数学实验报告-处理相同生日问题.doc
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数学实验报告
(一)
实验序号.4日期:
2035年5月5日
专业年级
应用数学2018级
姓名
帅哥
学号
1817020104
试验名称
生日问题
问题背景描述:
在100个人的团体中,如果不考虑年龄的差异,研究是否有两个以上的人生日相同。
假设每人的生日在一年365天中的任意一天是等可能的,那么随机找n个人(不超过365人)。
求这n个人生日各不相同的概率是多少?
从而求这n个人中至少有两个人生日相同这一随机事件发生的概率是多少?
实验目的:
用计算机求解概率问题;结合matlab求解曲线拟合,以此得到一个多项式,即确定求概率的近似计算公式;最后运用matlab计算机模拟随机现象,进一步分析问题。
实验原理与数学模型:
这是一个古典概率问题,n个人中每一人的生日都可能在365天中任何一天,样本空间中样本点总数为,考虑n个人的生日两两不同,第一个人的生日可能在365天中任一天,第二个人的生日不能与第一个人生日相同,所以第二个人生日可能在364天中任何一天,同样,第三个人的生日发生在363中任何一天:
故这n个人的生日各不相同的概率是:
而它的对立事件,就是题目中所要求的--n个人中至少有两人生日相同,其对应的概率为:
但是在利用公式进行计算时,所用的乘法次数和除法次数较多,可以考虑用matlab做进行曲线拟合,得到一个当有n个人时,至少有两人生日相同的概率多项式,以此多项式函数来近似求解当给定n的值时,对应的发生事件的概率值。
最后运用matlab的计算机模拟,进行比较分析。
实验所用软件及版本:
学校机房里的Matlab7.0版本
主要内容(要点):
1、运用曲线拟合,结合matlab,求出n个人中至少有两个人生日相同的概率的近似公式;
2、根据的这一函数,用计算机计算出当团体人数取n=1,2,……,100时的概率值:
,最后在Matlab环境下用指令plot绘制图形,描述概率值随团体人数变化的规律;
3、特殊概率值的计算。
在有40个学生、60个学生和80个学生的班上,至少有2个同学生日相同的概率是多少?
即运用,当n=40,60,80时,求出对应值。
用5次多项式拟合方法寻找一个近似计算概率的公式;
4、考虑团体总人数对概率值的影响;
5、计算机仿真(数值模拟)。
实验过程记录(含:
基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等):
1、利用,用计算机分别计算出当团体人数取n=1,2,……,100时的概率值:
,并绘制图形。
Matlab程序具体如下:
结果所得图形如下:
2、特殊概率值的计算。
运用公式,当n=40,60,80时,求出对应值。
由于第一步中,已经有着p(n)的程序,则可以直接求出,,。
例如
>>p(40)
ans=
0.8912即当一个班有40个学生时,至少有两个同学生日相同的概率为0.8912
同理可得其他的,即有,,
3、参考第一步中的图,用matlab求解曲线拟合问题,这里是多项式拟合,设定拟合的多项式的次数m=5,运用命令A=polyfit(n,p,5)求出多项式的系数,进而得到近似计算概率的公式。
在Matlab环境下键入下列指令(该指令为求五次多项式拟合的多项式系数):
>>n=1:
100;
>>A=polyfit(n,p,5)
A=
-0.00000.0000-0.00010.0023-0.0046-0.0020
由此系数,得到拟合的概率多项式,表达式为
而在matlab的线性最小二乘拟合中,多项式在n处的值p可用指令:
p=polyval(A,n)
下面我们用得到的多项式,近似计算100个概率值,并用plot指令画出拟合多项式的图象,并与第一步中得到的曲线作比较。
>>PP=polyval(A,n);
>>plot(n,p,n,PP,'*')
结果所得的图象如下所示:
用五次多项式作近似计算P(30)、P(50)和P(70),指令和结果如下:
>>PP(40)
ans=
0.8895
>>PP(60)
ans=
0.9985
>>PP(80)
ans=
0.9943
4、在某团体中,要保证“至少有两人生日相同”的概率大于99%,可以利用第一个步骤以算出的100个概率值,键入如下指令:
>>find(p>0.99),可得结果为:
ans=
Columns1through27
575859606162636465666768697071727374757677787980818283
Columns28through44
84858687888990919293949596979899100
从结果可看出,该团体总人数若超过57人,则这个团体中至少有两人生日相同的概率将大于99%。
5、计算机仿真。
随机产生30个正整数,介于1到365之间(用这30个数代表一个学生班的30个同学的生日),然后统计数据,观察是否有两人以上的人生日相同。
当30人中有两人生日相同时,计算机输出为“1”,否则输出为“0”。
如此重复观察100次,可得频率。
下面是做计算机模拟的Matlab源程序:
n=0;
form=1:
100
y=0;
x=1+fix(365*rand(1,30));
fori=1:
29
forj=i+1:
30
if(x(i)==x(j)),y=1;
break,
end
end
end
n=n+y;
end
f=n/m
以j.m为文件名保存在Matlab工作空间中,并在Matlab环境下键入j,回车,可输出结果:
=0.7350
实验结果报告与实验总结:
通过这次实验,让我加深了概率论与统计中的有关知识如何在matlab中得到求解,怎样进行曲线拟合,以此得到一个多项式,即确定求概率的近似计算公式;但是对于我自己,较难的是运用matlab计算机模拟随机,在编写此模拟代码中出现了一定的困难,对一些循环语句不能很好的解释,但是在同学的帮助下,还是顺利完成了。
我想在今后的实际问题中,自己还应该多加强这方面的联系,学会如何建立算法的思想,并正确写出来代码。
思考与深入:
在某一时期,某城市的汽车号码由6个符号组成,第一个符号是英文字母,后5个符号是阿拉伯数字。
在这段时期中,这一城市的交通管理局最多能为多少辆汽车编号?
有一位交通警察在路口值勤,他在值勤期间观察到的200辆本市车辆中,有最后5位阿拉伯数字相同的汽车的可能性是多大?
4
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