matlab电子教案doc 4.docx

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matlab电子教案doc4

VII符号计算（4课时）

一、符号对象：

1.建立符号变量和符号常数

（1）sym函数

sym函数用来建立单个符号量，例如，a=sym（'a'）建立符号变量a，此后，用户可以在表达式中使用变量a进行各种运算。

例考察符号变量和数值变量的差别。

在MATLAB命令窗口，输入命令：

a=sym（'a'）;b=sym（'b'）;c=sym（'c'）;d=sym（'d'）;%定义4个符号变量

w=10;x=5;y=-8;z=11;%定义4个数值变量

A=[a,b;c,d]%建立符号矩阵A

B=[w,x;y,z]%建立数值矩阵B

det（A）%计算符号矩阵A的行列式

det（B）%计算数值矩阵B的行列式

例比较符号常数与数值在代数运算时的差别。

在MATLAB命令窗口，输入命令：

pi1=sym（'pi'）;k1=sym（'8'）;k2=sym（'2'）;k3=sym（'3'）;%定义符号变量

pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3;%定义数值变量

sin（pi1/3）%计算符号表达式值

sin（pi2/3）%计算数值表达式值

sqrt（k1）%计算符号表达式值

sqrt（r1）%计算数值表达式值

sqrt（k3+sqrt（k2））%计算符号表达式值

sqrt（r3+sqrt（r2））%计算数值表达式值

（2）syms函数

syms函数的一般调用格式为：

symsvar1var2…varn

函数定义符号变量var1,var2,…,varn等。

用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符分界符（'），变量间用空格而不要用逗号分隔。

2.建立符号表达式

例用两种方法建立符号表达式。

在MATLAB窗口，输入命令：

（1）直接用sym函数建立符号表达式

U=sym（'3*x^2+5*y+2*x*y+6'）%定义符号表达式U

（2）先用syms函数定义符号变量，然后再建立符号表达式

symsxy;%建立符号变量x、y

V=3*x^2+5*y+2*x*y+6%定义符号表达式V

（3）符号表达式的值

2*U-V+6%求符号表达式的值

例计算3阶范得蒙矩阵行列式的值。

设A是一个由符号变量a,b,c确定的范得蒙矩阵。

命令如下：

symsabc;

U=[a,b,c];

A=[[1,1,1];U;U.^2]%建立范得蒙符号矩阵

det（A）%计算A的行列式值

二、基本的符号运算：

1.符号表达式运算

（1）符号表达式的四则运算

例符号表达式的四则运算示例。

在MATLAB命令窗口，输入命令：

symsxyz;

f=2*x+x^2*x-5*x+x^3%符号表达式的结果为最简形式

f=2*x/（5*x）%符号表达式的结果为最简形式

f=（x+y）*（x-y）%符号表达式的结果不是x^2-y^2，而是（x+y）*（x-y）

simple（f）

（2）因式分解与展开

factor（S）对S分解因式，S是符号表达式或符号矩阵。

expand（S）对S进行展开，S是符号表达式或符号矩阵。

collect（S）对S合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。

collect（S,v）对S按变量v合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。

例对符号矩阵A的每个元素分解因式。

命令如下：

symsabxy;

A=[2*a^2*b^3*x^2-4*a*b^4*x^3+10*a*b^6*x^4,3*x*y-5*x^2;4,a^3-b^3];

factor（A）%对A的每个元素分解因式

例计算表达式S的值。

命令如下：

symsxy;

s=（-7*x^2-8*y^2）*（-x^2+3*y^2）;

expand（s）%对s展开

collect（s,x）%对s按变量x合并同类项（无同类项）

factor（ans）%对ans分解因式

（3）表达式化简

MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有：

simplify（S）应用函数规则对S进行化简。

simple（S）调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。

例化简

命令如下：

symsxy;

s=（x^2+y^2）^2+（x^2-y^2）^2;

simple（s）%MATLAB自动调用多种函数对s进行化简，并显示每步结果

2.符号矩阵运算

S’返回S矩阵的转置矩阵。

det（S）返回S矩阵的行列式值。

colspace（S）返回S矩阵列空间的基。

[Q,D]=eig（S）Q返回S矩阵的特征向量，D返回S矩阵的特征值。

三、符号表达式中变量的确定：

MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常数。

findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的符号变量。

该函数的调用格式为：

findsym（S,n）

函数返回符号表达式S中的n个符号变量，若没有指定n，则返回S中的全部符号变量。

在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有明确指定自变量，MATLAB将按缺省原则确定主变量并对其进行相应微积分运算。

可用findsym（S,1）查找系统的缺省变量，事实上，MATLAB按离字符'x'最近原则确定缺省变量。

四、函数的极限：

limit函数的调用格式为：

limit（f,x,a）

limit函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式为：

limit（f,x,a,'right'）或limit（f,x,a,'left'）

例求极限:

在MATLAB命令窗口，输入命令：

symsamx;

f=（x^（1/m）-a^（1/m））/（x-a）;

limit（f,x,a）%求极限

（1）

f=（sin（a+x）-sin（a-x））/x;

limit（f）%求极限

（2）

limit（f,inf）%求极限（3）

f=（sqrt（x）-sqrt（a）-sqrt（x-a））/sqrt（x*x-a*a）;

limit（f,x,a,'right'）%求极限（4）

五、符号函数求导及其应用：

MATLAB中的求导的函数为：

diff（f,x,n）

diff函数求函数f对变量x的n阶导数。

参数x的用法同求极限函数limit，可以缺省，缺省值与limit相同，n的缺省值是1。

例求函数的导数:

命令如下：

symsabtxyz;

f=sqrt（1+exp（x））;

diff（f）%求

（1）,

未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理

f=x*cos（x）;

diff（f,x,2）%

（2）,求f对x的二阶导数

diff（f,x,3）%

（2）,求f对x的三阶导数

f1=a*cos（t）;f2=b*sin（t）;%参数方程

diff（f2）/diff（f1）%（3）,按参数方程求导公式求y对x的导数

（diff（f1）*diff（f2,2）-diff（f1,2）*diff（f2））/（diff（f1））^3

%（3）,求y对x的二阶导数

f=x*exp（y）/y^2;

diff（f,x）%（4）,z对x的偏导数

diff（f,y）%（4）,z对y的偏导数

f=x^2+y^2+z^2-a^2;

zx=-diff（f,x）/diff（f,z）%（5）,按隐函数求导公式求z对x的偏导数

zy=-diff（f,y）/diff（f,z）%（5）,按隐函数求导公式求z对y的偏导数

例在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线y=4x-1平行。

命令如下：

x=sym（'x'）;

y=x^3+3*x-2;%定义曲线函数

f=diff（y）;%对曲线求导数

g=f-4;

x=solve（g）%求方程f-4=0的根，即求曲线何处的导数为4

%图形描述

a=-2:

0.1:

2;

b=a.^3+3.*a-2;

yy=subs（y,x）

c=yy-4*x

c1=4.*a+c

（1）

c2=4.*a+c

（2）

plot（a,b,a,double（c1）,'r-',a,double（c2）,'r-'）

六、不定积分：

在MATLAB中，求不定积分的函数是int，其调用格式为：

int（f,x）

int函数求函数f对变量x的不定积分。

参数x可以缺省，缺省原则与diff函数相同。

例求不定积分:

（1）

（2）

命令如下：

x=sym（'x'）;

f=（3-x^2）^3;

int（f）%求不定积分

（1）

%%%%%%%%%%%%%%%%

f=sqrt（x^3+x^4）;

int（f）%求不定积分

（2）

g=simple（ans）%调用simple函数对结果化简

七、符号函数的定积分：

定积分在实际工作中有广泛的应用。

在MATLAB中，定积分的计算使用函数：

int（f,x,a,b）

例求定积分：

命令如下：

x=sym（'x'）;t=sym（'t'）;

int（abs（1-x）,1,2）%求定积分

（1）

%%%%%%%%%%%

f=1/（1+x^2）;

int（f,-inf,inf）%求定积分

（2）

%%%%%%%%%%%%%%

int（4*t*x,x,2,sin（t））%求定积分（3）

%%%%%%%%%%%%%

f=x^3/（x-1）^100;

I=int（f,2,3）%用符号积分的方法求定积分（4）

double（I）%将上述符号结果转换为数值

例求椭球的体积：

命令如下：

symsabcx;

f=pi*b*c*（1-x^2/a^2）;

V=int（f,x,-a,a）

例轴的长度为10米，若该轴的线性密度计算公式是f（x）=6+0.3x千克/米（其中x为距轴的端点距离），求轴的质量。

（1）符号函数积分。

在MATLAB命令窗口，输入命令：

symsx;

f=6+0.3*x;

m=int（f,0,10）

（2）数值积分。

先建立一个函数文件fx.m：

functionfx=fx（x）

fx=6+0.3*x;

再在MATLAB命令窗口，输入命令：

m=quad（'fx',0,10,1e-6）

例求空间曲线c:

从点（0，0，0）到点（3，3，2）的长度。

第一类曲线积分的计算：

设函数

在光滑曲线

上有定义且连续，

的方程为

则

。

命令如下：

symst;

x=3*t;y=3*t^2;z=2*t^3;%t的取值范围为（0,1）

f=diff（[x,y,z],t）%求x,y,z对参数t的导数

g=sqrt（f*f'）%计算一型积分公式中的根式部分

l=int（g,t,0,1）%计算曲线c的长度

八、积分变换：

1.傅立叶（Fourier）变换

在MATLAB中，进行傅立叶变换的函数是：

fourier（fx,x,t）求函数f（x）的傅立叶像函数F（t）。

ifourier（Fw,t,x）求傅立叶像函数F（t）的原函数f（x）。

例求函数y=|x|的傅立叶变换及其逆变换。

命令如下：

symsxt;

y=abs（x）;

Ft=fourier（y,x,t）%求y的傅立叶变换

fx=ifourier（Ft,t,x）%求Ft的傅立叶逆变换

2.拉普拉斯（Laplace）变换

在MATLAB中，进行拉普拉斯变换的函数是：

laplace（fx,x,t）求函数f（x）的拉普拉斯像函数F（t）。

ilaplace（Fw,t,x）求拉普拉斯像函数F（t）的原函数f（x）。

例计算y=x2的拉普拉斯变换及其逆变换.

命令如下：

x=sym（'x'）;y=x^2;

Ft=laplace（y,x,t）%对函数y进行拉普拉斯变换

fx=ilaplace（Ft,t,x）%对函数Ft进行拉普拉斯逆变换

3.Z变换

对数列f（n）进行z变换的MATLAB函数是：

ztrans（fn,n,z）求fn的Z变换像函数F（z）

iztrans（Fz,z,n）求Fz的z变换原函数f（n）

例求数列fn=e-n的Z变换及其逆变换。

命令如下：

symsnz

fn=exp（-n）;

Fz=ztrans（fn,n,z）%求fn的Z变换

f=iztrans（Fz,z,n）%求Fz的逆Z变换

实习：

1）计算矩阵

的行列式值、逆，并用simple函数化简；

2）求微分

3）通过符号计算求y=|sin（t）|的导数，然后，求导函数y'（0-）和y'（0+），以及y'（pi/2）。

它们与理论值相符吗？

4）求多重积分

九、级数的符号求和：

级数符号求和函数symsum，调用格式为：

symsum（a,n,n0,nn）

例求级数之和：

命令如下：

n=sym（'n'）;

s1=symsum（1/n^2,n,1,inf）%求

（1），常数项级数

s2=symsum（（-1）^（n+1）/n,1,inf）%求

（2），交错级数，未指定求和变量，缺省为n

s3=symsum（n*x^n,n,1,inf）%求（3），函数项级数，此处的求和变量n不能省略。

s4=symsum（n^2,1,100）%求（4），计算有限级数的和

十、函数的泰勒级数：

MATLAB中提供了将函数展开为幂级数的函数taylor，其调用格式为：

taylor（f,n,v,a）

f为待展开函数表达式，v为自变量，n为展开阶数（正整数），a则指定对f在v=a处进行泰勒展开。

例求函数的泰勒展开式：

命令如下：

x=sym（'x'）;

f1=（1+x+x^2）/（1-x+x^2）;

f2=sqrt（1-2*x+x^3）-（1-3*x+x^2）^（1/3）;

taylor（f1,5,x）%求

（1）。

展开到x的4次幂时应选择n=5

taylor（f2,6）%求

（2）。

例将多项式1+3x+5x2-2x3表示成x+1的幂的多项式。

命令如下：

x=sym（'x'）;

p=1+3*x+5*x^2-2*x^3;

f=taylor（p,4,x,-1）

例应用泰勒公式近似计算：

命令如下：

x=sym（'x'）;

f=（1-x）^（1/12）;%定义函数，4000^（1/12）=2f（96/2^12）

g=taylor（f,4）%求f的泰勒展开式g

v=subs（g,'x','96/2^12'）%计算g（96/2^12）,P135

v1=simple（v）%化简计算结果

2*vpa（v1,8）%求4000^（1/12）的近似值,小数点后保

%留8位有效数字，4000^（1/12）≈2*g（96/2^12）

%P136

4000^（1/12）%用MATLAB的乘方运算直接计算

十一、函数的傅立叶级数：

MATLAB5.x版中，尚未提供求函数傅立叶级数的内部函数。

下面我们自己设计一个简化的求任意函数的傅立叶级数的函数文件。

functionmfourier=mfourier（f,n）

symsxabc;

mfourier=int（f,-pi,pi）/2;%计算a0

fori=1:

n

a（i）=int（f*cos（i*x）,-pi,pi）;

b（i）=int（f*sin（i*x）,-pi,pi）;

mfourier=mfourier+a（i）*cos（i*x）+b（i）*sin（i*x）;

end

return

调用该函数时，需给出被展开的符号函数f和展开项数n，不可缺省。

例在[-π，π]区间展开函数为傅立叶级数。

命令如下：

x=sym（'x'）;a=sym（'a'）;

f=x;

mfourier（f,5）%求f（x）=x的傅立叶级数的前5项

f=abs（x）;

mfourier（f,5）%求f（x）=|x|的傅立叶级数的前5项

symsa;

f=cos（a*x）;

mfourier（f,6）%求f（x）=cos（ax）的傅立叶级数的前6项

f=sin（a*x）;

mfourier（f,4）%求f（x）=sin（ax）的傅立叶级数的前4项

十二、线性方程组的符号求解：

MATLAB中提供了一个求解线性代数方程组的函数linsolve，其调用格式为：

linsolve（A,b）

例求线性方程组AX=b的解：

解方程组

（1）的命令如下：

A=[34,8,4;3,34,3;3,6,8];

b=[4;6;2];

X=linsolve（A,b）%调用linsolve函数求

（1）的解

sym（A）\sym（b）%用另一种方法求

（1）的解

解方程组

（2）的命令如下：

symsa11a12a13a21a22a23a31a32a33b1b2b3;

A=[a11,a12,a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33];

b=[b1;b2;b3];

X=linsolve（A,b）%调用linsolve函数求

（2）的解

XX=A\b%用左除运算求

（2）的解

十三、非线性方程组的符号求解：

求解非线性方程组的函数是solve，调用格式为：

solve（'eqn1','eqn2',…,'eqnN','var1,var2,…,varN'）

例解方程:

命令如下：

x=solve（'1/（x+2）+4*x/（x^2-4）=1+2/（x-2）','x'）

%解方程

（1）,方程与自变量都为字符串型表达式，结果为符号型

f=sym（'x-（x^3-4*x-7）^（1/3）=1'）;

x=solve（f）%解方程

（2），方程为符号型，自变量缺省

symsx;

x=solve（2*sin（3*x-pi/4）-1）

%解方程（3），这一用法不允许“＝”号

x=solve（'x+x*exp（x）-10','x'）

%解方程（4），无符号解时，给出数值解

例求方程组的解:

命令如下：

[xy]=solve（'1/x^3+1/y^3=28','1/x+1/y=4','x','y'）%解方程组

（1）

[xv]=solve（'x^2+y^2-5','2*x^2-3*x*y-2*y^2'）%解方程组

（2）

十四、常微分方程的符号求解

MATLAB的符号运算工具箱中提供了功能强大的求解常微分方程的函数dsolve。

该函数的调用格式为：

dsolve（'eqn1','condition','var'）

该函数求解微分方程eqn1在初值条件condition下的特解。

参数var描述方程中的自变量符号，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件condition，则求方程的通解。

dsolve在求微分方程组时的调用格式为：

dsolve（'eqn1','eqn2',…,'eqnN','condition1',…,'conditionN','var1',…,'varN'）

函数求解微分方程组eqn1、…、eqnN在初值条件conditoion1、…、conditionN下的解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，var1、…、varN给出求解变量。

例求微分方程的通解:

命令如下：

y=dsolve（'Dy-（x^2+y^2）/x^2/2','x'）%解

（1）。

方程的右端为0时可以不写

y=dsolve（'Dy*x^2+2*x*y-exp（x）','x'）%解

（2）

y=dsolve（'Dy-x/y/sqrt（1-x^2）','x'）%解（3）

例求微分方程的特解:

命令如下：

y=dsolve（'Dy=2*x*y^2','y（0）=1','x'）%解

（1）

y=dsolve（'Dy-x^2/（1+y^2）','y

（2）=1','x'）%解

（2）

例用微分方程的数值解法和符号解法解方程，并对结果进行比较:

在MATLAB命令窗口，输入命令：

（1）用符号运算求方程的解析解（即符号解）：

y=dsolve（'Dy+2*y/x-4*x','y

（1）=2','x'）

%用符号方法得到方程的解析解

（2）用数值运算求方程的数值解：

为了求方程的数值解，需要按要求建立一个函数文件fxyy.m：

functionf=fxyy（x,y）

f=（4*x^2-2*y）/x;

%只能是y'=f（x,y）的形式，当不是这种形式时，要变形。

return

输入命令：

[t,w]=ode45（'fxyy',[1,2],2）;

%得到区间[1，2]中的数值解，以向量t、w存储。

（3）作出两种结果的图形,对它们进行比较：

x=linspace（1,2,100）;

y=eval（vectorize（char（y）））%为作图把符号解的结果向量化;vectorize函数见P344,213

plot（x,y,'b.',t,w,'r-'）;

十五、常微分方程组求解：

dsolve在求微分方程组时的调用格式为：

dsolve（'eqn1','eqn2',…,'eqnN','condition1',…,'conditionN','var1',…,'varN'）

函数求解微分方程组eqn1、…、eqnN在初值条件conditoion1,…conditionN下的解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，var1、…、varN给出求解变量。

例求微分方程组的解：

命令如下：

[x,y]=dsolve（'Dx=4*x-2*y','Dy=2*x-y','t'）%解方程组

（1）

[x,y]=dsolve（'D2x-y','D2y+x','t'）%解方程组

（2）

例32.级数求和

symskta;

f1=[tk^3];

f2=[1/（2*k-1）^2,（-1）^k/k];

s1=simple（symsum（f1,t,0,a-1））%观察结果，注意学习求和函数的使用

s2=simple（symsum（f2,k,1,inf））

例33.求微分

symsatx;

f=[a,t^3;t*cos（x）,log（x）];%定义矩阵

df=diff（f,x）％对x求微分

dfdt2=diff（f,t,2）％对t求2阶微分

dfdxdt=diff（diff（f,x）,t）％求混合微分

例34.求积分

symsAttaow;

yf=int（A*exp（-i*w*t）,t,-tao/2,tao/2）;

Yf=simple（yf）

以下积分能算么？

symsAttaow;

yf=int（A*exp（-w*t^2）,t,-tao/2,tao/2）;

Yf=simple（yf）

例35.求积分

symstx;

f=1/log（t）;

F=int（f,t,0,x）%解释计算结果

F=

-Ei（1,-log（x））%Ei是什么？

查maple帮助mhelpEi

x=0.5:

0.1:

0.9

F1=-mfun（'Ei',1,-log（x））%用函数mfun取x的积分值

例36.求积分

symsabx;

f=[a*x,b*x^2;1/x,sin（x）];

F=int（f,x）;

disp（'Theintegraloffis'）;pr