完整版二次函数最大利润应用题含答案.docx
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完整版二次函数最大利润应用题含答案
二次函数最大利润应用题参考答案与试题解析1.某企业生产并销售某种产品,假设销售量与产量相等,如图中的折线ABD、
线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位:
元)、销售价y2(单位:
元)与产量x(单位:
kg)之间的函数关系.
(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义;
(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式;
【解答】解:
(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义:
当产量为130kg时,该产品每千克生产成本与销售价相等,都为42元;
(2)设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y=k1x+b1,∵y=k1x+b1的图象过点(0,60)与(90,42),
∴
∴,
∴这个一次函数的表达式为;y=﹣0.2x+60(0≤x≤90);
(3)设y2与x之间的函数关系式为y=k2x+b2,
∵经过点(0,120)与(130,42),
∴,
解得:
,
∴这个一次函数的表达式为y2=﹣0.6x+120(0≤x≤130),
设产量为xkg时,获得的利润为W元,
2
当0≤x≤90时,W=x([﹣0.6x+120)﹣(﹣0.2x+60)]=﹣0.4(x﹣75)2+2250,
∴当x=75时,W的值最大,最大值为2250;
当90≤x≤130时,W=x[(﹣0.6x+120)﹣42]=﹣0.6(x﹣65)2+2535,
由﹣0.6<0知,当x>65时,W随x的增大而减小,∴90≤x≤130时,W≤2160,
2
∴当x=90时,W=﹣0.6(90﹣65)2+2535=2160,因此当该产品产量为75kg时,获得的利润最大,最大值为2250.
2.某企业接到一批粽子生产任务,按要求在15天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只6元,为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只,y与x满足下列关系式:
y=
(1)李明第几天生产的粽子数量为420只?
(2)如图,设第x天每只粽子的成本是p元,p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若李明第x天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大,最大利润是多少元?
(利润=出厂价﹣成本)
(3)设
(2)小题中第m天利润达到最大值,若要使第(m+1)天的利润比第m天的利润至少多48元,则第(m+1)天每只粽子至少应提价几元?
【解答】解:
(1)设李明第n天生产的粽子数量为420只,由题意可知:
30n+120=420,
解得n=10.
答:
第10天生产的粽子数量为420只.
2)由图象得,当0≤x≤9时,p=4.1;当9≤x≤15时,设P=kx+b,把点(9,4.1),(15,4.7)代入得,
解得,∴p=0.1x+3.2,
①0≤x≤5时,w=(6﹣4.1)×54x=102.6x,当x=5时,w最大=513(元);②5 ∵x是整数, ∴当x=9时,w最大=741(元); ③9 ∴当x=﹣=12时,w最大=768(元); 综上,当x=12时,w有最大值,最大值为768. (3)由 (2)可知m=12,m+1=13, 设第13天提价a元,由题意得,w13=(6+a﹣p)(30x+120)=510(a+1.5),∴510(a+1.5)﹣768≥48,解得a=0.1. 答: 第13天每只粽子至少应提价0.1元. 3.近期,海峡两岸关系的气氛大为改善.大陆相关部门对原产台湾地区的15 种水果实施进口零关税措施,扩大了台湾水果在大陆的销售.某经销商销售了台湾水果凤梨,根据以往销售经验,每天的售价与销售量之间有如下关系: 每千克销售(元)40393837⋯30 每天销量(千克)60657075⋯110 设当单价从40元/千克下调了x元时,销售量为y千克; (1)写出y与x间的函数关系式; (2)如果凤梨的进价是20元/千克,若不考虑其他情况,那么单价从40元/千克下调多少元时,当天的销售利润W最大? 利润最大是多少? (3)目前两岸还未直接通航,运输要绕行,需耗时一周(七天),凤梨最长的保存期为一个月(30天),若每天售价不低于32元/千克,问一次进货最多只能是多少千克? (4)若你是该销售部负责人,那么你该怎样进货、销售,才能使销售部利润最大? 【解答】解: (1)y=60+5x 2 (2)w=(40﹣x﹣20)y=﹣5(x﹣4)2+1280∴下调4元时当天利润最大是1280元 (3)设一次进货m千克,由售价32元/千克得x=40﹣32=8, 此时y=60+5x=100, ∴m≤100×(30﹣7)=2300,答: 一次进货最多2300千克(4)下调4元时当天利润最大, 由x=4,y=60+5x=80,m=80×(30﹣7)=1840千克 ∴每次进货1840千克,售价36元/千克时,销售部利润最大. 解得 4.某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务,想转行经营服装专卖店又缺少资金.“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金,并约定利用经营的利润偿还债务(所有债务均不计利息).已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元,该品牌服装日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的关系可用图中的一条折线(实线)来表示.该店应支付员工的工资为每人每天82元,每天还应支付其它费用为106元(不包含债务). (1)求日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式; (2)若该店暂不考虑偿还债务,当某天的销售价为48元/件时,当天正好收支平衡(收人=支出),求该店员工的人数; (3)若该店只有2名员工,则该店最早需要多少天能还清所有债务,此时每件服装的价格应定为多少元? 设y与x的函数解析式为y=k1x+b1,由图象 ∴y=﹣2x+140. 当58 , 解得 ∴y=﹣x+82, (2)设人数为a,当x=48时,y=﹣2×48+140=44, ∴(48﹣40)×44=106+82a, 解得a=3; 3)设需要b天,该店还清所有债务,则: b[(x﹣40)? y﹣82×2﹣106]≥68400, x=﹣时,﹣2x2+220x﹣5870的最大值为180, ∴b,即b≥380; b = 当58 当x=﹣=61时,﹣x2+122x﹣3550的最大值为171, ∴b,即b≥400. 综合两种情形得b≥380,即该店最早需要380天能还清所有债务,此时每件服装的价格应定为55元. 5.某公司经营杨梅业务,以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后,分拣成A、B两类,A类杨梅包装后直接销售;B类杨梅深加工后再销售.A类杨梅的包装成本为1万元/吨,根据市场调查,它的平均销售价格y(单位: 万元/吨)与销售数量x(x≥2)之间的函数关系如图;B类杨梅深加工总费用s(单位: 万元)与加工数量t(单位: 吨)之间的函数关系是s=12+3t,平均销售价格为9万元/吨. (1)直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式; (2)第一次,该公司收购了20吨杨梅,其中A类杨梅有x吨,经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元(毛利润=销售总收入﹣经营总成本). ①求w关于x的函数关系式; ②若该公司获得了30万元毛利润,问: 用于直销的A类杨梅有多少吨? (3)第二次,该公司准备投入132万元资金,请设计一种经营方案,使公司获 将A(2,12)、B(8,6)代入得: ,解得 ∴y=﹣x+14; ②当x≥8时,y=6. 所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为: y= (2)设销售A类杨梅x吨,则销售B类杨梅(20﹣x)吨. ①当2≤x<8时, 2wA=x(﹣x+14)﹣x=﹣x+13x;wB=9(20﹣x)﹣[12+3(20﹣x)]=108﹣6x∴w=wA+wB﹣3×20 =(﹣x2+13x)+(108﹣6x)﹣60=﹣x2+7x+48;当x≥8时, wA=6x﹣x=5x;wB=9(20﹣x)﹣[12+3(20﹣x)]=108﹣6x∴w=wA+wB﹣3×20 =(5x)+(108﹣6x)﹣60=﹣x+48. ∴w关于x的函数关系式为: w=. 2 ②当2≤x<8时,﹣x2+7x+48=30,解得x1=9,x2=﹣2,均不合题意;当x≥8时,﹣x+48=30,解得x=18. ∴当毛利润达到30万元时,直接销售的A类杨梅有18吨. (3)设该公司用132万元共购买了m吨杨梅,其中A类杨梅为x吨,B类杨梅为(m﹣x)吨, 则购买费用为3m万元,A类杨梅加工成本为x万元,B类杨梅加工成本为[12+3(m﹣x)]万元, ∴3m+x+[12+3(m﹣x)]=132,化简得: x=3m﹣60.①当2≤x<8时, 2wA=x(﹣x+14)﹣x=﹣x+13x;wB=9(m﹣x)﹣[12+3(m﹣x)]=6m﹣6x﹣12∴w=wA+wB﹣3×m 2=(﹣x2+13x)+(6m﹣6x﹣12)﹣3m 2=﹣x+7x+3m﹣12.将3m=x+60代入得: w=﹣x2+8x+48=﹣(x﹣4)2+64∴当x=4时,有最大毛利润64万元, 此时m=,m﹣x=; ②当x≥8时, wA=6x﹣x=5x;wB=9(m﹣x)﹣[12+3(m﹣x)]=6m﹣6x﹣12 ∴w=wA+wB﹣3×m =(5x)+(6m﹣6x﹣12)﹣3m =﹣x+3m﹣12. 将3m=x+60代入得: w=48 ∴当x>8时,有最大毛利润48万元. 综上所述,购买杨梅共吨,其中A类杨梅4吨,B类吨,公司能够获得最大 6.为了落实国务院的指示精神,某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克20元,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系: y=﹣2x+80.设这种产品每天的销售利润为w元. (1)求w与x之间的函数关系式. (2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大? 最大利润是多少元? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克多少元? 【解答】解: (1)由题意得出: w=(x﹣20)? y =(x﹣20)(﹣2x+80)=﹣2x2+120x﹣1600,故w与x的函数关系式为: w=﹣2x2+120x﹣1600; 22 (2)w=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2(x﹣30)2+200, ∵﹣2<0, ∴当x=30时,w有最大值.w最大值为200. 答: 该产品销售价定为每千克30元时,每天销售利润最大,最大销售利润200元. 2 3)当w=150时,可得方程﹣2(x﹣30)2+200=150. 解得x1=25,x2=35. ∵35>28, ∴x2=35不符合题意,应舍去. 答: 该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克25元. 7.某公司销售一种进价为20元/个的计算器,其销售量y(万个)与销售价格x(元/个)的变化如下表: 价格x(元/个)⋯30405060⋯ 销售量y(万个)⋯5432⋯ 同时,销售过程中的其他开支(不含进价)总计40万元. (1)观察并分析表中的y与x之间的对应关系,用所学过的一次函数,反比例函数或二次函数的有关知识写出y(万个)与x(元/个)的函数解析式. (2)求出该公司销售这种计算器的净得利润z(万元)与销售价格x(元/个)的函数解析式,销售价格定为多少元时净得利润最大,最大值是多少? (3)该公司要求净得利润不能低于40万元,请写出销售价格x(元/个)的取值范围,若还需考虑销售量尽可能大,销售价格应定为多少元? y=﹣x+8; 【解答】解: (1)根据表格中数据可得出: y与x是一次函数关系,设解析式为: y=ax+b, 则 , , 解得: 故函数解析式为: (2)根据题意得出: z=(x﹣20)y﹣40 =(x﹣20)(﹣x+8)﹣40 =﹣x2+10x﹣200, 2 =﹣(x2﹣100x)﹣200 =﹣[(x﹣50)2﹣2500]﹣200 =﹣(x﹣50)2+50, 故销售价格定为50元/个时净得利润最大,最大值是50万元. 3)当公司要求净得利润为40万元时,即﹣(x﹣50)2+50=40,解得: x1=40, x2=60. 40≤x≤60.x+8,y随x的增大而减少,因此,若还需考虑销售量尽可能大,销售价格应定为40元/个. 8.某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营,了解到一种成本为 20元/件的新型商品在x天销售的相关信息如表所示. 销售量p(件)p=50﹣x 销售单价q(元/件)当1≤x≤20时,q=30+x 当21≤x≤40时,q=20+ (1)请计算第几天该商品的销售单价为35元/件? (2)求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式; (3)这40天中该网店第几天获得的利润最大? 最大的利润是多少? 【解答】解: (1)当1≤x≤20时,令30+x=35,得x=10, 当21≤x≤40时,令20+=35,得x=35,经检验得x=35是原方程的解且符合题意 即第10天或者第35天该商品的销售单价为35元/件. 当21≤x≤40时,y=(20+﹣20)(50﹣x)=﹣525, 即y=, 3)当1≤x≤20时,y=﹣x2+15x+500=﹣(x﹣15)2+612.5, ∵﹣<0, ∴当x=15时,y有最大值y1,且y1=612.5, 当21≤x≤40时,∵26250>0, ∴随x的增大而减小, 当x=21时,最大, 于是,x=21时,y=﹣525有最大值y2,且y2=﹣525=725, ∵y1 ∴这40天中第21天时该网店获得利润最大,最大利润为725元. 9.某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎,每年可在国内、国外市场上全部售完.该公司的年产量为6千件,若在国内市场销售,平均每件产品的利润y1(元)与国内销售量x(千件)的关系为: y= y1= 若在国外销售,平均每件产品的利润y2(元)与国外的销售数量t(千件)的关系为 (1)用x的代数式表示t为: t=6﹣x;当0 y2=5x+80;当4≤x<6时,y2=100; (2)求每年该公司销售这种健身产品的总利润w(千元)与国内销售数量x(千件)的函数关系式,并指出x的取值范围; (3)该公司每年国内、国外的销售量各为多少时,可使公司每年的总利润最大? 最大值为多少? 【解答】解: (1)由题意,得x+t=6, ∴t=6﹣x; ∵,∴当0 此时y2与x的函数关系为: y2=﹣5(6﹣x)+110=5x+80;当4≤x<6时,0<6﹣x≤2,即0 此时y2=100. 故答案为: 6﹣x;5x+80;4,6; (2)分三种情况: ①当0 2 ②当2 2 ③当4 综上可知,w=; 22 (3)当0 ∴当x>3时,w随x的增大而减小, ∴没有w最大. 故该公司每年国内、国外的销售量各为4千件、2千件,可使公司每年的总利润最大,最大值为640千元. 10.某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后,进行这两种产品加工.已知生产甲种产品每件还需成本费30元,生产乙种产品每件还需成本费20元.经市场调研发现: 甲种产品的销售单价为x(元),年销售量为y(万件),当35≤x<50时,y与x之间的函数关系式为y=20﹣0.2x;当50≤x≤70时,y与x的函数关系式如图所示,乙种产品的销售单价,在25元(含)到45元(含)之间,且年销售量稳定在10万件.物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元. (1)当50≤x≤70时,求出甲种产品的年销售量y(万元)与x(元)之间的函数关系式. (2)若公司第一年的年销售量利润(年销售利润=年销售收入﹣生产成本)为W(万元),那么怎样定价,可使第一年的年销售利润最大? 最大年销售利润是多少? (3)第二年公司可重新对产品进行定价,在 (2)的条件下,并要求甲种产品的销售单价x(元)在50≤x≤70范围内,该公司希望到第二年年底,两年的总盈利(总盈利=两年的年销售利润之和﹣投资成本)不低于85万元.请直接写出第二年乙种产品的销售单价m(元)的范围. 【解答】解: (1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0), ∵函数图象经过点(50,10),(70,8), ∴, ∴, 解得, 所以,y=﹣0.1x+15; (2)∵乙种产品的销售单价在25元(含)到45元(含)之间,∴, ∴, 解之得45≤x≤65, 145≤x<50时,W=(x﹣30)(20﹣0.2x)+10(90﹣x﹣20), 2 =﹣0.2x2+16x+100, 2 =﹣0.2(x2﹣80x+1600)+320+100, =﹣0.2(x﹣40)2+420, ∵﹣0.2<0, ∴x>40时,W随x的增大而减小, ∴当x=45时,W有最大值,W最大=﹣0.2(45﹣40)2+420=415万元; 250≤x≤65时,W=(x﹣30)(﹣0.1x+15)+10(90﹣x﹣20), 2 =﹣0.1x2+8x+250, =﹣0.1(x2﹣80x+1600)+160+250, =﹣0.1(x﹣40)2+410, ∵﹣0.1<0, ∴x>40时,W随x的增大而减小, ∴当x=50时,W有最大值,W最大=﹣0.1(50﹣40)2+410=400万元.综上所述,当x=45,即甲、乙两种产品定价均为45元时,第一年的年销售利润最大,最大年销售利润是415万元; 22 (3)根据题意得,W=﹣0.1x2+8x+250+415﹣700=﹣0.1x2+8x﹣35,令W=85,则﹣0.1x2+8x﹣35=85,解得x1=20,x2=60. 又由题意知,50≤x≤65,根据函数与x轴的交点可知50≤x≤60, 即50≤90﹣m≤60, ∴30≤m≤40. 11.某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100.(利润=售价﹣制造成本) (1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式; (2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得350万元的利润? 当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润? 最大利润是多少? (3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于32元,如果厂商要获得每月不低于350万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元? 【解答】解: (1)z=(x﹣18)y=(x﹣18)(﹣2x+100) =﹣2x2+136x﹣1800, 2 ∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800(x>18); 2 (2)由z=350,得350=﹣2x2+136x﹣1800,解这个方程得x1=25,x2=43所以,销售单价定为25元或43元, 将z=﹣2x2+136x﹣1800配方,得z=﹣2(x﹣34)2+512(x>18),答;当销售单价为34元时,每月能获得最大利润,最大利润是512万元;(3)结合 (2)及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象(如图所示)可知,当25≤x≤43时z≥350, 又由限价32元,得25≤x≤32,根据一次函数的性质,得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小, ∵x最大取32, ∴当x=32时,每月制造成本最低.最低成本是18×(﹣2×32+100)=648(万元), 答: 每月最低制造成本为648万元. 12.某科技开发公司研制出一种新型的产品,每件产品的成本为2400元,销售 单价定为3000元,在该产品的试销期间,为了促销,鼓励商家购买该新型产品,公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时,每件按3000元销售;若一次购买该种产品超过10件时,每多购买一件,所购买的全部产品的销售单价均降低10元,但销售单价均不低于2600元. (1)商家一次购买这种产品多少件时,销售单价恰好为2600元? (2)设商家一次购买这
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