第六章刚体的基本运动习题解答.docx
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第六章刚体的基本运动习题解答
第六章刚体的基本运动习题解答
习题
6-1杆O1A与O2B长度相等且相互平行,在其上铰接一三角形板ABC,尺寸如图6-16所示。
图示瞬时,曲柄O1A的角速度为ω=5rad/s,角加速度为α=2rad/s2,试求三角板上点C和点D在该瞬时的速度和加速度。
图6-16
vC=vD=O1Aω=0.1⨯5=0.5m/s
aC=aD=O1Aω
τ
τ
nn2
=0.1⨯5=2.5m/s
2
22
aC=aD=O1Aα=0.1⨯2=0.2m/s
6-2如图6-17所示的曲柄滑杆机构中,滑杆BC上有一圆弧形轨道,其半径R=100mm,圆心O1在导杆BC上。
曲柄长OA=100mm,以等角速度ω=4rad/s绕O轴转动。
设t=0时,求导杆BC的运动规律以及曲柄与水平线的夹角ϕ=30︒时,导杆BC的速度和加速度。
ϕ=0,
图6-17
xO1=2OAcosϕ=2Rcosωt=2⨯0.1⨯cos4t=0.2cos4tmO1=-0.8sin4tm/sϕ=30︒时xO1=-0.4m/sx
O1=-3.2cos4tm/s2O1=-1.63m/s2xx
v=0.4m/sa=1.63m/s2=2.771m/s2
6-3一飞轮绕定轴转动,其角加速度为α=-b-cω2,式中b、c均是常数。
设运动开始时飞轮的角速度为ω0,问经过多长时间飞轮停止转动?
α=-b-cω
1bct=
2
dωb+cω
2
=-dt⎰
dωb+cω
2
ω0
=
⎰
t
-dt
arctan(1bc
cb
ω)|ω=-t
arctan(
cb
ω0)
6-4物体绕定轴转动的转动方程为ϕ=4t-3t3。
试求物体内与转轴相距R=0.5m的一点,在t=0及t=1s时的速度和加速度度的大小,并问物体在什么时刻改变其转向。
2
=4-9t2ϕ=-18tϕ=4t-3tϕ
t=0时
=4ϕ=0ϕ
v=Rω=0.5⨯4=2m/s
an=Rω
2
=0.5⨯4=8m/s
2
22
aτ=Rα=0
a=an=8m/st=1s时
=-5ϕ=-18ϕ
v=Rω=0.5⨯5=2.5m/s
an=Rω
2
=0.5⨯(-5)=12.5m/s
2
22
aτ=Rα=0.5⨯(-18)=-9m/s
a=15.4m/s什么时刻改变其转向=4-9t2=0t=ϕ
23s
2
6-5电机转子的角加速度与时间t成正比,当t=0时,初角速度等于零。
经过3s后,转子转过6圈。
试写出转子的转动方程,并求t=2s时转子的角速度。
α=ctdω=ctdtdϕ
=1
ctϕ=
2
⎰
ω
dω=
⎰
t
ctdtω=
12
ct
2
1
dt26t=3s时,ϕ=6⨯2π=12π
12π=
ct
3
1
2794π3
ϕ=t=1.396t3
9
1
6
c=
612π
⨯c⨯3=4π
3
t=2s时ω=
6-6杆OA可绕定轴O转动。
一绳跨过定滑轮B,其一端系于杆OA上A点,另一端以匀速u向下拉动,如图6-18所示。
设OA=OB=l,初始时ϕ=0,试求杆OA的转动方程。
AB=2l-ut
4π3
t
2
=
4π3
⨯4=
16π3
=16.76
rad/s
cos∠OAB=
即cos
AB/2OA=1-
ut2l
=
2l-ut2l
=1-
ut2l
ϕ2
ϕ=2arccos(1-
ut2l
)
6-7圆盘绕定轴O转动。
在某一瞬时,轮缘上点A的速度为vA=0.8m/s,转动半径为盘上任一点B的全加速度aB与其转动半径OB成θ角,且tanθ=0.6,如图6-19rA=0.1m;
所示。
试求该瞬时圆盘的角加速度。
vArA
vA=rAω=0.8m/sω=
tanθ=
图6-19
0.8==8rad/s0.1
2
αω
2
=0.6|α|=0.6⨯ω=38.4rad/s
2
6-8如图6-20所示,电动机轴上的小齿轮A驱动连接在提升铰盘上的齿轮B,物块M从其静止位置被提升,以匀加速度升高到1.2m时获得速度0.9m/s。
试求当物块经过该位置时:
(1)绳子上与鼓轮相接触的一点C的加速度;
(2)小齿轮A的角速度的角加速度。
图6-20
(1)
0.9-0=2aτ⨯1.2aτ=
2
2
0.492.4
=0.3375
ωB=an=
(2)
ωAωB
=
0.90.6
=1.5an=0.6⨯1.52=1.35
2
0.3375
RBRAaτRC
==
+1.35
2
=1.39m/s
2
450150
=3ωA=3ωB=4.5rad/s
=0.5625αA=3αB=1.6875rad/s
2
αB=
0.33750.6
6-9杆OA的长度为l,可绕轴O转动,杆的A端靠在物块B的侧面上,如图6-21所示。
若物块B以匀速v0向右平动,且x=v0t,试求杆OA的角速度和角加速度以及杆端A点的速度。
图6-21
x=v0tcosϕ=
xl
=
v0tl
ϕ=arcc0
l
vt
v0
=ωO=ϕ
l-(
v0tl)
2
=
l
v0
2
2
2
-vt
O=αO=ω
v0t(l
2
3
2
2
3
-vt)
vA=lωO=
lv0l-vt
2
220
6-10图6-22所示机构中,杆AB以匀速v向上滑动,通过滑块A带动摇杆OC绕O轴作定轴转动。
开始时ϕ=0,试求当ϕ=π/4时,摇杆OC的角速度和角加速度。
图6-22
tanϕ=
vtl
vlv
对时间求导
secϕ=ϕ
2
=vl
2
cosϕ
=ω=ϕ
lsecϕ
2
=α=ω
vl
⨯(-sin2ϕ)ω=-
vl
22
2
sin2ϕcosϕ
ϕ=π/4时
ω=
v2l
α=-
v2l
22
6-11如图6-23所示,电动绞车由皮带轮Ⅰ和Ⅱ以及鼓轮组成,鼓轮Ⅲ和皮带轮Ⅱ刚性地固定在同一轴上。
各轮的半径分别为r1=0.3m,r2=0.75m,r3=0.4m,轮Ⅰ的转速为n1=100r/min。
设皮带轮与皮带之间无相对滑动,求重物M上升的速度和皮带各段上点的加速度。
图6-23
ω1=
πn130r1
=10π30.3
⨯10π3
=4π3
ω2=
r2
ω1=
0.75
v=r3ω2=0.4⨯aAB=aCD=0
4π3
=1.6755m/s
aAD=r1ω=0.3⨯(
21
10π3
)=
2
10π3
2
=32.8987m/s
2
aBC=r2ω=0.75⨯(
22
4π3
)=
2
4π3
2
2
=13.1595m/s
6-12两轮Ⅰ、Ⅱ铰接于杆AB的两端,半径分别为r1=150mm,r2=200mm,可在半径为R=450mm的曲面上运动,在图6-24所示瞬时,点A的加速度大小为aA=1200mm/s2,方向与OA连线成60︒角。
试求该瞬时:
(1)AB杆的角速度和角加速度;
(2)点B的加速度。
图6-24
aA=1200mm/s
a
n
A
2
=aAcos60︒=600mm/s
2
=
vAR+r1
2
2
=(R+r1)ω
ω=
600450+150
=1rad/s
aA=aAsin60︒=600
τ
3=(R+r1)α
α=
6003
R+r1
=
2
3rad/s
aB=(R+r2)ω
τn
2
=650mm/s
2
aB=(R+r2)α=650
aB=1300mm/s
2
3mm/s
2
6-13如图6-25所示,机构中齿轮Ⅰ紧固在杆AC上,AB=O1O2,齿轮Ⅰ与半径为r2的齿轮Ⅱ啮合,齿轮Ⅱ可绕O2轴转动且与曲柄O2B没有联系。
设O1A=O2B=l,ϕ=bsinωt,试确定t
=π(2ω)时,轮Ⅱ的角速度的角加速度。
图6-25
ωO当t=
π
2B
=bωcos=-bω=ϕωtαOB=ϕ2
2
sinωt
ωO
2B
2ω
=0vB=0
2
=-bωaB=lαO2B=-blωaD=aB=-blω
时
vD=vB=0(齿轮Ⅰ与杆AC平动,点D为轮I、II接触点)ωII=0
αO
τ2ττ2
2B
αII=
aDr2
τ
=-
blωr2
2
6-14如图6-26所示,摩擦传动机构的主动轴Ⅰ的转速为n=600r/min。
轴Ⅰ的轮盘与轴
Ⅱ的轮盘接触,接触点按箭头A所示的方向移动。
距离d的变化规律为d=100-5t,其中d以mm计,t以s计。
已知r
=50mm
,R=150mm。
求:
(1)以距离d表示的轴Ⅱ的角加速度;
(2)当d=r时,轮B边缘上一点的全加速度。
图6-26
(1)
ω=
πn30
1000π
d=20π
ω2=
1000π1000π5000π2
d=-⨯(-5)=rad/s222
ddd
2=-α2=ω
(2)d=r时ω2=
1000π50
4
=20π
2
α2=2πrad/s
aB=Rω2+α2=150
2
(20π)+4π
42
=300π40000π+1=592.177⨯10mm/s
232
=592.177m/s
2
6-15如图6-27所示,录音机磁带厚为δ,图示瞬时两轮半径分别为r1和r2,若驱动轮Ⅰ以不变的角速度ω1转动,试求轮Ⅱ在图示瞬时的角速度和角加速度。
图6-27
r1ω1=r2ω2ω2=
r1r2
ω11ω1-r2ω2r
r2
2=2ω1ω1=r2ω2+r2ωr
δ
2π
dϕ1
轮Ⅰ转过一周(2π),半径增大δ,转过dϕ1,则增大故dr1=
dr1dt1=r
δ
2π
dϕ1
=
δ
2π
⨯
dϕ1dt
δ
2π
ω1
r1r2
2=-δ,故r
而在轮Ⅰ转过一周(2π)时,轮Ⅱ半径减小
2=α2=ω
1ω1-r2ω2r
r2
δ
2π
⨯
r1r2
⨯ω1
1ω1-r2⨯r=
r2
r1r2
ω1
=
1r2-r1r2r
r⨯
2
2
ω1
δ=2π
ω1⨯r2+r1⨯
2δ2π
r1r2
ω1
ω1
r
2
2
r2(1+r1=
r
2)2
r2
⨯
δ
2πω21
2
2
2
=
ω1δ2πr(1+
r1)
2
r
22
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