新课标全国1卷理数.docx

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新课标全国1卷理数

2018年全国统一高考数学试卷（理科）

（新课标I）

、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分。

A.

（5分）（2018?

新课标

0B.

C.1

2

（5分）（2018?

新课标

】）设z=^+2i，则|z|=（）

I）已知集合A={x|x2-x-2>0}，则？

fA=（

-12}D.{x|x<-1}U{x|x>2}

{x|-1vXV2}B.{x|

（5分）（2018?

新课标I）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

A.

种植收入

种植收入

建设前经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是（）

建设后经济收入枸成比例

A.新农村建设后，

B.新农村建设后，

C.新农村建设后，

D.新农村建设后，

种植收入减少

其他收入增加了一倍以上

养殖收入增加了一倍

养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

4.（5分）（2018?

新课标I）记3为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+9,a1=2，贝Ua5=（

A.-12B.-10C.10D.12

5.（5分）（2018?

新课标I）设函数f（x）=x3+（a-1）x2+ax.若f（x）为奇函数，则曲线y=f

处的切线方程为（）

（x）在点（0,0）

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

6.（5分）（2018?

新课标I）在厶ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则II■=（

A.，—

4

B.

C.

M在正视图上最短路

A.2"；刁B.2：

门C.3

D.2

7.（5分）（2018?

新课标I）某圆柱的高为2，底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点

的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中,

径的长度为（）

A

8.（5分）（2018?

新课标I）设抛物线C:

y2=4x的焦点为F,过点（-2,0）且斜率为

两点，则15?

I-J=（）

A.5B.6C.7D.8

9.（5分）（2018?

新课标I）已知函数

a的取值范围是（）

f（x）

x<0

g（x）=f（x）+x+a.若g（x）存在2个零点，则

A.[-1,0）B.[0,+s）C.[-1,+s）D.[1,+s）

10.（5分）（2018?

新课标I）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形•此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.AABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分

记为n,其余部分记为川.在整个图形中随机取一点,

此点取自I,n,川的概率分别记为P1,P2,P3,贝V（

A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3

2

11.（5分）（2018?

新课标I）已知双曲线C:

「-『=1,O为坐标原点,

■w

条渐近线的交点分别为M,2若厶OMN为直角三角形，则|MN|=（

F为C的右焦点，过F的直线与C的两

）

A.

B.3

C.2-D.4

12.（5分）（2018?

新课标I）已知正方体的棱长为

1，每条棱所在直线与平面

a所成的角都相等，则a截此正

方体所得截面面积的最大值为（

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

（x-2y-2^0

13.（5分）（2018?

新课标I）若x,y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为.

[V<0

14.（5分）（2018?

新课标I）记Sn为数列｛an｝的前n项和.若S=2an+1，贝US6=.

15.（5分）（2018?

新课标I）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的

选法共有种.（用数字填写答案）

16.（5分）（2018?

新课标I）已知函数f（x）=2sinx+sin2x,贝Uf（x）的最小值是.

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17〜21题为必考题，每个试题考生都

必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

共60分。

17.（12分）（2018?

新课标I）在平面四边形ABCD中，/ADC=90°,/A=45°AB=2,BD=5.

（1）求cos/ADB;

（2）若DC=2:

:

求BC.

18.（12分）（2018?

新课标I）如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把厶DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF丄BF.

（1）证明：

平面PEF丄平面ABFD;

（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

19.（12分）（2018?

新课标I）设椭圆C:

上一+/=1的右焦点为F,过F的直线I与C交于A,B两点，点M的坐标为（2,0）.

（1）当I与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：

/OMA=/OMB.

20.（12分）（2018?

新课标I）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品

作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决

定是否对余下的所有产品作检验•设每件产品为不合格品的概率都为p（0vpv1）,且各件产品是否为不合格品

相互独立.

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p）,求f（p）的最大值点P0.

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以

（1）中确定的P0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

21.（12分）（2018?

新课标I）已知函数f（x）丄-x+alnx.

（1）讨论f（x）的单调性；

J-f（jc2）

（2）若f（x）存在两个极值点X1,x2,证明：

va-2.

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

［选修4-4:

坐标系与参数方程］（10分）

22.（10分）（2018?

新课标I）在直角坐标系xOy中，曲线G的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p+2pcos-3=0.

（1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.

［选修4-5:

不等式选讲］（10分）

23.（2018?

新课标I）已知f（x）=|x+1|-|ax-1|.

（1）当a=1时，求不等式f（x）>1的解集；

（2）若x€（0,1）时不等式f（x）>x成立，求a的取值范围.

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）

参考答案与试题解析

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C;2.B;3.A;4.B;5.D;6.A;7.B;8.D;9.C;10.A;11.B;12.A;

、填空题：

本题共

4小题，每小题5分，共20分。

13.6;14.-63;

15.16；16.二i

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

I1-；

1.（5分）（2018?

新课标I）设z^^+2i，则|z|=（）

1+1

A.0B.丄C.1D..■:

【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的摸.

【解答】解:

z=-一+2i=_~1~_+2i=-i+2i=i,

1+1（1-1）（1+1）

则|z|=1.

故选：

C.

2.（5分）（2018?

新课标I）已知集合A={x|x2-x-2>0}，则？

fA=（）

A.{x|-1vxv2}B.{x|-12}D.{x|x<-1}U{x|x>2}【分析】通过求解不等式，得到集合A,然后求解补集即可.

【解答】解：

集合A={x|x2-x-2>0},

可得A={x|x<-1或x>2},

则：

？

rA={x|-1wx<2}.

故选：

B.

3.（5分）（2018?

新课标I）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是（

）

建设后经济收入枸成比例

A.新农村建设后，种植收入减少

B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

【分析】设建设前经济收入为a,建设后经济收入为2a.通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果.

【解答】解：

设建设前经济收入为a,建设后经济收入为2a.

A项，种植收入37x2a-60%a=14%a>0,

故建设后，种植收入增加，故A项错误.

B项，建设后，其他收入为5%x2a=10%a,

建设前，其他收入为4%a,

故10%a-4%a=2.5>2,

故B项正确.

C项，建设后，养殖收入为30%x2a=60%a,

建设前，养殖收入为30%a,

故60%a-30%a=2,

故C项正确.

D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为

（30%+28%）x2a=58%x2a,

经济收入为2a,

故（58%x2a）-2a=58%>50%,

故D项正确.

因为是选择不正确的一项，

故选：

A.

4.（5分）（2018?

新课标I）记3为等差数列｛an｝的前n项和.若3S3=S2+9,ai=2，贝Ua5=（）

A.-12B.-10C.10D.12

【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程，能求出a5的值.

【解答】解：

•••Sn为等差数列｛an｝的前n项和，3S3=S2+S,a1=2,

「3X2qx3

••3冥（3門-H-;d）=a1+a1+d+4a1——d,

把a1=2，代入得d=-3

…a5=2+4x（—3）=—10.

故选：

B.

5.（5分）（2018?

新课标I）设函数f（x）=x3+（a-1）x2+ax.若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0,0）

处的切线方程为（）

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

【分析】利用函数的奇偶性求出a,求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程.

【解答】解：

函数f（x）=x3+（a-1）x2+ax,若f（x）为奇函数，

可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f'（x）=3x2+1,

曲线y=f（x）在点（0,0）处的切线的斜率为：

1,

则曲线y=f（x）在点（0,0）处的切线方程为：

y=x.故选：

D.

6.

A.丄AL—

B.琉掘C五+1

（5分）（2018?

新课标I）在厶ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则II■=（

4

【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量.

【解答】解：

在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点,-AltAB-116

2

4心泸,

故选：

A.

M在正视图上最短路

圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M至UN的路径中，最短路径的长度:

7.（5分）（2018?

新课标I）某圆柱的高为2，底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点

的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中,

径的长度为（）

2门C.3D.2

【分析】判断三视图对应的几何体的形状，禾U用侧面展开图，转化求解即可.

【解答】解：

由题意可知几何体是圆柱，底面周长16,高为：

2,

直观图以及侧面展开图如图：

=2!

'.

耳的直线与C交于M,N

故选：

B.

8.（5分）（2018?

新课标I）设抛物线C:

y2=4x的焦点为F,过点（-2,0）且斜率为

两点，则I"?

11=（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出M、N的坐标，然后求解向量的数量积即可.

【解答】解：

抛物线C:

y2=4x的焦点为F（1，0）,过点（-2,0）且斜率为丄的直线为：

3y=2x+4,

■3

联立直线与抛物线C:

y2=4x,消去x可得：

y2-6y+8=0,

解得yi=2,y2=4，不妨M（1,2）,N（4,4）,而=（Q,2），両二（艮4）-

则「戶（0,2）?

（3,4）=8.

故选：

D.

9.（5分）（2018?

新课标I）已知函数f（x）=…,g（x）=f（x）+x+a.若g（x）存在2个零点，则

a的取值范围是（）

A.[-1,0）B.[0,+s）C.[-1,+s）D.[1,+s）

【分析】由g（x）=0得f（x）=-x-a,分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可.

【解答】解：

由g（x）=0得f（x）=-x-a,

作出函数f（x）和y=-x-a的图象如图：

当直线y=-x-a的截距-a<1,即卩a>-1时，两个函数的图象都有2个交点,即函数g（x）存在2个零点，

故实数a的取值范围是[-1,+R）,故选：

C.

、

<<

—3—2—1O

V

-1

-2

7

\

10.（5分）（2018?

新课标I）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三

个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.AABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为n,其余部分记为川.在整个图形中随机取一点，此点取自I,n,川的概率分别记为p1,p2,p3,则（）

A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3

【分析】如图：

设BC=2r1,AB=2r2,AC=2r3，分别求出I,n,川所对应的面积，即可得到答案.

【解答】解：

如图：

设

BC=2n,AB=2r2,AC=2r3,

•••rSg2,

Si=丄

2

Sn=--Xn3^

2

x4r2r3=2r2r3,

Sn二二Xnr2—2r2r3,

2.

Xn22

n32

Xn22-丄

xnr+2r2r3=2r2r3,

Si=Sh,

•Pl=P2,

故选：

A.

2

11.（5分）（2018?

新课标I）已知双曲线C:

[.-『=1,O为坐标原点，

条渐近线的交点分别为M,2若厶OMN为直角三角形，则|MN|=（）

F为C的右焦点，过F的直线与C的两

A.

2

【分析】

B.3C.20D.4

【解答】

直线为:

则:

MN的坐标，然后求解|MN|.

-y2=1的渐近线方程为：

y=±』3口渐近线的夹角为：

60°不妨设过F（2,0）的

求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出

2

解：

双曲线C:

解得

解得：

N

则lMNl=|：

:

:

故选：

B.

12.（5分）（2018?

新课标I）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面

a所成的角都相等，则a截此正

方体所得截面面积的最大值为（）

A.干B.干C.亠D...

【分析】利用正方体棱的关系，判断平面大值.

【解答】解：

正方体的所有棱中，实际上是

a所成的角都相等的位置，然后求解

3组平行的棱，每条棱所在直线与平面

a截此正方体所得截面面积的最

a所成的角都相等，如图：

所

示的正六边形平行的平面，并且正六边形时,

a截此正方体所得截面面积的最大,

此时正六边形的边长',

2

a截此正方体所得截面最大值为:

故选：

A.

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

（

x^2y-2^0

，则z=3x+2y的最大值为6

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可.

【解答】解：

作出不等式组对应的平面区域如图：

*31

由z=3x+2y得y=-—x+二z,

22

平移直线y=-=x+=z,

22

由图象知当直线y=-；x+^z经过点A（2,0）时，直线的截距最大，此时z最大，

22

最大值为z=3X2=6,

故答案为：

6

14.（5分）（2018?

新课标I）记Sn为数列｛an｝的前n项和.若S=2an+1，贝U&=-63.

【分析】先根据数列的递推公式可得｛an｝是以-1为首项，以2为公比的等比数列，再根据求和公式计算即可.【解答】解：

Sn为数列｛an｝的前n项和，S=2an+1，①

当n=1时，ai=2ai+1，解得ai=-1,

当n》2时，Sn-1=2an-1+1，②，

由①-②可得an=2an-2an-1,

…an=2an-1,

二｛an｝是以-1为首项，以2为公比的等比数列，

故答案为：

-63

15.（5分）（2018?

新课标I）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有16种.（用数字填写答案）

【分析】方法一：

直接法，分类即可求出，

方法二：

间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数.

【解答】解：

方法一：

直接法，1女2男，有C21C42=12,2女1男，有C22C41=4

根据分类计数原理可得，共有12+4=16种，

方法二，间接法：

C63-C43=20-4=16种，

故答案为：

16

16.（5分）（2018?

新课标I）已知函数f（x）=2sinx+sin2x,贝Uf（x）的最小值是

【分析】由题意可得T=2n是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在［0,2n）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得.

【解答】解：

由题意可得T=2n是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，

故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在［0,2n）上的值域,

先来求该函数在［0,2n）上的极值点，

求导数可得f'（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2（2cos2x-1）=2（2cosx-1）（cosx+1）,

令f'（x）=0可解得cosx^或cosx=-1,

2

可得此时x=」^,n或5兀；

33

•••y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=,n或和边界点x=0中取到,

33

计算可得f（*）=卑3,f（n=0,f（弓-）=-耳3,f（0）=0,

•函数的最小值为-,

2

故答案为：

.；.

2

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17〜21题为必考题，每个试题考生都

必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

共60分。

17.（12分）（2018?

新课标I）在平面四边形

ABCD中，/ADC=90°,/A=45°AB=2,BD=5.

（1）求cos/ADB;

（2）若DC=2二，求BC.

【分析】

（1）由正弦定理得_^―—-■二，求出sin/ADB竺，由此能求出

sinZlWBsin455

（2）由/ADC=90，得cos/BDC=sinZADB=「，再由DC=2：

［‘弓，利用余弦定理能求出

cos/ADB;

BC.

【解答】解：

（1）v/ADC=90,/A=45,AB=2,BD=5.

A3:

=BD

営inAADB

sinZA

•••由正弦定理得:

2

=■

sinZADB

ELn45f'

，即

•sin/ADB=-亠-二,

5B

•/ABvADBv/A,

（2）•••/ADC=90,•cos/BDC=sin/ADB=,

5

•••DC=2.二

•BC=■'--4K■-：

-

=5.

18.（12分）（2018?

新课标I）如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF丄BF.

（1）证明：

平面PEF丄平面ABFD;

（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

DF为折痕把厶

【分析】

（1）利用正方形的性质可得BF垂直于面PEF,然后利用平面与平面垂直的判断定理证明即可

（2）利用等体积法可求出点P到面ABCD的距离，进而求出线面角.

【解答】

（1）证明：

由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，

nt1

则幅飞妙，BFfBU,

由于四边形ABCD为正方形，所以EF丄BC.

由于PF丄BF,EFAPF=F,贝UBF丄平面PEF.

又因为BF?

平面ABFD,所以：

平面PEF丄平面ABFD.

（2）在平面DEF中，过P作PH丄EF于点H,联结DH,

由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH±EF,

贝UPH丄面ABFD,故PH丄DH.

在三棱锥P-DEF中，可以利用等体积法求PH,

因为DE//BF且PF丄BF,

所以PF丄DE,

又因为△PDF^ACDF,

所以/FPD=ZFCD=90,

所以PF丄PD,

由于DEAPD=D，贝UPF丄平面PDE,

故Vf-pde==PF・弘e,

3°APDE

因为BF