,C对,D错.
1.(功能关系)(多选)(2018·白水中学高一下学期期末)如图6所示,质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面,其运动的加速度大小为
g,此物体在斜面上上升的最大高度为h,则在这个过程中物体( )
图6
A.重力势能增加了
mgh
B.克服摩擦力做功
mgh
C.动能损失了
mgh
D.机械能损失了
mgh
答案 CD
解析 这个过程中物体上升的高度为h,则重力势能增加了mgh,故A错误;加速度a=
g=
,则摩擦力Ff=
mg,物体在斜面上能够上升的最大高度为h,发生的位移为2h,则克服摩擦力做功Wf=Ff·2h=
mg·2h=
,故B错误;由动能定理可知,动能损失量为ΔEk=F合·2h=m·
g·2h=
mgh,故C正确;机械能的损失量为ΔE=Ffx=
mg·2h=
mgh,故D正确.
2.(链条类机械能守恒问题)(2018·树德中学期末)如图7所示,一条长为L的柔软匀质链条,开始时静止在光滑梯形平台上,斜面上的链条长为x0,已知重力加速度为g,L
图7
答案
解析 链条各部分和地球组成的系统机械能守恒,设链条的总质量为m,以AB面为零势能面,则
-
x0g·
x0sinα=
mv2-
xg·
xsinα
解得v=
3.(系统机械能守恒的计算)(2018·正定中学期末考试)如图8所示,质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为m的小球A和B,它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动.已知OA=2OB=2l,将杆从水平位置由静止释放.(重力加速度为g)
图8
(1)在杆转动到竖直位置时,小球A、B的速度大小分别为多少?
(2)在杆转动到竖直位置的过程中,杆对A球做了多少功?
(3)在杆刚转到竖直位置的瞬间,杆对B球的作用力为多大?
是推力还是拉力?
答案
(1)
(2)-
mgl (3)
mg 推力
解析
(1)小球A和B及杆组成的系统机械能守恒.设转到竖直位置的瞬间A、B的速率分别为vA、vB,杆旋转的角速度为ω,有mg·2l-mgl=
mvA2+
mvB2
vA=2lω,vB=lω
联立解得vB=
,vA=
(2)对A球,由动能定理得mg·2l+W=
mvA2
联立解得W=-
mgl
(3)在杆刚转到竖直位置的瞬间,设杆对B球有向下的拉力F,根据向心力公式有
mg+F=m
,解得F=-
mg
负号表示杆对B球的作用力方向与假设方向相反,即向上,所以对B球的作用力为推力.
4.(系统机械能守恒的计算)(2018·许昌市高一下学期期末)如图9所示,一轻质竖直弹簧,下端与地面相连,上端与质量为m的物体A相连.弹簧的劲度系数为k,A处于静止状态,此时弹簧的弹性势能为Ep.一条不可伸长的轻绳绕过定滑轮,一端连接物体A,另一端连一轻质挂钩.开始时各段绳子都处于伸直状态,A上方的一段绳子沿竖直方向.现在挂钩上挂一质量为M的物体B并从静止状态释放.则当弹簧向上变为原长时,物体A和B的速度大小分别为多少?
(已知重力加速度为g)
图9
答案 均为
解析 没有挂物体B时,设弹簧的压缩量为x,
对A,有:
mg=kx
解得:
x=
挂上物体B后,弹簧向上变为原长时,物体A和B的速度大小一样,设为v,从开始运动到弹簧变为原长的过程中,把A、B和弹簧组成的系统机械能守恒,有:
Ep=
(m+M)v2+mgx-Mgx
解得:
v=
.
一、选择题
1.(多选)(2018·南京外国语学校期末)如图1所示,将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上,槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连).现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落,从A点与半圆形槽相切进入槽内,则下列说法正确的是( )
图1
A.小球在半圆形槽内运动的全过程中,只有重力对它做功
B.小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中,小球的机械能守恒
C.小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中,小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒
D.小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中,机械能守恒
答案 BC
2.(多选)如图2所示,光滑细杆AB、AC在A点连接,AB竖直放置,AC水平放置,两相同的中心有孔的小球M、N,分别套在AB和AC上,并用一不可伸长的细绳相连,细绳恰好被拉直,现由静止释放M、N,在N球碰到A点前的运动过程中,下列说法中正确的是( )
图2
A.M球的机械能守恒
B.M球的机械能减小
C.M和N组成的系统的机械能守恒
D.绳的拉力对N做负功
答案 BC
解析 因M下落的过程中细绳的拉力对M球做负功,对N球做正功,故M球的机械能减小,N球的机械能增加,但M和N组成的系统的机械能守恒,B、C正确,A、D错误.
3.(多选)(2019·济南市高一下期中)如图3所示,A和B两个小球固定在一根轻杆的两端,mB>mA,此杆可绕穿过其中心的水平轴O无摩擦地转动.现使轻杆从水平位置无初速度释放,发现杆绕O沿顺时针方向转动,则杆从释放至转动90°的过程中( )
图3
A.B球的动能增加,机械能增加
B.A球的重力势能和动能增加
C.A球的重力势能和动能的增加量等于B球的重力势能的减少量
D.A球和B球的总机械能守恒
答案 BD
解析 A球运动的速度增大,高度增大,所以动能和重力势能都增大,故A球的机械能增加;B球运动的速度增大,所以动能增大,高度减小,所以重力势能减小;对于两球组成的系统,只有重力做功,系统的机械能守恒,因为A球的机械能增加,故B球的机械能减少,故A球的重力势能和动能的增加量与B球的动能的增加量之和等于B球的重力势能的减少量,故A、C错误,B、D正确.
4.(多选)(2018·厦门市高一下学期期末)如图4所示,质量为M的木块放在光滑的水平面上,质量为m的子弹(可视为质点)以速度v0沿水平方向射入木块,并最终留在木块中与木块一起以速度v运动.若子弹相对木块静止时,木块前进距离为l,子弹进入木块的深度为d,木块对子弹的阻力Ff视为恒定,则下列关系式中正确的是( )
图4
A.Ffl=
Mv2
B.Ffd=
Mv2
C.Ffd=
mv02-
(M+m)v2
D.Ff(l+d)=
mv02-
mv2
答案 ACD
解析 画出运动过程示意图,从图中不难看出,当木块前进距离为l,子弹进入木块的深度为d时,子弹相对于地面发生的位移为l+d.由牛顿第三定律知,子弹对木块的作用力大小也为Ff.
子弹对木块的作用力对木块做正功,由动能定理得
Ff·l=
Mv2①
木块对子弹的作用力对子弹做负功,由动能定理得
-Ff·(l+d)=
mv2-
mv02②
由①②得Ff·d=
mv02-
(M+m)v2
所以,选项A、C、D正确.
5.如图5所示为低空跳伞表演,假设质量为m的跳伞运动员,由静止开始下落,在打开伞之前受恒定阻力作用,下落的加速度为
g,在运动员下落h的过程中,下列说法正确的是( )
图5
A.运动员的重力势能减少了
mgh
B.运动员的动能增加了
mgh
C.运动员克服阻力所做的功为
mgh
D.运动员的机械能减少了
mgh
答案 B
解析 在运动员下落h的过程中,重力势能减少了mgh,故A错误;根据牛顿第二定律得,F合=ma=
mg,则根据动能定理得,合力做功为W合=F合h=
mgh,则动能增加了
mgh,故B正确;合力做功等于重力做功与阻力做功的代数和,因为重力做功为mgh,则运动员克服阻力所做的功为
mgh,故C错误;重力势能减少了mgh,动能增加了
mgh,故运动员机械能减少了
mgh,故D错误.
6.(多选)某运动员采用蹲踞式起跑,在发令枪响后,左脚迅速蹬离起跑器,在向前加速的同时提升身体重心.如图6所示,假设该运动员的质量为m,在起跑时前进的距离s内,重心升高量为h,获得的速度为v,重力加速度为g,则此过程中( )
图6
A.运动员克服重力做功WG=mgh
B.运动员的机械能增加了
mv2
C.运动员的机械能增加了
mv2+mgh
D.运动员对自身做功W=
mv2+mgh
答案 ACD
解析 运动员在此过程中重心升高量为h,获得的速度为v,故重力势能增加mgh,动能增加
mv2,则机械能增加
mv2+mgh,A、C正确,B错误;运动员对自身做的功等于其机械能的增加量,D正确.
7.如图7所示,一根很长且不可伸长的柔软轻绳跨过光滑轻质定滑轮,轻绳两端各系一小球a和b,a球质量为m,静置于地面;b球质量为3m,用手托住,离地面高度为h,此时轻绳刚好拉紧,从静止开始释放b后,a能达到的最大高度为(b球落地后不反弹,不计空气阻力)( )
图7
A.hB.1.5h
C.2hD.2.5h
答案 B
解析 释放b后,在b到达地面之前,a向上加速运动,b向下加速运动,a、b组成的系统机械能守恒,设b落地瞬间速度为v,取地面所在平面为参考平面,则3mgh=mgh+
mv2+
(3m)v2,可得v=
;b落地后,a向上以速度v做竖直上抛运动,能够继续上升的高度h′=
=
.所以a能达到的最大高度为H=h+h′=1.5h,B正确.
8.(2018·荆州中学期末)如图8所示,物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在光滑轻质定滑轮两侧,物体A、B的质量都为m.开始时细绳伸直,用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h,物体B静止在地面上.放手后物体A下落,与地面即将接触时速度大小为v,此时物体B对地面恰好无压力,不计空气阻力,重力加速度为g,则下列说法正确的是( )
图8
A.弹簧的劲度系数为
B.此时弹簧的弹性势能等于mgh+
mv2
C.此时物体B的速度大小也为v
D.此时物体A的加速度大小为g,方向竖直向上
答案 A
解析 由题意可知,此时弹簧所受的拉力大小等于物体B的重力,即F=mg,弹簧伸长的长度为x=h,由F=kx得k=
,故A正确;A与弹簧组成的系统机械能守恒,则有mgh=
mv2+Ep,则弹簧的弹性势能Ep=mgh-
mv2,故B错误;物体B对地面恰好无压力时,B的速度为零,故C错误;对A,根据牛顿第二定律有F-mg=ma,又F=mg,得a=0,故D错误.
9.(多选)(2018·平顶山市高一下学期期末)如图9所示,绷紧的水平传送带始终以恒定速率v1=2m/s顺时针运行,质量m=2.0kg的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A处以初速度v2=4m/s向左滑上传送带,若传送带足够长,已知物块与传送带间的动摩擦因数为0.4,g=10m/s2,下列判断正确的是( )
图9
A.物块离开传送带时的速度大小为2m/s
B.物块离开传送带时的速度大小为4m/s
C.摩擦力对物块做的功为-12J
D.系统共增加了12J的内能
答案 AC
解析 小物块先向左做匀减速直线运动,然后小物块向右做匀加速运动,当速度增加到与传送带速度相同时,以2m/s向右做匀速运动,故A正确,B错误;根据动能定理,摩擦力对物块做的功等于物块动能的减少量:
W=
m(v12-v22)=
×2.0×(22-42)J=-12J,故C正确;小物块先向左做匀减速直线运动,加速度大小为a=μg=4m/s2,物块与传送带间的相对位移为:
x1=
m+2×
m=4m,小物块向右做匀加速运动时物块与传送带间的相对位移为:
x2=
×2m-
m=0.5m,故系统增加的热量为:
Q=μmg(x1+x2)=0.4×2.0×10×(4+0.5)J=36J,故D错误.
10.(多选)(2018·高邮中学高一下学期期末)如图10所示,在竖直平面内有一半径为R的四分之一圆弧轨道BC,与竖直轨道AB和水平轨道CD相切,轨道均光滑.现有长也为R的轻杆,两端固定质量均为m的相同小球a、b(可视为质点),用某装置控制住小球a,使轻杆竖直且小球b与B点等高,然后由静止释放,杆将沿轨道下滑.设小球始终与轨道接触,重力加速度为g.则( )
图10
A.下滑过程中a球和b球组成的系统机械能守恒
B.下滑过程中a球机械能守恒
C.小球a滑过C点后,a球速度为2
D.从释放至a球滑过C点的过程中,轻杆对b球做功为
mgR
答案 AD
11.(拓展提升)(多选)(2018·天津三中期末考试)如图11所示,将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端,轻绳的另一端系一质量为m的环,环套在竖直固定的光滑直杆上,光滑的轻质定滑轮与直杆的距离为d,杆上的A点与定滑轮等高,杆上的B点在A点下方距离为d处.现将环从A点由静止释放,不计一切摩擦阻力,下列说法正确的是( )
图11
A.环到达B点时,重物上升的高度为
B.环到达B点时,环与重物的速度大小相等
C.环从A到B,环减少的机械能等于重物增加的机械能
D.环能下降的最大高度为
d
答案 CD
解析 环到达B点时,重物上升的高度h=
d-d=(
-1)d,A错误;环到达B点时,环沿绳方向的分速度与重物速度大小相等,故环的速度大于重物的速度,B错误;因为环与重物组成的系统机械能守恒,所以环减少的机械能等于重物增加的机械能,C正确;设环能下降的最大高度为H,此时环与重物的速度均为零,重物上升的高度为h′=
-d,由机械能守恒定律,得mgH=2mg(
-d),解得H=
d,D正确.
二、非选择题
12.(2018·黑龙江省实验中学高一下学期期末)如图12所示,质量都是m的物体A和B,通过轻绳跨过轻质定滑轮相连,斜面光滑,倾角为θ,不计绳子和滑轮之间的摩擦及空气阻力.开始时A物体离地的高度为h,B物体位于斜面的底端且与B相连的绳与斜面平行,用手托住A物体,A、B两物体均静止,重力加速度为g,撤去手后,求:
图12
(1)A物体将要落地时的速度多大?
(2)A物体落地后,B物体由于惯性将继续沿斜面上升,则B物体在斜面上的最远点离地的高度多大?
答案
(1)
(2)
h(1+sinθ)
解析
(1)两物体组成的系统只有重力做功,故系统的机械能守恒,得:
mgh-mghsinθ=
(m+m)v2
解得:
v=
(2)当A物体落地后,B物体由于惯性将继续上升,此时绳子松弛,对B物体而言,只有重力做功,故B物体的机械能守恒,设其上升的最远点离地的高度为H,根据机械能守恒定律得:
mv2=mg(H-hsinθ),解得H=
h(1+sinθ).
13.素有“陆地冲浪”之称的滑板运动深受广大青少年喜爱.如图13所示是由足够长的斜直轨道、半径R1=2m的凹形圆弧轨道和半径R2=3.6m的凸形圆弧轨道三部分组成的模拟滑板组合轨道.这三部分轨道依次平滑连接,且处于同一竖直平面内.其中M点为凹形圆弧轨道的最低点,N点为凸形圆弧轨道的最高点,凸形圆弧轨道的圆心O与M点在同一水平面上,一可视为质点、质量为m=1kg的滑板从斜直轨道上的P点无初速度滑下,经M点滑向N点,P点距水平面的高度h=3.2m,不计一切阻力,g取10m/s2.求:
图13
(1)滑板滑至M点时的速度大小;
(2)滑板滑至M点时,轨道对滑板的支持力大小;
(3)若滑板滑至N点时对轨道恰好无压力,求滑板的下滑点P距水平面的高度.
答案
(1)8m/s
(2)42N (3)5.4m
解析
(1)对滑板由P点滑至M点,由机械能守恒得mgh=
mvM2,解得vM=8m/s.
(2)对滑板滑至M点时受力分析,由牛顿第二定律得
FN-mg=m
,解得FN=42N.
(3)滑板滑至N点时对轨道恰好无压力,则有
mg=m
,则vN=6m/s
滑板从P点到N点机械能守恒,则有
mgh′=mgR2+
mvN2,解得h′=5.4m.
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