圆和扇形经典题汇总.docx
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圆和扇形经典题汇总.docx
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圆和扇形经典题汇总
圆与扇形
公式与割补
容提要
本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念.及周长、面积公式等.下面我们来说说这方面的基础知识.
圆是我们在生活中经常见到的图形.它也是最完美的平面图形:
有无数条通过圆心的对称轴.绕圆心旋
转任何角度还保持原状.而且.所有的平面图形在周长相同的情况下.圆的面积是最大的.
我们知道.圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数.这正是圆周率.用兀表示.另外.一般把直径记作
d.半径记作r.如图1所示.
所以.圆的周长|Cd2r|.圆的面积|sr2.
如图3.由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形.它是圆的一部分.所以关于扇
形的各种计算可以应用圆里面的结论.
n
360
扇形的圆心角为n。
时它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的
所以.扇形弧长=—2r.面积=—r2
360360
我们先来熟悉一下这些公式.
练习:
1.半径是2的圆的面积和周长分别是多少?
2.直径是5的圆的面积和周长分别是多少?
3.周长是10兀的圆的面积是多少?
4.面积是9兀的圆的周长是多少?
例题
一、基本公式运用
例题1.已知扇形的圆心角为120。
.半径为2.则这个扇形的面积和周长各是多少?
(圆周率按3.14计算)
例题2.已知扇形面积为18.84平方厘米.圆心角为60。
.则这个扇形的半径和周长各是多少?
(圆周率按3.14
计算)
随堂练习:
1.已知一个扇形的弧长为0.785厘米.圆心角为45°.这个扇形的半径和周长各是多少?
2.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是多少?
例题3.如图.直角三角形ABC的面积是45.分别以BC为圆心.3为半径画圆.已知图中阴影部分的面积是
35.58.请问:
角A是多少度?
(兀取3.14)
圆中方.方中圆
例题4.如图.左下图和右下图中的正方形边长都是2.那么大圆、小圆的面积分别为
随堂练习:
1.已知外面大圆的半径是4.里面小圆的面积是多少?
(答案用兀表示)
二、割补法
例题5.求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为厘米.圆周率按3.14计算):
随堂练习:
求下图中阴影部分的面积(图中长度单位为厘米.圆周率按3.14计算):
(2)
例题6.求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为厘米.圆周率按3.14计算):
部分的面积为(答案用表示)
3.14)
例题8.根据图中所给数值.求下面图形的外周长和总面积分别是多少?
(兀取
J
s——4—■
随堂练习:
1.根据下图中给出的数值.求这个图形的外周长和面积.(搬3.14)
例题9.求图中阴影部分的面积.(圆周率取3.14)
思考题
1厘米.
图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点.它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都是
那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?
作业:
1.半径为4厘米的圆的周长是米.面积是:
方厘米;
2,半径为4厘米.圆心角为90的扇形周长是米.面积是方厘米.(取3.14)
用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料,从中裁出了7个同样大小的圆铝板.问:
所余下的边角料的总面积是多少平方厘米?
圆与扇形
旋转与重叠
知识总结:
学习如何利用割补法和包含排除的思想计算图形中特定部分的面积;学会分析几何图形的运动过程
并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域.
例题:
一、重叠问题
例题1.下图中甲区域比乙区域的面积大57平方厘米.且半圆的半径是10厘米.那么其中直角三角形的另一条
直角边的长度是多少?
(圆周率取3.14)
例题2.下图中有一个等腰直角三角形ABC.一个以AB为直径的半圆.和一个以BC为半径的扇形.已知
ABBC10厘米.图中阴影部分的面积为多少平方厘米?
(<3.14)
随堂练习
1.如图17-13.以AB为直径做半圆.三角形ABC是直角三角形.阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方
厘米AB长40厘米.求BC的长度.(取3.14.)
例题3.如图.直角三角形的两条直角边分别为3和5.分别以三条边做了3个半圆(直角顶点在以斜边为直径
的半圆上).那么阴影部分的面积为
例题4.图1是一个直径是3厘米的半圆.AB是直径.如图2所示.让A点不动.把整个半圆逆时针转60°.此时
B点移动到C点.请问:
图中阴影部分的面积是多少平方厘米?
(兀取3.14)
二、动态扫面积问题
例题5.如图.正方形ABCD边长为1厘米.依次以A、B、C、D为圆心.以AD、BE、CF、DG为半径画出四个
直角扇形.那么阴影部分的面积为方厘米.(取3.14)
例题6.如图所示.以等边三角形的B、C、A三点分别为圆心.分别以AB、CD、AE为半径画弧.这样形成的曲
线ADEF被称为正三角形ABC的渐开线.如果正三角形ABC的边长为3厘米.那么此渐开线的长度为多少厘米.图中I、II、III三部分的面积之和是多少平方厘米?
三、运动圆扫面积
例题7.图中正方形的边长是4厘米.而圆环的半径是1厘米.当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来
位置时.其扫过的面积有多大?
(兀取3.14)
随堂练习
1.图中长方形的长是10厘米.宽是4厘米.而圆环的半径是1厘米.当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又
回到原来位置时.其扫过的面积有多大?
(兀取3.14)
例题8.图中等边三角形的边长是3厘米.而圆环的半径是1厘米.当圆环绕等边三角形无滑动地滚动一周又
回到原来位置时.其扫过的面积有多大?
(澈3.14)
思考题
如图所示.一只小狗被拴在一个边长为4米的正五边形的建筑物的一个顶点处.四周都是空地.绳长刚好够
小狗走到建筑物外墙边的任一位置.小狗的活动围是多少平方米?
(建筑外墙不可逾越.小狗身长忽略不计
作业:
1.图17-14由一个长方形与两个90角的扇形构成.其中阴影部分的面积是方厘米.(取
3.14.)
图17-14
2.图中有一个矩形和两个半径分别为5和2的直角扇形.那么两个阴影部分的面积相差为
取3.14)
3.
如图.直角三角形的两条直角边长分别是10cm和6cm.分别以直角边为直径作出两个半圆.这两个
(1730)
5.图中正方形的边长是6厘米.而圆环的半径是1厘米.当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原
来位置时.其扫过的面积有
6.图中等边三角形的边长是
5厘米.圆形的半径是1厘米.当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来
位置时.扫过的面积有(橄3.14)
几何计数
知识总结:
例题:
一、枚举或分类解题
利用枚举法以及分类的方法进行几何计数.特别是对于正方形和三角形的计数问题.通常按照面积的大
小或者包含基本图形的多少来对图形进行分类.
例题1.小杰瑞把巧克力棒摆成了如图所示的形状.其中每一条小短边代表一个巧克力棒.请问:
(1)一共有多少个巧克力棒?
(2)这些巧克力棒共构成了多少个三角形?
(3)
嘴馋的小杰瑞吃掉一个巧克力棒后(图中两端带有箭头的小边).剩下的图形中还有多少个三角形?
随堂练习
正三角形.图中包含""的各种大小的正三角形一共有
例题3.如图AB.CD.EFMN互相平行.则图中三角形个数是
例题4.图中有多少个正方形?
二、与排列组合有关的计数
利用排列组合的方法进行几何计数.特别是对于矩形和四边形的计数问题
例题5.如图线段AB.BCCD.DE的长度都是3厘米.请问:
(1)图中一共有多少条线段?
(2)这些线段的长度之和是多少厘米?
3厘米3厘米3厘米3厘米
人_一_人___人___人
fYYY>
ABCDE
随堂练习
1.求图中一共有多少条线段.
例题6.求图中一共有多少条线段.求图中一共有多少个矩形.
随堂练习
1.如图.四条边长度都相等的四边形称为菱形.用16个同样大小的菱形组成如图的一个大菱形.数一数
图中共有多少个菱形?
例题7.右图是一个长为9.宽为4的长方形网格.每一个小格都是一个正方形.那么:
1)从中可以数出矩形.
2)从中可以数出正方形.
3)从中可以数出包含.正方形有
随堂练习
(1)图中包含★的长方形有.包含?
的正方形又有
(2)图中同时包含?
和★的长方形有.
三、与容斥原理有关的几何计数
例题8.图中一共包含多少个矩形?
多少个正方形?
思考题
用16个边长为1的等边三角形拼成一个边长为4的大等边三角形.那么组成的图形中可以找出多少个平行
四边形?
作业
1.
数一数图中一共有多少条线段?
【分析与解】按边长分类数.图中共有93113个三角形;平行四边形共有333215个.
3.在图中.包含※的长方形共有企.
【分析与解】图中共有718个正方形.19个长方形.这道题适合按大小分类数.
5.
图中有三角形个.梯形个.
【分析与解】三角形有312318个.梯形有1212318个.
【分析与解】答案是38.144.长方形有123123452123123144个.正方形有352413294138个(这里给出正方形的求法比较巧妙.如果不合适请按正方形的边长分类枚举).
行程
.行程问题主要有三组共9个基本公式:
知识总结:
例题4.蜗牛沿着公路前进.对面来了一只兔子.他问兔子:
“后面有乌龟吗?
”.兔子回答说:
"10分钟前我超
过了一只乌龟”.接着蜗牛继续爬了10分钟.遇到了乌龟.已知乌龟的速度是蜗牛速度的
10倍.那么兔
(1)
路程速度时间;速度路程时间;时间路程速度;
(2)
相遇路程速度和时间;速度和相遇路程时间;时间相遇路程速度和;
(3)追及路程速度差时间;速度差追及路程时间;时间追及路程速度差要会灵活运用公式.通过已知的条件求出未知的路程、速度或时间.
本讲重点学习在小升初中和各个杯赛中的较复杂的行程问题
此时.我们还经常需要用到以下这三个基本倍数关系:
子速度是乌龟速度的
例题5.甲、乙二人相距100米的直路上来回跑步,甲每秒钟跑2.8米,乙每秒钟跑2.2米.他们同时分别在直
路两端出发,当他们跑了30分钟时,这段时间相遇了几次?
例题6.甲乙两车同时从A、B两地出发相向而行.两车在距离B地64千米的地方第一次相遇.相遇后两车继续原速前进.并且在到达对方出发点之后.立即沿原路返回.途中在距离A点48千米处第二次相遇问:
两次相遇点距离是多少千米?
例题7.甲、乙两车分别从A、B两地出发.在A、B之间不断往返行驶.已知甲车的速度是每小时15千米.
乙车的速度是每小时35千米.并且甲、乙两车第三次相遇(这里特指面对面的相遇)的地点与第四次
相遇的地点恰好相距120千米.那么.A、B两地之间的距离等于米.
例题8.快、中、慢3辆车同时从同一地点出发.沿同一公路追赶前面的一个骑车人.这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人.现在知道快车每小时走24千米.中车每小时走20千米.那么.慢
车每小时走多少千米?
例题9.有甲乙丙三车各以一定的速度从A到B.乙比丙晚出发10分钟.出发后40分钟追上丙.甲比乙又晚
出发10分钟.出发后60分钟追上丙.问.甲出发后多少分钟可以追上乙?
思考题
一次越野赛跑中.当小明跑了1600米时.小刚跑了1450米.此后两人分别以每秒a米和每秒b米匀速跑.又过100秒时小刚追上小明.200秒时小刚到达终点.300秒时小明到达终点.这次越野赛跑的全程为多少?
作业
1.现有两列火车同时同方向齐头行进.快车每秒行18米.慢车每秒行10米.行12秒后快车超过慢车.如
果这两辆火车车尾相齐同时同方向行进.则9秒后快车超过慢车.那么快慢两车的车长分别是几
米?
2.一辆中巴车6点(24小时制)从A城出发.以每小时40千米的速度向B城驶去.3小时后一辆小轿车以每小时75千米的速度也从A出发到B.当小轿车到达B后.中巴车离B还有90千米.那么中巴车是几点几分到达B的?
3.甲、乙两人从相距为46千米的A、B两地出发相向而行.甲比乙先出发一个小时.他们两人在乙出
发后4小时相遇.又已知甲比乙每小时快2千米.那么乙的速度为每小时多少千米?
4.甲、乙两人分别从南北两地相对而行.已知甲每分钟走50米.乙走完全程要30分钟.相对而行10
分钟后.甲、乙仍相距100米.那么还要过多少秒钟.甲、乙第一次相遇?
5.(第三届“走进美妙的数学花园”团体对抗赛第22题)一个和尚每天早晨都到河边去提一桶水.他提
空桶时每秒走3米.提满桶时每秒2米.来回一趟需10分钟。
寺庙距河边有多少米?
6.(首师大附中考题)甲.乙两人在一条长100米的直路上来回跑步.甲的速度3米/秒.乙的速度2米/秒。
如果他们同时分别从直路的两端出发.当他们跑了10分钟以后共相遇了多少次?
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