初中数学边边角能否判定三角形全等教学设计学情分析教材分析课后反思.docx
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初中数学边边角能否判定三角形全等教学设计学情分析教材分析课后反思
“边边角”能否判定三角形全等教学设计
【教学目标】
1.经历已知“SSA”画三角形的画图过程。
经历对于问题“SSA一定不能判定三角形全等吗?
”的分析、思考和研究的全过程。
2.探究在特定条件下,“SSA”可以画出唯一的三角形,体验两级分类的有序进行,体会交轨法思想、数形结合思想。
【教学重点】
探究特定条件下,“SSA”能画出形状、大小唯一确定的三角形。
【教学难点】
体验两级分类的有序进行。
【教学过程】
(一)开放小题引入
前面我们学习了三角形全等的判定,下面我们通过这个小题进行一下复习。
问题1.如图,∠1=∠2.要使△ABC≅△ADC,还需添加什么条件?
添加AB=AD,则有哪些对应相等的元素?
已知的两边和一角是什么位置关系?
能判定这两个三角形全等吗?
“边边角”一定不能判定三角形全等吗?
——有时能,有时不能,本节课来探索“边边角”“有时能判定三角形全等”是指什么条件下,“有时不能判定三角形全等”又是在什么条件下。
(二)重温课本找思路
应该如何探索?
我们以前已经探索了“SAS”“ASA”等判定三角形的方法,课本是怎么探索的?
我们重温一下。
这是课本对“角边角”的探索
这是课本对“边角边”的探索
本节是探究由“边边角”能否判定三角形全等。
都是由三个条件去判定全等,它们有共性。
课本是怎样引导我们探索的?
我们再次阅读课本23页24页,“边角边”和“角边角”都是通过一个活动得出结论的,课本提供的是什么活动?
活动的步骤是什么?
如何根据所画三角形得出结论?
我们就借鉴这个方法探究“SSA”吧——给出三个条件:
两边和其中一边的对角,对三角形画画看,看画出的三角形是不是唯一的。
改变角度和边长再对三角形画画看,看看画出的三角形是否还唯一。
不过我们要有序进行。
总之,思路是——给条件画图,改变角度和边长再画图。
如果画出的图形是唯一的,说明可以判定全等,否则,不能。
我们要给出一个角,就先是直角吧。
(三)初步探究的牛刀小试
1.画出△ABC,使∠A=∠1=90°AB=5厘米BC=7厘米
如何确定B点?
C点?
(强调C点满足的条件,和用交轨法确定点的方法,及C点在AF和点B已经确定的情况下主要依赖于半径的大小)
画出的三角形形状、大小是唯一确定的吗?
如果同学们都按照这样的条件画三角形,那么,这些三角形有什么关系?
这个例子说明“SSA”能判定全等。
下面改变角度或边长来看看。
这三个条件先改变一个看看。
角度不变的情况下,∠A和它的邻边AB也不变的情况下,C点个数是否变化?
如果让AB=5厘米BC=7厘米不变,改变∠A的大小呢?
2.画出△ABC,使∠A>90°AB=5厘米BC=7厘米
C点只要存在还一定是一个吗?
若再改变BC的长度,而∠A和AB=5厘米不变,C点个数是否变化?
还总能画出唯一的三角形吗?
结论如图
如果继续让AB=5厘米BC=7厘米保持不变,只改变∠A为锐角呢?
(四)继续分类探究有序
3.画出△ABC,使∠A为锐角AB=5厘米BC=7厘米
改变BC的长度,C点只要存在还一定是一个吗?
(用画板拖动变成两个交点)
改变BC的长度,以B为圆心以BC为半径画的弧发生改变,因此,弧和射线AF的交点个数发生了改变。
情况有点复杂,我们进一步画图看看,改变BC的长度时,以B为圆心BC为半径画的弧和射线AF的交点个数是怎样随之改变?
(先独立思考,再交流讨论,学生板演)
BC的长度可以有序变化,借助数轴来看:
1.0 2.BC=d时 3.d 4.BC=c时 5.BC>c时 结论: (五)回顾小结数个数 已知两边一角画三角形,三角形的个数确定吗? 什么条件下“SSA”能画出一个形状和大小唯一确定的三角形? “SSA”能判定全等吗? (六)画个表格找规律 对照图表小结本节内容 通过本节的探究可知,“SSA”可以画出形状和大小唯一确定的三角形,但是是在特殊条件下,而全等三角形的判定方法要求所有情况下均成立,因此“SSA”不能判定两个三角形全等。 命题有真有假,遇到一个命题,我们应冷静客观的去分析它,用数学上提供的数形结合、分类讨论等方法去辨别真伪,去给出合理的解释。 我们用下面的问题检验今天的学习成果,看能不能用今天学习到的方法去研究这个问题。 (七)学以致用轻松解决 1.已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm,一个内角为40°。 满足这一条件,且彼此不全等的三角形共有几个? 请画出图形。 2.已知一个三角形的两条边长分别是3cm和4cm,一个内角为40°。 请借助下图画出满足条件的三角形。 3.画△ABC,使∠A=∠1AB=cBC=a 问题: 当画出的△ABC有且只有一个时,说明a的范围? “边边角”能否判定三角形全等学情分析 探索三角形全等的条件“SSS”“ASA”“AAS”“SAS”时,采用的方法都是画图,根据画出的三角形形状、大小是唯一确定的,得出判定全等的上述条件。 “SSA”的反例也是画图。 从方法上讲,画图贯穿始终,是统一的。 学生具备了深入探究“SSA”的基础。 问题在于“SSA”画出的三角形的形状、大小有时是唯一确定的,有时不是,以多年的教学经验看,学生对此困惑较多,这里需要分类讨论,如何有序分类? 如何有序探究? 是难点。 甚至,如何画图也是难点。 因为,对于解题、应用,是学生日常中经常做的,画图做的少。 所以,画图能力需要教师有意识的培养。 学生对于给出三角形的边、角是具体数值时,会感到比较容易接受,用几何画板动态演示,就能使的探究变得直观。 借助数轴讨论对边的取值,也会使问题的分类更直观和更形象。 “边边角”能否判定三角形全等效果分析 本节不完全着力于问题的解决,而是通过借助对于“SSA”的探究,渗透丰富的数学思想,其中包括分类讨论思想、交轨法思想、数形结合思想等,并且展现了对于一个问题分析、思考、研究的全过程,通过本节课的学习,学生的收获应该不仅仅在于问题本身。 本节课给予学生充分的思考时间;给予学生充分的表达自己观点的机会、积极进行数学对话,促进学生的数学理解;给予学生值得思考和探究的问题;给予学生对于问题探究方法的引导。 使得探究过程有实效! 本节借助几何画板制作的课件,形象直观的对问题进行探究,通过数轴进行分类,使数形结合。 “边边角”能否判定三角形全等教材分析 鲁教版《义务教育教科书数学》七年级上册第一章第3节在讲授探索三角形全等的条件“SSS”“ASA”“AAS”“SAS”之后,安排了如下的议一议 如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角,比如两条边长分别为2.5cm和3.5cm,长度为2.5cm的边所对的角为40°,情况会怎样呢? 小明和小颖按照所给条件分别画出了下面的三角形,由此你发现了什么? 与同伴进行交流。 结论: 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等。 对于这个问题,这个反例是如何找到的,还有没有其他的反例,已知两边及其中一边的对角画三角形,改变角度和边长时,会有哪些情况出现? 课本没有进一步说明。 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等,此结论的得出,难在画图举反例。 教科书的议一议是直接给出了这个反例。 课本探索三角形全等的条件“SSS”“ASA”“AAS”“SAS”时,采用的方法都是给出边和角的条件——画图——比较——改变角度和边长——再画图——再比较,根据画出的三角形形状、大小是唯一确定的,得出判定全等的上述条件。 而对“SSA”没有探索,只是画了个反例的图。 教科书在提出如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角后,随即使用“比如……”的语句,将一般性问题转化为特殊性问题,从而既使得问题的解决有可操作的入手之处,也渗透了解决问题时将一般化为特殊的思想和方法。 人教版教材的处理方法是借助“思考”中短木条的转动给出反例进行否定。 我认为,如果能对这个问题进行深度挖掘,学生的收益可以对以后有帮助: 如当∠A为直角时,“SSA”就是“HL”;三角形相似的判定方法要类比全等的判定方法得出;还有方法上的,如数形结合、零点划分、分类讨论、控制变量、交轨法、转化及对问题的提出、分析、完整探究过程等等。 最重要的是,探究“SSA”的方法与前面“SAS”“ASA”的方法一脉相承,学生可以接受。 “边边角”能否判定三角形全等评测练习 1.已知三角形的两条边长分别是1cm和2cm,一个内角为40° 请借助下图画出满足条件的三角形。 2.已知三角形的两条边长分别是3cm和4cm,一个内角为40°。 满足这一条件,且彼此不全等的三角形共有几个? 请画出图形。 (下面为备用图) 3.画△ABC,使∠A=∠1AB=cBC=a 问题: 当画出的△ABC有且只有一个时,说明a的范围? “边边角”能否判定三角形全等教学反思 关于这个教学内容,研究的人很多,阅读了一些文章,发现其中有不少不正确的结论,决定从这个知识的本源上,用学生可接受的方式——画图,对这个内容进行有序讨论和有序探究。 如果学生画图、探究能力强的话,可以采取这样的设计: 先布置前置性作业: 求作△ABC,使∠A=∠1AB=cBC=a 问题: a为何值时,画出的△ABC有且只有一个? (自己曾为这个设置窃喜过,觉得抓住了问题的关键点) 然后,对a的取值进行讨论,借助数轴,利用零点划分的原理有序探究。 再对已知角为直角和钝角时进行探究。 最后设计作业: 1.已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm,一个内角为40° 请借助下图画出满足条件的三角形。 2.已知一个三角形的两条边长分别是3cm和4cm,一个内角为40°。 满足这一条件,且彼此不全等的三角形共有几个? 请画出图形。 (下面为备用图) 虽然,这样能完整的经历探究过程,但感觉到我的学生会有较大困难,思考原因: 1.开始要对a进行讨论,老师思路清楚,学生遇到的问题较多,特别是前置作业没有思路和没有思考的同学;2.对题目条件用字母a,c感觉抽象。 细想,字母表示数本就是数学的一次飞跃,要学生对字母表示数做到无障碍的自然地应用还需要一个过程;3.课堂上先探究的是字母,而课后练习是具体数值,这是一般到特殊的过程。 而具体数值看得见,摸得着显然比字母容易理解;4.先讨论的锐角,后讨论的直角和钝角,但事实上,锐角最麻烦,直角可直接感知,又是一个从麻烦到简单;5.“a取何值”,这个问法不妥,学生还以为需要找到a的具体数值呢;6.画图是学生的弱项;7.学生更喜欢具体操作和解题,不太喜欢研究;8.由“SSA”画出的三角形个数是根据圆和射线的交点个数来确定的,改变圆的半径圆和射线的交点个数会发生变化,学生感到困难;9.用字母表示已知边,学生缺少可操作的入手之处。 如果,画图和探究能力稍弱的班级可以考虑: 先阅读书目,寻找可借鉴的方法。 通过直角感知,把对边和邻边换成具体数值,改变对边的长,看画出三角形的个数;再是钝角,最后锐角。 总的思路: 控制变量——边不变角变——再角不变边变。 总结了一下,有几个核心词: 控制变量、数形结合、分类讨论、交轨法。 教学中谨记: 给予学生充分的思考时间;给予学生充分的表达自己观点的机会、积极进行数学对话,促进学生的数学理解;给予学生值得思考和探究的问题;给予学生对于问题探究方法的引导。 只有这样,探究过程才会有实效! 教学过程跟随学生,年年岁岁花相似,岁岁年年人不同,一切以学生为出发点,里面的学问很大,当我们经反复思考,找准我们——知识——学生之间的结合点和生长点的时候,让问题设计的更适合学生探究的时候,让学生从中既能学到知识又能得到成功的乐趣的时候,能通过经历一个问题的完整探究方法,也积累点探究问题的经验的时候,做为老师,我们——不亦乐乎? “SSA”课标分析 1.信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。 数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术,要注意信息技术与课程内容的整合,注重实效。 要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响,开发并向学生提供丰富的学习资源,把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具,有效地改进教与学的方式,使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。 2.在数学课程中,应当注重发展学生的几何直观。 几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。 借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果。 几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。 本节借助几何画板制作的课件,形象直观的对问题进行探究,通过数轴进行分类,使数形结合也使问题更直观、分类更有序。 3.能用直尺和圆规完成以下基本作图: 作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角。 会利用基本作图作三角形。 在尺规作图中了解作图的原理。 本节课正是用基本作图画三角形,用交轨法画点。 4.了解反例的作用,知道利用反例可以判断一个命题是错误的。 本节的“SSA”通过画图举反例,知道“SSA”不是通法,只是在特定条件下才能唯一确定三角形的形状和大小。 5.学生在积极参与数学活动的过程中,通过独立思考、合作交流,逐步感悟教学思想。 例如,分类是一种重要的思想。 本节需要控制变量,进行两级分类,先讨论已知角,分为直角、钝角、锐角三类,在每一类中对已知角的对边进行变化,对其长度进行分类。 6.体会和运用数学思想与方法,获得基本的活动经验。 本节不完全着力于问题的解决,而是希望借助对于“SSA”的探究,渗透丰富的数学思想,其中包括分类讨论思想、交轨法思想、数形结合思想等,并且展现对于一个问题分析、思考、研究的全过程,希望通过本节课的学习,学生的收获不仅仅在于问题本身。
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