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图论复习题
图论复习题
(二)图论复习题
一、选择题
1.设图G=
A.deg(v)=2∣E∣B.deg(v)=∣E∣
C.
[PPT23]D.
定理1图G=(V,E)中,所有点的次之和为边数的两倍
2.设无向图G的邻接矩阵为
则G的边数为(B).
A.6B.5C.4D.3
3、设完全图K
有n个结点(n≥2),m条边,当(C)时,K
中存在欧拉回路.
A.m为奇数B.n为偶数C.n为奇数D.m为偶数
解释:
K
每个结点的度都为n-1,所以若存在欧拉回路则n-1必为偶数。
n必为奇数。
4.欧拉回路是(B)
A.路径B.简单回路[PPT40]C.既是基本回路也是简单回路
D.既非基本回路也非简单回路
5.哈密尔顿回路是(C)
A.路径B.简单回路C.既是基本回路也是简单回路D.既非基本回路也非简单回路
[PPT40]:
哈密尔顿回路要求走遍所有的点,即是基本回路的点不重复,也可以是简单回路的边不重复。
6.设G是简单有向图,可达矩阵P(G)刻划下列关系中的是(C)
A、点与边B、边与点C、点与点D、边与边
7.下列哪一种图不一定是树(C)。
A.无简单回路的连通图 B.有n个顶点n-1条边的连通图
C.每对顶点间都有通路的图 D.连通但删去一条边便不连通的图
8.在有n个结点的连通图中,其边数(B)
A.最多有n-1条B.至少有n-1条C.最多有n条D.至少有n条
9.下列图为树的是(C)。
A、
B、
C、
D、
10、下面的图7-22是(C)。
A.完全图;B.平面图;C.哈密顿图;D.欧拉图。
二、填空题
1.无向完全图K6有15条边。
[6×(6-1)]/2=15
2.设连通无向图G有k个奇顶点,要使G变成欧拉图,在G中至少要
加k/2条边。
解:
∵任何图中的奇点的个数为偶数
(3)求出每个结点的度数;
解:
(1)
(2)
(3)、每个结点的度数分别为
V1→1、V2→2、V3→4、V4→3、V5→2
2.图G=
(1)画出G的图形;
(2)写出G的邻接矩阵;
(3)求出G权最小的生成树及其权值.
解:
(1)
(2)
(3)
G图最小生成树的权值为2+1+1+3=8。
四、问答题
1、设无向图G=
已知有6个3度顶点,其他顶点的度数均小于3。
问G中至少有多少个顶点?
解:
∵有6个3度顶点
∴它们的度数之和为6×3=18.
又∵所有点的度数之和为
,
∴度数均小于3的其余顶点的度数之和为24-18=6.
∴其余顶点的度数均为2时,G的顶点最少
∴其余顶点有6/2=3个
∴G中至少有6+3=9个顶点
2、判断下列图是否为欧拉图?
说明理由,存在是否哈密尔顿回路。
解:
(1)、是欧拉图。
理由:
欧拉图判断条件:
图中所有节度点均为偶数
(2)、不存在哈密尔顿回路。
理由:
哈密顿图是基本回路(点不能重复)。
哈密顿图遍历顶点。
3、下列各组数中,哪些能构成无向图①的度数列?
哪些能构成无向
简单图②的度数列?
(1)1,1,1,2,3①√②√
(2)2,2,2,2,2①√②√
(3)3,3,3,3①√②√
(4)1,2,3,4,5①
②
(5)1,3,3,3①√②
解:
1、构成图的度数列的条件:
度数(次)之和
为偶数,并且奇点有偶数个。
∵
(1)、
(2)、(3)、(4)、(5)的度数(次)之和分别为8、10、12、15、10
又∵奇点的个数分别为4、0、4、3、4
∴(4)不符合。
也不满足无向简单图。
∴
(1),
(2),(3),(5)都能构成无向图的度数列
2、(5)虽然能构成无向图的度数列,但不能构成无向简单图的度数列。
若G是无向简单图,设G中顶点为a、b、c、d且d(a)=1、d(b)=d(c)=d(d)=3显然,a只能与b、c、d其中一个顶点相邻,若设a与b相邻,则除b可以是3度顶点,c、d都不能是3度顶点,这是矛盾的。
所以(5)中的度数列不能构成不是无向简单图。
4、[1]哥尼斯堡的居民能否通过建一座新桥来找一条可接受的路线?
如果可以,该怎么作?
[2]哥尼斯堡的居民能否通过建两座新桥来找一条可接受的路线?
如果可以,该怎么作?
[3]哥尼斯堡的居民能否通过拆一座桥来找一条可接受的路线?
如果可以,该怎么作?
[4]哥尼斯堡的居民能否通过拆两座桥来找一条可接受的路线?
如果可以,该怎么作?
解:
∵七桥示意图的每个节点度为奇数
∴它不是欧拉图,不能遍历边
∵连通无向图G有n个奇点成为欧拉图的充要条件:
在G中至少要添加或删掉n/2条边
假设桥为图中的边,解答如下:
(1)、
(2)
∵图中有4个奇点
∴要使其变为欧拉回路,即可以在G中添加4/2=2条边
∴
(1)不满足条件,路线不被接受,
(2)的建议则被接受
(3)、(4)
∵图中有4个奇点
∴要使其变为欧拉回路,即可以在G中删掉4/2=2条边
∴(3)不满足条件,路线不被接受,(4)的建议则被接受
五.画图
•画出一个无向欧拉图,使它具有:
(1)偶数个顶点,偶数条边
;
(2)奇数个顶点,奇数条边;
(3)偶数个顶点,奇数条边;
(4)奇数个顶点,偶数条边
•
画出一个有向欧拉图,要求:
按数字顺序走遍所有的边,点可以重复。
蓝点是起点。
(1)偶数个顶点,偶数条边;
(2)奇数个顶点,奇数条边;
(3)偶数个顶点,奇数条边;
(4)奇数个顶点,偶数条边。
3.根据如下的相邻矩阵,画出它所对应的图G。
4、已知无向图G有12条边,6个3度顶点,其余顶点的
度数均小于3,问图G至少有几个顶点?
并画出符合
条件的图形?
解:
∵无向图G的|E|=12
∴图G的度数之和为
又∵6个3度顶点
∴这6个3度顶点的度数之和为6×3=18
∴度数均小于3的其余顶点的度数之和为24-18=6
当其余顶点的度数均为2时,图G的顶点最少
∴其余顶点数为6/2=3
∴图G至少有6+3=9个顶点。
5、在有7个结点的无向图G中,2度、3度、4度、5度
顶点的个数分别是1、3、2、1,求G的边数,试画
出满足条件的图形?
解:
由题可知,
7个顶点的度数之和为1×2+3×3+2×4+1×5=24
∵所有次之和为边数的两倍
∴G图的边数为24/2=12
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