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货币时间价值专题
时间价值与证券估价
学习目标
◆理解货币时间价值在财务价值管理中的意义。
◆掌握复利、终值、现值、年金的概念及其等值运算。
◆理解名义利率和实际利率。
◆理解几种价值的概念。
◆掌握债券的估价方法。
◆掌握优先股和普通股的估价方法。
◆掌握债券收益率和股票收益率的计算方法。
引言
本章主要内容包括货币时间价值的概念、复利现金流量的计量及其等值运算、基于现金流量贴现原理的债券与股票估价等,这部分内容是进一步学习公司财务管理中其他关于资产估价问题的基础。
其中,货币时间价值、复利现金流量的计量及其等值运算是公司财务管理的基本原理与方法,而基于现金流量贴现原理的债券与股票估价则是这一基本方法的一个具体应用,用这种方法计算的证券内在价值是对现实市场价值进行判断的基础。
本章主要分析三个方面的问题:
一是为什么在不同时点发生的数量相同的资金现金流量的价值会不同;
二是如何实现一笔资金现金流量在不同时点之间进行折算;
三是如何利用现金流量贴现原理对债券和股票的价值进行测算,这个价值与债券及股票的市场价值之间是什么关系。
对上述问题的分析有助于理解并解决公司财务中关于资产估价一系列具体问题,如投资项目评价、企业价值估价、融资租赁等实际问题。
本章的内容结构安排如下:
第1节“货币时间价值”介绍了货币时间价值的本质与现金流量的计量及等值运算方法;
第2节“债券估价”讨论了如何根据债券的市场机会报酬率和债券利息及本金现金流量计算债券的现时价值;
第3节“股票估价”分析了基于股票的市场机会报酬率和股利现金流量计算股票的现时价值的基本方法,即股利贴现模型,以及该方法的变通应用,即固定增长模型、零增长模型、分阶段增长模型。
本章的内容框架如图1所示。
图1本章内容结构框架图
1货币时间价值
本节讨论的主要问题是货币时间价值的本质与现金流量的计量及等值运算方法。
同样金额现金流量在不同时点价值不同的原因就在于货币时间价值的存在,对现金流量进行计量的方式主要有现值、终值及年金等形式,计算现金流量在不同时点的价值的方法是等值运算,即运用现值和终值公式计算现金流量在其收付时点与任何另一时点之间的等值价值转换。
1.1货币时间价值的含义
货币时间价值,是指货币经过一定时间的投资和再投资所增加的价值,也称为资金的时间价值。
货币之所以具有时间价值,其核心思想主要反映了货币作为一种特殊商品的稀缺性特点,它体现了是否使用货币的机会成本,如当选择将一笔资金存入银行时,同时就意味着放弃了用这笔钱去购买股票等许多其他获得收益的机会。
从量的规定来看,资金在运用过程中所增加的价值并不全部是资金的时间价值,这其中还包括投资者因承担投资风险和通货膨胀而获得的补偿,因此,所谓的时间价值应当是在没有风险和没有通货膨胀条件下的社会平均资金收益率。
货币时间价值有两种表现形式:
一种是用绝对数值表示,即资金价值的绝对增加额;另一种是用相对数值来表示,即资金的利润率。
比较而言,后一种形式便于进行比较,是实践中常用的表示方法。
1.2终值与现值
货币时间价值的表现形式,主要有终值和现值两种。
其中,终值是指现在投入的资金在未来某个时点的价值,而现值则是未来某个时点的价值折算到现在时点上而相当于现在投入的资金量。
现值与终值是相对的,现值可以由终值扣除货币时间价值的因素后求得,这种由终值求得现值的方法称为贴现(或贴现)法。
终值和现值的计量有两种模式:
单利模式和复利模式。
单利是指只对借(贷)的原始金额或本金支付(收取)的利息,而不将以前计息期产生的利息累加到本金中再次计算利息的一种计息方法,即利息不再生息的一种计量方法。
复利则是不仅借(贷)的本金需要支付(收取)利息,而且本金所产生的利息也要在后续各期计息,即通常所说的“利滚利”。
复利这种利息计算方法在财务管理的价值分析中非常重要,财务管理中的投资、筹资等决策都建立在复利的基础之上,其原因就在于企业所进行的投资、筹资决策都是在连续不断的进行的,其前期所产生的现金流量要重新投入到企业后续经营活动中进行循环运动,因此,在进行财务决策时,有必要考虑复利的概念。
下面对复利模式下的终值和现值计算进行介绍。
1.复利终值计算
复利的终值是指现在的一笔资金按复利计算的未来价值,其计算公式为:
其中,(1+i)n称为复利终值系数,可用符号(F/P,i,n)或者FVIFi,n表示。
对于复利终值系数,可通过查“复利终值系数表”(见附录)或通过计算器计算得到。
“复利终值系数表”的第一行是利率i,第一列是计息期数n,相应的(1+i)n的值在其纵横相交处。
【例1】假设现将1000元存入银行,存款按复利利率8%计息,9年后共计可以得到多少钱?
根据上述已知现值求终值的计算公式,计算如下:
72法则——一种估计复利估价的近似计算方法
在给定复利利率下,一笔资金经过多长时间,其价值可以翻一番?
基于复利计算法使资金翻倍的一个快捷方法就是利用“72法则”,即用72除以用于分析的年复利利率,可得到使资金的价值翻一倍的年数。
例如,复利利率为6%,则资金价值增长一倍所需时间为72/6%=12(年)。
对于我们遇到的大部分利率,“72法则”都可以计算出比较准确的使资金倍增所需要的投资期数,但是不能忽略的一点是使用该法则计算的结果只是估计值,与准确值之间会有一定的偏差。
在实际应用中,尽管存在着准确性的问题,但是由于使用该法则能够迅速得出资金倍增问题的估计值,故其仍能为近似计算提供很大程度上的便利。
2.复利现值计算
复利现值是复利终值的对应概念,是指未来一定期间的一笔资金按复利计算的现在价值。
由复利终值的计算公式
可得:
式中,(1+i)-n是把终值折算为现值的系数,称为复利现值系数,用符号(P/F,i,n)或者PVIFi,n表示,该系数可通过查“复利现值系数表”(见附录)或通过计算器计算取得。
【例2】假设想在9年后得到本息和1000元,存款按复利利率8%计息,则现在应存入银行多少钱?
根据上述已知终值求现值的计算公式,
1.3年金
前面介绍的终值和现值都是在某一时点发生的一次性货币收付金额,它们可以说是货币时间价值计量的基础,但在财务管理实务中也出现了很多连续发生的相等或不相等金额的货币收付,我们把在一定期限内一系列相等金额的收付款项叫做年金。
年金在Et常生活中十分常见,例如,分期偿还贷款、分期付款赊购、发放养老金等,都是年金现金流量的形式。
年金现金流量具有的四个特征是:
等额,即现金流量大小相等;定期,即现金流量时间间隔相同;同向,即现金流量方向相同;利率相同,即现金流量持续期内利率保持不变。
只有这四个特点同时具备,才能称其为年金。
按照现金流量发生的时间起点的不同,年金可分为普通年金、先付年金和递延年金。
如果一种年金是永续发生的,则又称为永续年金。
普通年金是年金的基础形式,普通年金以外的各种形式的年金都可以看做是它的转化形式。
1.普通年金
普通年金是指在每期期末发生的等额现金流量,又称为后付年金。
假设年金为A,计息期数为n,则普通年金的形式如图2所示。
图2普通年金示意图
(1)普通年金终值的计算
普通年金终值是指一定时期内每期期末等额收付现金流量的复利终值之和,如图3所示。
图3普通年金终值示意图
从图3可知普通年金现金流量的终值就是各期等额现金流量的复利终值之和,n期年金终值为:
(1)
(1)式两边同时乘以(1+i),可得:
(2)
(2)式-
(1)式,得:
是普通年金现金流量为1元、利率为i、持续n期的年金终值,又称年金终值系数,可用符号(F/A,i,n)或者FVIFAi,n表示,该系数可通过查“年金终值系数表”(见附录)取得。
【例3】假设每年年末等额存入银行10000元,存款按复利利率8%计息,6年后得到本息之和多少?
根据已知年金求终值的计算公式,得:
(2)偿债基金的计算(年金求终值的逆运算)
偿债基金是指为使年金终值达到给定金额,每年年末应支付或收到的等额数值,即已知终值反算年金。
根据普通年金终值的计算公式
推导可知:
其中,
为年金终值系数的倒数,称为“偿债基金系数”,计作(A/F,i,n),它可以把普通年金终值折算为每年需要支付的金额。
偿债基金系数可以通过“年金终值系数表”中数值的倒数得到,也可以直接用计算器计算得出。
【例4】某企业5年后有一笔数额为100万元的到期借款,为此设置偿债基金,假设利率为8%,企业每年年末需要存入银行多少钱,才能到期用本利和偿清借款?
根据已知终值求年金的计算公式,得:
因此,在复利利率为8%时,每年需存入17.05万元,5年后才可以还清借款。
有一种折旧方法,称为偿债基金法,该方法认为在若干年后购置设备,并不需要每年提存设备原值与使用年限的算术平均数作为折旧额,由于利息不断增加,每年只需提存较少的数额即按偿债基金提取折旧,即可在使用期满时得到设备原值。
偿债基金法下的年折旧额计算,就是根据偿债基金系数乘以固定资产原值计算出来的。
(3)普通年金现值的计算
普通年金现值是指将发生在未来每期期末等额现金流量折算到现在时点的价值,如图4所示。
图4普通年金现值示意图
计算普通年金现值的一般公式如下:
(1)
(1)式两边同时乘以(1+i),得
(2)
(2)式-
(1)式,得:
整理得:
其中,
为年金现值系数,计作(P/A,i,n)或者PVIFAi,n,可以通过查“年金现值系数表”(见附录)得到。
【例5】假设今后3年每年年末需要支付1000元,按复利利率8%计算,则相当于现在一次性支付多少钱?
根据已知年金求现值的计算公式,得:
(4)投资回收系数的计算(年金求现值的逆运算)
投资回收系数是指为使累计年金达到现在的既定金额,每年年末应收付的年金数额,即已知现值反算年金。
根据普通年金现值的计算公式
推导可知:
其中,
是普通年金现值系数的倒数,称为投资回收系数,计作(A/P,i,n),其数值可以通过“年金现值系数表”中数值的倒数得到,或直接用计算器计算得出。
【例6】某企业预向银行借款50万元购置一台生产设备,该设备预计可使用3年,假设复利利率为8%,则该设备每年至少给企业带来多少收益才是可行的?
根据已知现值求年金的计算公式,得:
因此,该设备每年至少要给企业带来19.40万元的收益,该项投资才是可行的。
2.先付年金
先付年金是指在每期期初发生的等额现金流量,又称预付年金或即付年金,如图5所示。
图5先付年金示意图
由于先付年金现金流量在期初发生,实际上只是比普通年金提前了一期,因此计算其终值和现值较为简单。
(1)先付年金终值的计算
由于先付年金与普通年金相比只是将各期期末发生的现金流量提前到各期期初,因此计算其终值只要比普通年金终值多计算一个期间的现金流量即可。
其计算公式如下:
其中,
是先付年金终值系数,或称为1元的先付年金终值。
它与普通年金终值系数相比,期数加1,系数减1,可计作[(F/A,i,n+1)-1]或者[FVIFAi,n+1-1]。
在计算时可以利用“普通年金终值系数表”查得(n+1)期的值,再减去1得到1元先付年金的终值系数。
【例7】假设每年年初等额存入银行10000元,存款按复利利率8%计息,6年后得到本息之和是多少?
在例3中,普通年金的终值为73359元,则先付年金的终值为:
或者。
根据先付年金已知年金求现值的计算公式,得:
(2)先付年金现值计算
先付年金比普通年金提前一期发生,即在各期期初发生,因此计算其现值只要比普通年金现值少计算一个期间即可。
将普通年金的现值乘以(1+i),即相当于减少了1个期间的贴现期。
其计算公式如下:
其中,
是先付年金现值系数,或称为1元的先付年金现值。
它与普通年金现值系数相比,期数减1,系数加1,可计作[(P/A,i,n-1)+1]或者[PVIFAi,n-1+1]。
在计算时可以利用“普通年金现值系数表”查得(n-1)期的值,再加1得到1元先付年金的现值系数。
【例8】假设今后3年每年年初需要支付l000元,按复利利率8%计算,则相当于现在一次性支付多少钱?
例5中,普通年金的现值为2577.1元,则先付年金的现值为:
或者,根据先付年金已知年金求终值的计算公式,得:
3.递延年金
递延年金是指距现在若干期以后发生的每期期末发生的等额现金流量,递延年金的形式如图6所示。
一般用m表示递延期数,n表示实际发生年金的期数。
图6递延年金示意图
(1)递延年金终值的计算
递延年金的终值计算方法和普通年金终值类似:
式中n——实际发生年金的期数。
(2)递延年金现值的计算
递延年金现值的计算方法有两种:
方法一:
把递延年金视为其普通年金,求出递延期末的现值,然后再将此现值再次贴现到第一期期初,如图7所示。
图7递延年金现值示意图
即:
方法二:
假设递延期中也进行支付,先求出(m+n)期的年金现值,然后,扣除实际并未进行支付的递延期(m)的年金现值,即可得出最终结果,如图8所示。
图8递延年金现值示意图
即:
4.永续年金
永续年金是指无期限等额收付的特种年金,即期限趋于无穷的普通年金。
在实际生活中,无期限债券、优先股股息、奖励基金等都属于永续年金。
由于永续年金没有终止的时间,因此其终值趋于无穷大,所以我们只需计算其现值。
永续年金现值可以通过普通年金现值的计算公式导出,普通年金现值计算公式如下:
当n∞时,(1+i)-n的极限为0,故上式可以写为:
1.4复合现金流量的等值运算
现实生活中,有时现金流量的分布形式是复合形式的,并不呈现严格的规律性,对这类复合现金流量,有时可以视为由几部分现金流量叠加而成。
下面通过一个例子来介绍这种混合现金流量问题的解题方法。
【例9】设有如图9所示的一组现金流量图,若在复利8%的贴现率下,如何计算其现值总额呢?
图9现金流量示意图
方法一:
分别逐项计算单个现金流量的现值,再对各项现值进行求和运算,如图10所示,其计算公式如下:
图10现金流量计算方法示意图
方法二:
采用组合的方法将上述现金流量分解为年金组合或与单个现金流量组合的叠加,并求每组现金流量的现值。
下面将介绍三种组合叠加方法。
第一种组合叠加,如图11所示。
图11现金流量计算方法示意图
第二种组合叠加,如图12所示。
图12现金流量计算方法示意图
第三种组合叠加,如图13所示。
图13现金流量计算方法示意图
上面所介绍的方法一是最普遍的逐个现金流量贴现再求和的方法,可以解决任何混合现金流量的现值问题,但这种方法在计算中贴现次数最多。
方法二通过分解找出年金、单个复利的组合,从而简化了计算。
例9中只介绍了三种组合叠加方法,实际上解决混合现金流量问题有很多变通的组合叠加方法,最后计算的结果都是相同的,读者可以自己进行尝试。
除了上面所讲的混合现金流量,本章的附录部分还对另外两种比较常见的序列现金流量(等差序列、等比序列现金流量)进行了介绍。
1.5复利期间与实际利率
终值和现值通常是按年来进行计算,但在很多时候会遇到复利计息期短于1年的情况,如果1年中计息m次,则第n年年末终值的计算公式为:
式中n——年数;
m——1年中复利计息的次数;
r——年利率;
Fn——n年后的终值;
P——现金流量的现值。
基于不同的计息期,相同的投资可能会提供不同的回报。
表1列示了1年内多个计息期的情况下,1元钱1年末的终值,假设年复利利率为12%。
表11年内多次复利1元复利终值计算表
由上表可以看出,随着复利期间从1年缩短到1天,复利次数从1次增加到365次,1元现金的终值从1.12元增加到1.1275元,由此可知复利期间越短,复利的次数越多,对投资者越有利,这主要是由复利的特点决定的,复利的次数越多,投资者赚取利息的次数也就会越多。
当利息在1年内要复利多于1次时,给出的年利率叫做名义年利率,而只有在每年只复利一次时名义利率才等于实际年利率。
根据定义,有:
式中r——名义年利率;
m——每年计息期数;
i——实际年利率。
因此,给定名义年利率r和计息期数m时,实际年利率的计算公式为:
【例10】假设将100万元存入银行,存款按复利利率8%计息,存款期为3年,则每年复利一次,每季度复利一次的终值备是多少?
实际年利率为多少?
每年复利一次的终值为:
每季度复利一次的终值为:
实际年利率为:
从上例的计算结果可知,当1年复利次数超过一次时,实际年利率会比名义年利率高,复利次数越多,货币的时间价值也就越大。
实际上,有时利息是永续计算的,当年计息次数m趋向于无穷时,就是永续复利,此时式中的
趋向于ern,其中,e近似等于2.71828。
因而,在名义年利率为r,现金流量现值为P,永续复利下第n年年末的终值为:
在例10中,若存款期、名义年利率均保持不变,则永续复利下第3年年末的终值为:
通过与例10的比较可知,在既定的名义年利率下,第n年末的终值在永续复利下达到最大值。
1.6贷款的分期偿还
许多贷款,特别是长期的巨额贷款,债权人为了减少风险,通常要求债务人分期偿还,例如在抵押贷款、消费贷款和特种商业贷款中,分期偿付是很普遍的。
这种贷款每期的偿付额相等,偿付额中既有利息,也有本金。
对于每期的偿付额,分析中通常需要分离本金和利息,即通常所说的贷款的分摊。
其原因就在于对于债务人来说,利息的支付可以抵减应税收入,本金的偿还则无法抵减。
对于债权人来说,则恰恰相反,利息收入是应纳税收入,而本金的回收则不需要纳税。
下面就来介绍贷款分期偿付问题的分析方法。
假设期初贷款额为Pn,期限为n年,年利率为i,每年复利一次,每次等额偿还,年偿还额为R,则利用前面介绍的投资回收系数公式,则可求得年等额偿还金额:
然后,再逐年分析利息的支付和本金的偿还:
第1年末,偿还额为R,利息支付额为i·Pn,于是本金偿还额为R-i·Pn;第2年初(即第1年末)未偿还的本金额为Pn-(R-i·Pn)。
我们再来考察一下,上述未偿还的本金额还意味着什么。
根据普通年金的现值公式:
代入上述第2年初未偿还的本金计算式,
【例11】有一贷款额为2.2万元的贷款,合同规定年利率为12%,要求在6年内还清,求每年的还本付息额,支付的本金额及利息额。
首先计算每年的还本付息额:
然后将每年的还本付息额进行分离,其分摊情况如表2所示。
表2贷款的分摊(单位:
元)
通过对表2的分析可知,利息的支付额和本金的偿还额在整个偿债期间是变化的,在早期对利息的支付在该期的还本付息额中占相当大的一部分。
以后,随着未偿还贷款余额的减少,利息的支付所占的比重也就逐渐缩小,相反,对本金的偿还的比重逐渐增大。
2债券估价
本节讨论的主要问题是根据债券的市场机会报酬率和债券利息及本金现金流量计算债券的现时价值,更一般的问题是如何计算一项资产的现时价值。
现时价值计算使用的方法是现金流量贴现法,即把该项资产全部未来预期现金流量按照该项资产的市场平均报酬率贴现后的现值。
对于债券估价而言,即是将债券的全部利息及本金现金流量按照债券的市场报酬率贴现。
2.1证券估价的基本原理
1.价值的含义
证券估价就是对证券的价值进行合理的评定。
下面对主要的价值含义及其应用领域加以介绍。
(1)清算价值与持续经营价值
清算价值是指一项或一组资产从正在运营的组织中分离出来单独出售所能获得的货币价值。
这种价值与企业持续经营价值相对应。
持续经营价值是指企业作为一个正在持续运营的组织整体出售时所能获得的货币价值。
通常情况下这两个价值是不相等的。
(2)账面价值与市场价值
资产的账面价值是指资产的入账价值,在现行会计模式下,资产通常按历史成本入账。
实际上,资产的账面价值就是企业资产负债表上按历史成本列示的各项资产的数值。
对于固定资产而言,资产的账面价值等于资产的原始成本减去累计折旧。
资产的市场价值是指该项资产或类似资产在公开市场上进行交易时的市场价格或交易价格,这通常是市场上买卖双方进行竞价后产生的双方均能接受的价格。
(3)市场价值与内在价值
资产或证券的内在价值是在对所有影响价值的因素,如收益、现金流量、预期等都正确估价后,该资产或证券应得的价值。
如果证券市场是有效的,信息是完全披露的,证券的内在价值和它的市场价值应该相等,如果两者不相等,投资者的套利行为将会促使其市场价值向其内在价值回归。
根据资产或证券的内在价值与市场价值的关系,投资者可以判断某种资产或证券价值究竟是被高估(内在价值低于市场价值)还是被低估(内在价值高于市场价值)了,以此为基础做出投资或筹资决策。
本节所讨论的证券估价指的是其内在价值。
2.证券估价的过程
资产或证券的内在价值是投资者获得的未来预期现金流量按投资者要求的必要报酬率在一定期间内贴现的现值。
因此,资产或证券的价值受以下三个因素影响:
一是未来各期预期现金流量数值;二是未来预期现金流量的持续时间;三是投资者进行该项投资所要求的必要报酬率:
该收益率必须能够补偿投资者认为获取该项资产未来预期现金流量的风险。
附录A
等差序列现金流量
等差序列现金流量也是一种常见的现金流量形式,其现金流量状况如图A-1所示。
视每期等值递增额G为正负,又可分为等差递增现金流量和等差递减现金流量。
图A-1等差序列现金流量
A.1等差序列现金流量终值公式
该等差序列的终值可以看做是单个现金流量终值的合计。
即:
(1)
(2)
(3)
因此,
(4)
A.2等差序列现值公式
(5)
A.3等差序列年金公式
该公式由等差序列现值公式乘以投资回收系数而得:
(6)
【例A-1】某公司发行的股票目前市场价值每股100元,每股股利10元,预计每股股利每年增加2元。
假设投资者要求的必要报酬率为15%,则现在买入该公司的股票是否合算?
容易证明:
故可以得到:
因为155.56>100,所以现在买入是合算的。
附录B
等比序列现金流量
所谓的等比序列现金流量是指现金流量以一个固定的百分比,逐年增加,其现金流量状况如图B-1所示。
图B-1等比序列现金流量
由于
从而
(7)
(8)
若将(7)式和(8)式分别乘以复利终值系数,则可以得到等比序列现金流量的终值公式;将(7)式和(8)式分别乘以投资回收系数,即可得到等比序列现金流量的年金公式。
【例B-1】某企业需要扩大生产规模,若租用某厂房,目前每年的租金为23000元,预计租金水平在今后的10年内将以每年5%的速度上涨。
若购买该厂房,则需要一次性支付20万元,但预期10年后该厂房仍可以以20万元的价格卖出。
假设贴现率为15%,哪一种决策更为经济?
租用厂房:
购买厂房:
按照费用现值最小原则可知,租用该厂房比较经济。
思考题
1.什么是货币时间价值?
2.为什么在考虑货币时间价值的现金流量计算中使用复利概念进行计算?
3.为什么说现值与终值是相对的?
4.年金现金流量有哪几个特征?
年金主要分哪几类?
5.进行现金流量等值运算需要哪几个要素,它们之间的数量对应关系是什么?
6.已知名义年利率,当复利期间短于1年的时间(半年、季度、月、天),实际年利率将会呈现怎样的变化趋势,试解释其原因。
7.说明基于现金流量贴现模型计算一只证券、股票或一项资产价值的一般性表述是什么?
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