完整北师大版七年级上第三章整式及其加减经典学案知识总结+例题解析推荐文档.docx
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第三章整式及其加减
知识点
一、字母表示数
1、字母可以表示任何数,用字母表示数的运算律和公式法则;
○1加法交换律a+b=b+a加法结合律a+b+c=a+(b+c)
○2乘法交换律ab=ba乘法结合律(ab)c=a(bc)乘法分配律a(b+c)=ab+ac
用字母表示计算公式:
○1长方形的周长2(a+b),面积ab(a、b分别为长、宽)
○2正方形的周长4a,面积a2(a表示边长)
○3长方体的体积abc,表面积2ab+2bc+2ac(a、b、c分别为长、宽、高)
○4正方体的体积a3,表面积6a2(a表示棱长)
○5圆的周长2πr,面积πr2(r为半径)
○6三角形的面积1×ah(a表示底边长,h表示底边上的高)
2
2、在同一问题中,同一字母只能表示同一数量,不同的数量要用不同的字母表示。
3、用字母表示实际问题中某一数量时,字母的取值必须使这个问题有意义,并且符合实际。
4、注意书写格式的规范:
(1)表示数与字母或字母与字母相乘时乘号,乘号可以写成“·”,但通常省略不写;数字与数字相乘必须写乘号;
(2)数和字母相乘时,数字应写在字母前面;
(3)带分数与字母相乘时,应把带分数化成假分数;
(4)除法运算写成分数形式,分数线具“÷”号和“括号”的双重作用。
(5)在代数式的运算结果中,如有单位时,结果是积或商直接写单位;结果是和差加括号后再写单位。
典型例题:
例题1.有一大捆粗细均匀的钢筋,现要确定其长度,先称出这捆钢筋的总质量为m千克,再从中截取5米长的钢筋,称出它的质量为n千克,那么这捆钢筋的总长度为()米
mA、n
mnB、5
5mC、5
5m
D、(n-5)
例题2.用代数式表示“2a与3的差”为()
A.2a-3B.3-2aC.2(a-3)D.2(3-a)
例题3.如图1―3―1,轴上点A所表示的是实数a,则到原点的距离是()
A、aB.-aC.±aD.-|a|
111
例题4.已知a=20x+20,b=20x+19,c=20x+21,那么代数式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值为()
A、4B、3C、2D、1
练习:
1、温度由t℃下降3℃后是℃.
2、飞机每小时飞行a千米,火车每小时行驶b千米,飞机的速度是火车速度的倍.
3、无论a取什么数,下列算式中有意义的是()
A.
1
a-1
B.
1
a
C.
1a-1
2
D.
1
2a-1
4、全班同学排成长方形长队,每排的同学数为a,排数比每排同学数的3倍还多2,那么全班同学数为()
A.a·3a+2B.a(3a+2)C.a+3a+2D.3a(a+2)
5、轮船在A、B两地间航行,水流速度为m千米/时,船在静水中的速度为n千米/时,则轮船逆流航行的速度为
千米/时
6、甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为x元的商品,甲超市连续两次降价20%,乙超市一次性降价40%,丙超市第一次降价30%,第二次降价10%,此时顾客要想购买这种商品最划算,应到的超市是()
(A)甲(B)乙(C)丙(D)乙或丙
7、下列说法中:
①-a一定是负数;②|a|一定是正数;③若abc>0,则a、b、c三个有理数中负因数的个数是
0或2,其中正确的序号是
8、设三个连续整数的中间一个数是n,则它们三个数的和是
9、设三个连续奇数的中间一个数是x,则它们三个数的和是
10、设n为自然数,则奇数表示为;偶数表示为;能被5整除的数为;被4除余3的数为
二、代数式
1、代数式:
用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫代数式。
如:
n-2、0.8a、2n+500、abc、2ab+2bc
+2ac(单独一个数或一个字母也是代数式)
注意:
列代数式时,数字与字母、字母与字母相乘,乘号通常用·表示或省略不写,并且把数字写在字母的前面,除法运算通常写成分数的形式。
例:
下列不是代数式的是()
A.0B.s
t
C.x=1D.x-0.1y2
2、单项式:
表示数与字母的积的代数式叫单项式。
单独一个数或一个字母也是单项式。
其中的数字因数(连同符号)叫单项式的系数,所有的字母的指数的和叫单项式的次数。
注意:
①书写时,系数是1的时候可省略;②是数字,不是字母。
例:
ab2的系数是;如-x2的系数是;如-1x2的系数是;
2
3、多项式:
几个单项式的和叫多项式,次数最高项的次数叫做这个多项式的次数。
每个单项式称为项。
例:
代数式5x-y+x2-x-1有项,第二项的系数是,第三项的系数是,第四项的系数是
4、单项式多项式统称为整式。
练习:
1、某商品售价为a元,打八折后又降价20元,则现价为元
2、橘子每千克a元,买10kg以上可享受九折优惠,则买20千克应付元钱.
3、如图,图1需4根火柴,图2需根火柴,图3需根火柴,……图n需根火柴。
(图1)(图2)(图n)4、温度由t℃下降3℃后是℃.
5、飞机每小时飞行a千米,火车每小时行驶b千米,飞机的速度是火车速度的倍.
6、无论a取什么数,下列算式中有意义的是()
A.
1
a-1
B.
1
a
C.
1a-1
2
D.
1
2a-1
7、全班同学排成长方形长队,每排的同学数为a,排数比每排同学数的3倍还多2,那么全班同学数为()
A.a·3a+2B.a(3a+2)C.a+3a+2D.3a(a+2)
8、填空-
x2y
3
的系数为,次数为:
3a+2b2
的次数为;ab2
的系数是;-x2的
系数是;-1x2的系数是;代数式5x-y+x2-x-1有项,第二项的系数是,第三
2
项的系数是,第四项的系数是
9、下列不是代数式的是()
A.0B.s
t
三、合并同类项
C.x=1D.x-0.1y2
1.同类项:
所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
注意:
①两个相同:
字母相同;相同字母的指数相同.②两个无关:
与系数无关;与字母顺序无关.
如:
100a和200a,240b和60b,-2ab和10ba2、合并同类项法则:
(1)写出代数式的每一项连同符号,在其中找出同类项的项;
(2)合并同类项:
同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变.
(3)不同种的同类项间,用“+”号连接
(4)没有同类项的项,连同前面的符号一起照抄
如:
合并同类项3x2y和5x2y,字母x、y及x、y的指数都不变,只要将它们的系数3和5相加,即
3x2y+5x2y=(3+5)x2y=8x2y.
3.合并同类项的步骤:
(1)准确的找出同类项
(2)运用加法交换律,把同类项交换位置后结合在一起(3)利用法则,把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变(4)写出合并后的结果
4.注意:
(1)不是同类项不能合并
(2)求代数式的值时,如果代数式中含有同类项,通常先合并同类项再代入数值进行计算.
例1.判2断下列各5组中的两个项是不是同类项:
(1)a2b和2
3-7ab
(2)2m2np和-pm2n(3)0和-1
1111
例2.下列各组中:
①5x2y与
xy;②-5x2y与
55
yx2;③5ax2与
5
yx2;④83与x3;⑤-x2与x2;⑥
2
3x2与x⑦3x2与2,同类项有(填序号)
例3.如果1xky与12是同类项,则k=,1xky+(1
3—3xy3
例4.直接写出下列各式的结果:
11
-x2y)=.
3
(1)-xy+xy=
;
(2)7a2b+2a2b=;(3)-x-3x+2x=;
(4)
2121
;(5)3xy-7xy=.
x2y-x2y-x2y=
23
例5.合并下列多项式中的同类项.
22
(1)4x2y-8xy2+7-4x2y+10xy2-4;
(2)a2-2ab+b2+a2+2ab+b2.
(3)3x2+5x-6x2-1(4)6xy2-2x2+4x2y-5yx2+x2
例6.若x≠0,y≠0,1xy2+axy2=0,则a=
2
练习:
1、单项式2axb2与-a3by是同类项,则x=,y=
2、下列各组中:
①5x2y与1xy;②-5x2y与1yx2;③5ax2与1yx2;④83与x3;⑤-x2与1x2;⑥
5552
3x2与x⑦3x2与2,同类项有(填序号)
3、合并同类项:
①3x2+5x-6x2-1
4、若x≠0,y≠0,1xy2+axy2=0,则a=
2
②6xy2-2x2+4x2y-5yx2+x2
四、去括号法则
1.去括号法则:
(1)括号前是“+”号,把括号和前面的“+”号去掉,括号里的各项的符号都不改变。
(2)括号前是
“-”号,把括号和前面的“-”号去掉,括号里的各项的符号都要改变。
2.去括号法则中乘法分配律的应用:
若括号前有因式,应先利用乘法分配律展开,同时注意去括号时符号的变化规
律。
3.
多重括号的化简原则
(1)由里向外逐层去掉括号
(2)由外向里逐层去掉括号
例1、一个两位数,十位数字是x,个位数字比十位数字2倍少3,这个两位数是例2、去括号,合并同类项
(1)-3(2s-5)+6s
(2)3x-[5x-(1x-4)]2
(3)6a2-4ab-4(2a2+1ab)(4)-3(2x2-xy)+4(x2+xy-6)
2
(5)((x+y)-(x-y)(6)2(m-n)-3(m-x)+2x
5
)
(7)2x2-3x+1-(5-3x+x2)(8)(2a2-1+3a)-4(a-a2+1)22
(9)a+(5a-3b)-2(-a-2b)(10)1m2n-nm2-1mn2+1n2m
326
练习:
1、化简:
①(x+y)-(x-y)
②2(m-n)-3(m-x)+2x
2、一个两位数,十位数字是x,个位数字比十位数字2倍少3,这个两位数是
3、化简:
(1)2x2-3x+1-(5-3x+x2)
(2)(2a2-1+3a)-4(a-a2+1)
22
(3)a+(5a-3b)-2(-a-2b)(4)1m2n-nm2-1mn2+1n2m
326
五、代数式求值——先化简,再求值
代数式求值1)、用具体的数值代替代数式中的字母,按照代数式的运算关系计算,所得的结果是代数式的值。
2)求代数式的值时应注意以下问题:
(1)严格按求值的步骤和格式去做.
(2)一个代数式中的同一个字母,只能用同一个数值代替,若有多个字母,代入时要注意对应关系,千万不能混淆.(3)在代入值时,原来省略的乘号要恢复,
而数字和其他运算符号不变(4)字母取负数代入时要添括号(5)有乘方运算时,如果代入的数是分数或负数,
要加括号
1(x-y)2
例1当x=,y=-3时,求下列代数式的值:
(1)3x2-2y2+1;
(2)
3xy-1
例2当x=-2时,求代数式5x-(4x-1)的值
例3已知a,b互为倒数,m,n互为相反数,求代数式-(2m+2n-3ab)2的值例4化简,求值:
①9ab+6b2-3(ab-2b2)-1,其中a=1,b=-1
32
②1x-2(x-1y2)+(-3x+1y2),其中x=-2,y=2
23233
经典例题
例题1.若abx与ayb2是同类项,下列结论正确的是()
A.X=2,y=1B.X=0,y=0C.X=2,y=0D、X=1,y=1
例题2.2x-x等于()
A.xB.-xC.3xD.-3x
例题3.x-(2x-y)的运算结果是()
A.-x+yB.-x-yC.x-yD.3x-y
练习:
1、当x=-2时,求代数式5x-(4x-1)的值
2、已知a,b互为倒数,m,n互为相反数,求代数式-(2m+2n-3ab)2的值
3、已知m-n=-2
3
求7-3m-3n的值。
4、化简,求值:
①9ab+6b2-3(ab-2b2)-1,其中a=1,b=-1
32
②1x-2(x-1y2)+(-3x+1y2),其中x=-2,y=2
23233
5、已知A=x2y-2xy2+1,B=-2x2y+xy2-1,x=-2,y=1,求2A-B
2
六、探索规律列代数式
例题1.观察下列数表:
根据数表所反映的规律,猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为,第n行与第n列交叉点上的数应为
(用含有n的代数式表示,n为正整数)
例题2.观察下列各等式:
(1)以上各等式都有一个共同的特征:
某两个实数的一等于这两个实数的;如果等号左边的第一个实数用x表示,第二个实数用y表示,那么这些等式的共同特征可用含x,y的等式表示为
.
(2)将以上等式变形,用含y的代数式表示x为;
(3)请你再找出一组满足以上特征的两个实数,并写出等式形式:
例题3.一串有黑有白,其排列有一定规律的珠子,被盒子遮住一部分如图1―3―3所示,则这串珠子被盒子遮住的部分有颗.
1、代数式-1xy的系数是
2
2、-2ab的系数为
综合练习题
.
3、化简:
2y2+6y-3y2-5y=
4、下列各题中,去括号正确的是()
A.2a2-(3a-2b+c)=2a2-3a-2b+cB.3a-(5b-2c+1)=3a-5b+2c-1
C.a+(-3x-2y-1)=a-3x-2y+1
5、-a+2b-3c的相反数是()
D.-(a-2b)-(c-2)=-a-2b+c-2
A.a-2b+3cB.a-2b-3cC.a+2b-3cD.a+2b+3c
6、计算:
5(2x-7y)-3(4x-10y)
7、计算-22-(-3)3⨯(-1)4-(-1)5
8、计算16÷(-22)-(-1)⨯(-2)2
4
9、长方形的一边长为3a+2b,另一边比它大a-b,求这个长方形的周长。
10、
(1)当a=1,b=-1时,分别求代数式①a2-2ab+b2;②(a-b)2的值.
(2)当a=-1,b=1时,分别求代数式①a2-2ab+b2;②(a-b)2的值.
23
(3)观察
(1)
(2)中代数式的值,a2-2ab+b2与(a-b)2有何关系?
(4)利用你发现的规律,求135.72-2⨯135.7⨯35.7+35.72的值.
课后作业
(一)
1、甲乙两地相距x千米,某人原计划t小时到达,后因故提前1小时到达,则他每小时应比原计划多走千米;
23xy2-2+x2的次数是,-2(a+b)2的系数是
、代数式
5
3、当x-y=2时,代数式(x-y)2+2(x-y)+5的值是.
4.已知4y2—2y+5=9时,则代数式2y2—y+1等于.
5.已知│a-1│+(2a-b)2=0,那么3ab–15b2-6ab+15a-2b2等于.
1x2+4xy
6、当x=3,y=2时,求下列代数式的值:
(1)2x2-4xy2+4y;
(2)2xy-y2
7、小明读一本共m页的书,第一天读了该书的1,第二天读了剩下的1.
35
(1)用代数式表示小明两天共读了多少页.
(2)求当m=120时,小明两天读的页数.
8、当x=-1,y=-2时,求2x2-5xy+2y2-x2-xy-2y2-3x2的值。
9、.去括号-(a2b+2ab2-3)=,1-2(-3a2
10、-a+2b-3c的相反数是()
+
4ab-
1)=.
3
A.a-2b+3cB.a-2b-3cC.a+2b-3cD.a+2b+3c
11、化简2a-5(a+1)的结果是()
A.-3a+5B.3a-5C.-3a-5D.-3a-1
12.求下列多项式的值:
(1)221221,其中a=1;
32342
22322,其中x=2,y=1.
(2)、3x2y2+2xy-7xy-xy+2+4xy
24
13、先化简,再求值。
(1)(5a2-3b2)+(a2-b2)-(5a2-2b2)其中a=-1,b=1
(2)9a3-[-6a2+2(a3-2a2)]其中a=-2
3
14、
(1)已知一个多项式与a2-2a+1的和是a2+a-1,求这个多项式。
(2)已知A=2x2+y2+2z,B=x2-y2+z,求2A-B
课后作业
(二)
1.将如图两个框中的同类项用线段连起来:
32m13
2.当m=时,-xb
与xb是同类项.
4
3.如果5akb与-4a2b是同类项,那么5akb+(-4a2b)=.
4、下列各组中两项相互为同类项的是()
第1题
A.2x2y与-xy2;B.0.5a2b与0.5a2c;C.3b与3abc;D.-0.1m2n与1m2n
32
5、下列说法正确的是()
A.字母相同的项是同类项B.只有系数不同的项,才是同类项C.-1与0.1是同类项D.-x2y与xy2是同类项
6、合并下列各式中的同类项:
(1)-4x2y-8xy2+2x2y-3xy2;
(2)3x2-1-2x-5+3x-x2;
(3)-0.8a2b-6ab-1.2a2b+5ab+a2b;(4)5yx-3x2y-7xy2+6xy-12xy+7xy2+8x2y.
(5)2(x-y)2—3(x-y)+5(x-y)2+3(x-y)
7、先化简,再求值
2(a2b+ab2)-2(a2b-1)-2ab2-2,其中,a=-2,b=2
8、已知(a-2)2+b+1=0,求5ab2-[2a2b-(4ab2-2a2b)]的值。
课后作业(三)
1、代数式-1xy的系数是.
2
2、-2ab的系数为
3、化简:
2y2+6y-3y2-5y=
4、下列各题中,去括号正确的是()
A.2a2-(3a-2b+c)=2a2-3a-2b+cB.3a-(5b-2c+1)=3a-5b+2c-1
C.a+(-3x-2y-1)=a-3x-2y+1
5、-a+2b-3c的相反数是()
D.-(a-2b)-(c-2)=-a-2b+c-2
A.a-2b+3cB.a-2b-3cC.a+2b-3cD.a+2b+3c
6、计算:
5(2x-7y)-3(4x-10y)7、计算-22-(-3)3⨯(-1)4-(-1)5
8、计算16÷(-22)-(-1)⨯(-2)2
4
9、长方形的一边长为3a+2b,另一边比它大a-b,求这个长方形的周长。
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