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横截面与时间序列的相关异质二
横截面与时间序列的相关异质
(二)
――再论面板数据模型及其固定效应估计
刘学良陈琳
2012-9-2613:
56:
58来源:
《数量经济技术经济研究》(京)2011年12期第96〜114页
2.每个横截面的卩i和总的B的关系
给定横截面个体i,我们知道该横截面的时间序列回归的估计量包含在式
(10)中:
(10)
(H)
啊横截曲固定效碰的怙计配蝎也律穩式{11)中】
可以看到,每个截面的时序回归实际上是把估计横截面固定效应的样本按横截面分成n份,或者反过来说横截面固定效应的估计实际上是把每一个截面的时序回归的样本放到一起形成一个大样本,那么,每个截面的回归系数与固定
效应的回归系数B有什么样的关系呢?
我们通过假设只有一个回归元x来给出直接的例证,若只有一个x,则对于某截面i有:
血=[tr*—占¥g—云dr3—云y®—刃二
c的Cr“3)
var.OrJ
B的估计则勺-__
B=[€r*—xjXxt—石〉丁1g一云》'(片—y,)
Ji
*1
I1
^varrCxjJ
=才
因此[橘蔽面固定效应的估计址冥际上是每个橫截而做时何序列冋归的估讣堆的加权平均,权电每个截面的何归元的方差占总方羞的比例,因此冇:
ri
阳事0为®=1
1—1
如果现在有多于1个的回归元,并且回归元之间理论上是无关的,那么这时式(13)仍然成立,但如果回归元之间是相关的,问题就会复杂很多,不过如果使用偏回归方法,先排除其他变量的干扰,我们仍然可以得到类似的结论,我们自己所做的一些数值模拟和估计也显示了这点,细节不在这里补充。
由以上的讨
论,可得到推论2。
推论2横截面固定效应估计本质上是在做一个有线性约束的时间序列回归,
其估计结果等于对每一个横截面进行时序回归得到的系数的加权平均。
同样的结
论可以推广到时间固定效应的估计,即时间固定效应的估计结果等于每个时期横截面回归估计结果的加权平均。
现在我们知道图1和團2所示的例子中为件么使用混合皴应,横截面固定效应会出现明显的偏误,而时期蚯败应的结果则是正确的。
因为巫和冷由于非平稳性靱在时序上两考是相关的,但是因为跖是随机生成的』并且乂■和跖的生成过程是独立的,因此冷和跖在横魅面维度上是不相关的。
而便用混合回归不区分样本信息究竟来自哪个维蔑它合并了时间序列和橫诫面二》的样本信息曲行回归」因此导致总的ffi计产生向上的偏误(勖跖被遗漏了)「但混合回归的结果并不是偏误最严重的,因为至少在横截面方向上兀和电是无关的'欖截面固左敷应估计则有最严重的偏误,因为如前所谜『橫载面固定数应是做一个有线性约束的时序回归,其结果尊于每个截面的回归结果的加权平均,而这里口和民在时间序列上相关性明显,导或估计结果有很大偏误[虑肘a固定敷应产生了最准确的估计,因为田期固走效应做的是横截面方向的回归,而这里由于在横截面方向上焉和比罡无关的,因此印使比玦足也不会对禺的估计结果产生干扰,时期固定效应在以上我们所模拟的数擔中是最好的估计量③。
4
上面的例子中所做的模拟数据是一个有着大T小N的数据集,而面板数据一般是有着大N小T的数据集,因此我们的模拟可能会由于其特定的T和N而受到质疑,而实际上,理论结果并不受到样本尺寸的明显影响。
图3和图4展示了另一个有着相对大N和小T的模拟数据,其中N=6T=3。
毎期瞒祥横酸回样本点座统——埠个需戳向折有吋点的悴本点崔蚪
ffl3其他遗漏变■导致相关畀质的例子2
79
24召*
…•覗合效应料*确面固定敢应时间固宦魁直H+H取向同定蚊应
图4其他遗満变■导致相关异质例子2之回归结果
3.四个估计量之间的关系
前面我们说明了横截面固定效应和时间固定效应的本质,即横截面固定效应
估计得到的更多是样本时间维上的相关关系,时间固定效应估计得到的更多是样本横截面维度上的相关关系;而混合效应的本质则十分容易理解,它不区分这两
个维度,把所有样本当成一个维度来估计,合并了样本截面维和时间维上的信息;
而双向固定效应的估计量我们知道为
F面我们要继续深入问下一个问
•:
I:
-,一-、--I-.■):
?
-
?
题:
混合效应、截面固定效应、时间固定效应和双向固定效应之间的关系是什么?
同时,双向固定效应的本质又是什么?
(14)
(15)
(16)
(17)
(IS)
(⑼
假设混合效馭嘏面固定效歲、时耐固宦效应利双向固定效应的估计帖的结果分别为氐味令i®为有恋个元索的1向址,矩阵D与式(3冲的定义棚同貼订为一MxT的单也阵,令矩阵H为;
H=:
■
I
LJ」wrxr我们有残兎制造者姐阵如下:
Mt)»U.-r-CKD,叶"
H】W
而双向的是效应的怙计方程为:
y<=x\|l+ai-a;+Tf・卄£》
y=XP+ia+I>a+H7+e
«向固定效应对应的找差制世苦则为;
其中片片上分别为钊小和ig的投影矩阵"可以发现护:
M4st-Pn-PH+P.xMD+MH-M
进而用I
X1=XfM[>X+X,Mt|X*X(MA
因此ki.bUhh可£由如F估计得到;
虬二()CHy
b・OrSM0・WM|)y
=nwi)-1^Mny
b*=(X/M黑)・XM*y
由式(17),我们得到:
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(XP)b4=M4y
Mny+X*Mny-X*My
=(X#MijX)^*(Xf帕赵血・(十划X)b(
式(20》显示了各个佔计童之何的理饱关条,亠旦我『]有了另外三个怙卄量的结果,并有回归元X可以找到剩余的那个怙计1ltBP使没有y的存在。
弩价地,我们又右:
(X^.X)b,=(XfMi.Xjbj+fX1(
式(20)和式(21)的矩阵的使用町能难以祈出公式背后的宜观含义讦耳此与前面一样,假设现在F一个回归元和这样来给出上面结果的直观说明,假设只有一个回归兀,则式(20)可变为;
(xfM4X=(x1Mr#)bi+(x*Mhx)1>)—(x,M>x)b|(
同时用:
JiT
X^z=他打Mm=云一町+》=T俎一2-云+孑八nT(
1*11
啤r__
xMtiX—(MoxJ'Maz=》另Cr&一云)'=wS—站)*nT(
/Vfg=£另S—云尸=varCjfiij\)*nT
«w|1^1
・T
=2Sg—》=var(x(—x)•hT
i-tr-l
闪此,式(20)最终町以变为:
var(工比―Z|+詆》•=var(九―戈丿*6j+var(工岸—巧)*6)~var(斗一工)•%
而同时由或(閃我们得到:
卅昭二£恋承+£Mm-/Ma
即为;
var(工・~竝1工卩+加)-var(工■—工JH-var(工*一拓)—var(j\—云》
因此禺I:
文对Bl与B关系的讨论类仏我们发现”如式(27)和式⑵啲结果显示的’这里脚f宦效应估计址实际上是截面固定效龈时间固定效应和混合效应估计笊的加权平虬权就则姥各觥归元的方差除以双向闇定嫂应的回归元的方AM之和同样为4我们从前面的讨论知道混合效应丿区分时间序列和橫載面’而載面固宏效应本质上做的是讯序回归,时间固址效应做的JEMKFin.El向固定效应的本质是什么呢?
竇们上面展示了双向固建敷应实贩上是前三个怙计16的加权平均;如§板数据呈现我们所说的横截面和时W两个维度的相关异质性脚氐b、是明議不同的冶然b:
也会不|i那么h的结果则取决于的结果及艮权咆°比如如果样木数据的特性便得横斂潮维度上的解*■対被解释变戢的相关性相对时间维度更var<^-xf)菇的相对暨大■那么九就更可能当bl*即截面上的特征“
至于有多个变址的情况*与上文乩和P之间的关系讨论类似■问题就因为变址之问的相关变彳杂了些,如果回旧元之间是不柑关的,那么式(27)仍然成立,否则加权平均的权車就变底了矩阵,式〔和式《2D总是成立的而这吋式(27)不再成立「同时,注意到为正定矩阵,且自变量矩阵】然是満秋的込因此粮据正定矩阵的性质,卅M.XX弘XXMkXKM4X均为iE定矩阵叫正定矩阵在矢运算时的作用就像普通运畀时的一个正实数口
总之,我们有推论3
推论3混合效应、截面固定效应、时期固定效应以及双向固定效应的估计量有式(20)和式(21)所示的理论关系,双向固定效应估计量可以表示为其他三个估计量的(正定)矩阵加权平均形式,在只有一个自变量时,关系可简化为式
(27),权重为相应估计量的自变量方差之比。
、所谓的不可观测的异质性真的是不可观测的吗?
另一个遗漏变量的例子
以上讨论的面板数据中横截面和时间序列的相关异质性是由于另外一个遗
漏变量斷导致的,下面我们再看另外一个有着截面和时序异质的例子,见图5
图5的虚线和实线与图1有着同样的含义,与图1不同的是,这里我们模拟
的数据令x与y在截面维度上是正相关的(虚线),而在时间维度两者是负相关
的(实线)。
只看样本散点图,可能直接使用横截面固定效应和双向固定是合理
的选择,然而,直接这样做仍然是有问题的。
数据生成过程如下:
耳心十岛巧+民(%—云〕卡务(:
其中,云是斗在■时期上的所有截面样木的沟值■而(斗一E)足I期样本的均值离差E这里0是由一个AR过程生成的■叭仍皑独立同分布的正态分布很差项.R*p兀式(30)还町以被等价地变〕处=口+色九+(戲―鹿)町+令=住+岛旳+畢一向〉《斗一云》+%(:
上面的数据生成过程导致了如图5所显示的横截面和时序相关异质的现象,我们还可以有其他类似数据生成过程来产生这种异质性,如式(32)⑦。
恥=心+訪工・4忆(g—jrJ十窃(32)
或者:
y尸風迅t+金(盂*—召)+他工i+直(xt—Xj)+e*
=[才—(昌+R左]十《0|+凸)£+(駕+吕〉£事華+仪》(头*-云~玄+如)+务
读者可能对我们的数据生成过程稍感疑惑,实际上,我们的数据生成过程有很强的经济学意义,体现了一种变量自身所有的横截面与时间序列上的效应不一致。
下面用直观的例子讨论这种现象,尤其是式(30)和式(31)所示的数据生成过程出现的可能原因和经济含义。
1.相对性
找们借用物fl!
学中的Relativity个词*在社会和经济的宾际牛活中,一切都是相对的二是相对的•快世是相对的。
火多数时候.人们制泄特宦的社会和经济决策时,并个是基于他们的状态百对水%出如他们的绝对收人■而是基于他们左自己所在社会中的相对位i叽例如,我们要调査人们£人与他们对收人再分配政策的态用\假设某政府聲实行关于增加昭进的个人收人所彳U税來“劫官济贫政策或袪案JF对这种袪案的投票进行民意投柴调青'儿可设为第i个人在t时期投赞成票的概舉仙灯接令y厂I如果i投弊成攀。
这时人们的选择不是依検于人们的绝对收人水平、而是依赖于其收入彳所在社会中的位2L如果某人的收入低于比如当期所在社会居民收人的均值,那么他可能克倾闻于赞反之则反对。
因此我们顶期在式(30冲.4应为仍未亂然而点会的平均收入云随着时“艮詁丄会的环境.收人分配的狀况*ia及公众舆论规念可能都会随养发生变化,Riun土会富裕程度云汀高‘人幻这时可能更血注丽社会公平,那么富人可能不会如过去那样反对财雷的再分IE*轉个社強对*再分加的反对不再强烈,因此我们或许町以预期旳为正迅闵此「的结果町能取决于特定的历史阶另外一个明显的例于是人们的消酸行为。
根据边际消费傾向递减法则,随看吹人增加"MPC应该递减耐凯恩斯提出的这牛规律主要是体现在橫勰面上的人们的消费行为&人们决定□己的消馥倾向,很'度上井不殖取决Tfla收人的绝对水平■而是取决于自己收入在社会中的位置描当我们考虑时间拐陀据生命周期假说和水久收入假说点会的消费倾向在妆期应是稳定的個此我们可以预期乱为负価的结果未知叫
2.集体行为(利益)与个体行为(利益)的不一致
在一个有腐爭个参与者的社会中,集体的行为(利益)可能与社会中的个体行为(利益)是不一致至足背离的•这种现象很常见,一个主要的于外部性。
UT搭便车柝为例;有一个有年君工人的工工人们一起劳作生产严品•收人则由工人均分前工人的努力劳作冇正的外部性,其努力工作会提髙」工人的福利出如果人人努力工作,那么总收益自然疑大化,燃而如果苴他人努力工作而幕人偷懒{些车J那么偷懒的人可能会获铝翌高的效用Q定賃★为个人获得的效用必为工人忖出的劳动那么扌可以预期式(和)中Bl为正■因为总的劳动投入増加整个集悴的利益、而31为负,因为劳动使人疲累低人的效用「搭便车堆-亍集怵行为与个体行为不一致可能的觅要原因。
再举•个费易自由化的鬪某些国家和地区的鬣拐口由化奄兀疑冋理论上能够使得大家总的经济表现和閘利提?
5。
然而严其f地区降低他们的贸易壁包开叙本地市场时,某个地匮却适度的采用某阻保护样的贸易畋策,那么这,区相对于其他地区可能会通过扩XJ1U和降低进口来快得更好的经济哄现和更好的利益▽内此,令農某地费易开敵度的度量指桶,升为该地区的经济表现”预期A为走而pg为负是合B!
的"具他例子t復多,比如企业的污染向题*令心为单个企业排污量•云则代表当地总体污染水平、由于排污的负夕性,鮎和氐也很容易出现异质的现忍
3.自选择问题
自选择问题同样能够导致横截面和时序相关关系的不一致。
有一个经典的关
于自选择问题的案例,即医疗和健康的问题。
去医院看病预期会提高人们的身体健康水平,而一个很自然的考察医院治疗效果的经验方法是比较去医院多的人与去医院少的人的健康水平,然而,如Angrist和Pischke(2008)所示,截面的比较反而表明去医院治疗意味着更差的健康水平,这意味着医院的治疗使人们的
健康水平降低么?
当然不是。
这个问题就有着自选择和反向因果的原因,去医院
看病多的人可能本来就有着较差的身体素质,这导致即使接受治疗他们也会比其
他的人身体差,所以在横截面上看,医院治疗与更差的身体状况相序方向上看,医院的治疗还是能够提高人们的身体状况的。
如果
关,然而在时亦能够较好的
度量个体的本身内在的身体素质,那么我们可以预期式(32)中的
氐为负,而*
为正。
这里我们只拿自选择问题做一个简单的例子来说明可能横截面和时序的相关异质性,实际中处理自选择问题一般采用随机分配、固定效应或DID方法。
上面我们讨论了数蝎生成过程背后的三种原因叭实际上,如果铢=即个休的效用和总体白应•或書说在时序上和橫截面上鬧者的蝕应是一致的•那么我们就退回到警通的面板模型丫…气B;乳的悄况鼻_
看式(30)和式(32)*E刑云实际上类似于时间固定效应和截面阖定效应°一般的面板模型固定去方法,比如时间囲定嫂应:
y产口+叫+山4£.(
如果理实的情况晶如式(30)那样■那么固宦效应就会包含»云前效应*然而+股有必月用式(33}进行估计,闵为它放弃r许多有用的信息’仅能得到仏的怙I匕血不能展示出我们所说的GX,-云所找有的不耐效应,即这时传统的面板模则设定里所谓的不町观测的异质性口井不是貢的弓不可观测的。
当戍实的數据过程为式(篦)时也一样,云的引人可捉所有的所谓建质性二仅当模型「有口疋的不可观雋的只质性时,比如真实的数惦生成过程为:
处=/+X十检卫—工」+缶(
这时,时间固定效应才是需要的。
同样的结论可以推广到截面固定效应和双向固定效应的情况。
因此,我们有推论4:
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- 横截面 时间 序列 相关 异质二