第四节勾股定理的应用.docx
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第四节勾股定理的应用
第四节勾股定理的应用
一、梯子问题
【知识要点】
你见过梯子吗?
它有什么特点呢?
#例1如图1-1,一个梯子AB长5米,
斜靠在一竖直的墙AC上,这时梯子下端
B与墙角C的距离为3米,梯子沿墙滑动
后停在DE的位置上,如图1-2,所示,
测得BD长为1米,求梯子顶端A下落了
多少米?
二、两点间的距离问题
【知识要点】
1.今天,大家来谈谈立体图形表面两点间的最短距离问题吧!
#例2如图,长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,
点B离点C5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬
到点B,需要爬行的最短路程是多少?
2.大家知道立体图形中的最长线段问题怎样解决吗?
#例3机场入口的铭牌上说明,飞机的行李架是一个56cm
×36cm×23cm的长方体空间。
一位旅客携带一件长60cm的画
卷,这件画卷能放入行李架吗?
例4如图,有一长、宽、高分别为5cm,4cm,3cm的木箱,
在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形变忽略不计),要
求木条不能露出木箱,请你算一算,能放入的细木条的最大
长度是()
A.
B.
C.
D.
三、行程类问题
【知识要点】
你知道行程类问题该如何解决吗?
你能说出相关的数学公式吗?
#例5一艘轮船以32海里/时的速度离开港口向东南方向
航行,另一艘轮船在同时同地以24海里/时的速度向西南方
向航行,则一个小时后两船相距多远?
例6某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往
正西方向的B处,经16小时到达,到达后必须立即卸货,此
时,接到气象部门通知,一台风中心正以40海里/时的速度由
A向北偏西
方向移动,距台风中心200海里的圆形区域(包
括边界)均会受到台风影响。
(1)问:
B处是否会受到台风的影响?
请说明理由。
(2)为避免受到台风的影响,该船应在多少小时内卸完货物?
(结果精确到0.1小时)
*例7阅读材料并解答问题:
我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一,古代印度、
希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应
用,古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理,在西方
勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”。
关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组,
在课本中我们已经了解到,“能够成为直角三角形三条边的
三个正整数称为勾股数”。
以下是毕达哥拉斯等学派研究出
的确定勾股数组的两种方法:
方法1:
若m为奇数(m≥3),则a=m,
和
是勾股数。
方法2:
若任取两个正整数m和n(m>n),则
,
b=2mn,
是勾股数。
(1)在以上两种方法中任选一种,验证以a、b、c为边
长的△ABC是直角三角形。
(2)请根据方法1和方法2按规律填写下列表格:
勾m
3
5
11
…
股
4
12
60
…
弦
5
13
61
…
表1
表2
m
2
3
3
4
4
4
5
5
6
…
n
1
2
1
3
2
1
4
3
5
…
3
5
8
7
12
15
9
16
11
…
b=2mn
4
12
6
24
16
8
40
30
60
…
5
13
10
25
20
17
41
34
61
…
(3)某园林管理处要在一块绿地上植树,使之构成如图
所示的图案景观,该图案由四个全等的直角三角形组成。
要
求每个三角形顶点处都植一棵树,各边上相邻两棵树之间的
距离约为1米,如果每个三角形最短边上都植6棵树,那么
这四个直角三角形的边上共需植树棵。
小试锋芒
姓名:
成绩:
一、精心选一选
#1.直角三角形的一条直角边是另一条直角边的
,斜边长
为10,它的面积为()。
A.
B.
C.
D.
#2.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,
则△ABC的形状是()。
A.直角三角形B.锐角三角形
C.等边三角形D.钝角三角形
#3.如图,一扇矩形大门,高3m,宽4m,为了加固大门,
在大门的四边及对角线位置分别订上铁条,问至少需要铁
条的长度为()。
A.10mB.12m
C.24mD.36m
#4.小明把一根长为160cm的细铁丝剪成三段,做成一个
等腰三角形风筝的边框ABC(如图),已知风筝的高AD=40cm,则小明把铁丝剪成三段的长度分别为()。
A.40,40,80B.50,50,60
C.60,60,40D.70,70,20
5.编制一个底面周长为a、高为b的圆柱形花柱架,需用沿圆柱
表面绕织一周的竹条若干根,如图中的
,
……则
每一根这样的竹条的长度最少是()。
A.
B.
C.
D.
二、耐心填一填
#6.小明用火柴棒摆直角三角形,已知他摆两条直角边分别
用了6根和8根火柴棒,则他摆完这个直角三角形共用火柴棒
根。
#7.如图,太阳能热水器的支架AB长为90cm,与AB垂直
的BC长为120cm。
则太阳能直空管AC的长度是。
#8.从地图上看(如图所示),南京玄武湖东西向隧道与中
央路北段及龙姗路大致成直角三角形。
从B处到C处,如果
直接走湖底隧道BC,将比绕道BA(约1.35km)和AC(约2.25km)少走的路程是km。
9.如图,某建筑物BC直立于水平地面,AC=9米且AB=2BC。
要
建阶梯AB,使每阶高不超过20厘米,则此阶梯最少要建
阶。
(最后一阶的高不足20厘米时,按一阶计算;
取1.732)
三、专心解一解
10.如图所示,厂房屋顶人字架(等腰三角形)
的跨度BC为12m,中柱AD为2.5m,中柱AD垂
直于BC,且垂足D为BC的中点,为防雨需在厂
房顶部铺上油毡,若厂房长10m,则需要油毡
多少平方米?
#11.有一个传感器控制的灯,控制范围是:
以它为中心
5米(包括5米),即只要有物体进入距离它5米以内(包
括5米)的区域,灯就会自动打开,现将它安装在学校大门
上方离地面高4.5米的墙上,如果小明身高1.5米,那么小
明离门多远的地方,灯刚好打开?
大显身手
姓名:
成绩:
一、精心选一选
#1.夏令营里,一次野营训练,同学们分为红、蓝两军。
红军
以80米/分的速度沿东南方向行进,蓝军以60米/分的速度沿西
南方向行进,半小时后,两军相距()。
A.3000米B.3200米
C.4000米D.4200米
#2.如图,一座楔形台,高14米,底座长48米,一位
自行车运动员要在5秒钟驶过楔形台斜面,则平均速度至
少应达到().
A.10m/sB.8m/s
C.6m/sD.4m/s
3.如图,某校A与直线公路距离为3000米,又与该公
路上某车站D的距离为5000米,现要在公路边建一个小
商店C,使之与学校A及车站D的距离相等,那么该商
店与车站的距离是()米.
A.1800B.2000
C.3000D.3125
4.在一块平地上,张大爷家屋前9米远处有一棵大树。
在
一次强风中,这棵大树从离地面6米处折断倒下,量得倒下
部分的长是10米。
出门在外的张大爷担心自己的房子被倒
下的大树砸到,大树倒下时能砸到张大爷的房子吗?
请你通
过计算、分析后给出正确的回答()。
A.一定不会B.可能会
C.一定会D.以上答案都不对
二、耐心填一填
#5.如图,小明将一张长AE=20cm,宽DE=15cm的长方形纸
减去了一角,量得AB=3cm,CD=4cm,则剪去的直角三角形的
斜边长为cm。
6.有一个边长为50cm的正方形洞口,想用一个圆形铁片盖住
这个洞口,圆形铁片的直径至少是cm。
(结果精确到0.1cm)
*7.小明从矩形操场的一个顶点沿对角线走到另一顶点,比
沿操场两邻边少走了矩形长边的一半的距离,则这个矩形操场
的短边与长边的比是。
三、专心解一解
8.如图,在△ABC中,
,
,
,
求BC的长。
#9.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一
固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号
每小时航行12海里,它们离开港口一个半小时后相距30海
里。
若“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪
个方向航行吗?
10.登山员在山顶一平坦处竖起一面会旗,旗杆被系在A
处的三条等长的铁索拉紧,并分别固定在地面的C、D、E
处,如图所示,如果∠ABC=∠ABD=∠ABE=
,那么BC、
BD、BE三条线段有怎么样的关系?
11.如图,台阶的下端点B到上端点A的直线
距离是多少?
12.如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避
开拐角走“捷径”,在花圃内走出一条“路”,问他们仅
仅少走了几步路(假设2步为1米,却踩伤了花草?
13.中俄两国在某海域举行联合军事演习,甲、乙两艘船同时
从某港口O出发,分别向北偏西
,南偏西
方向航行围攻
敌船,已知甲、乙两艘船速度分别为60海里/时,80海里/时,
问两艘船出发后多长时间相距200海里?
*14.为筹备迎新生晚会,同学们设计了一个圆筒形灯罩,底色
漆成白色,然后缠绕红色油纸。
如图,已知圆筒高108cm,其圆
筒底面周长为36cm,如果在表面缠绕油纸4圈,应裁剪多长油纸?
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