苏科版九年级数学上册 第一章 一元二次方程 典型例题解析学生用.docx
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苏科版九年级数学上册第一章一元二次方程典型例题解析学生用
【培优提高训练】苏科版九年级数学上册第一章一元二次方程典型例题解析
一、解答题
1.解方程:
(1)2x2+x﹣3=0(用公式法)
(2)(x﹣1)(x+3)=12.
2.已知是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根,且满足,求m的值.
3.已知关于x的方程x2﹣(k+1)x+k2+1=0有两个实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若方程的两实数根分别为x1、x2,且满足|x1|+|x2|=4x1x2﹣5,求k的值.
4.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.
(1)当m=3时,判断方程的根的情况;
(2)当m=-3时,求方程的根.
5.已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+2=0的两实数根x1、x2满足x1x2=x1+x2﹣2.
(1)求a的值;
(2)求出该一元二次方程的两实数根.
6.若x1、x2是关于x一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系:
x1+x2=-,x1x2=,把它们称为一元二次方程根与系数关系定理.已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根.
(1)若(x1﹣1)(x2﹣1)=28,求m的值.
(2)已知等腰△ABC的一腰长为7,若x1、x2恰好是△ABC另外两边的边长,求这个三角形的周长.
7.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2m+3)x+m2+2=0.
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围;
(2)若方程两实数根分别为x1、x2,且满足x12+x22=31+|x1x2|,求实数m的值.
8.某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是30元,根据市场调查发现:
在一段时间内,当销售单价是40元时,销售量是600件,而销售单价每涨1元,就会少售出10件玩具.若商场要获得10000元销售利润,该玩具销售单价应定为多少元?
售出玩具多少件?
9.已知a、b、c为三角形三个边,
+bx(x-1)=
-2b是关于x的一元二次方程吗?
10.如图,利用一面足够长的墙,用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD,在AB和BC边各有一个2米宽的小门(不用铁栅栏),设矩形ABCD的宽AD为x米,矩形的长为AB(且AB>AD).
(1)若所用铁栅栏的长为40米,用含x的代数式表示矩形的长AB;
(2)在
(1)的条件下,若使矩形场地面积为192平方米,则AD、AB的长应分别为多少米?
11.某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件,每件获利40元。
为了迎接“六一”儿童节和扩大销售,增加利润,商场决定采取适当的降价措施,经过市场调查,发现如果每件童装每降价1元,则平均每天可多售出2件,要想平均每天在销售这种童装上获利1200元,并且尽快减少库存,那么每件童装应降价多少元?
12.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=1cm,AB=3cm,BC=5cm,动点P从点B出发以1cm/s的速度沿BC的方向运动,动点Q从点C出发以2cm/s的速度沿CD方向运动,P、Q两点同时出发,当Q到达点D时停止运动,点P也随之停止,设运动的时间为ts(t>0)
(1)求线段CD的长;
(2)t为何值时,线段PQ将四边形ABCD的面积分为1:
2两部分?
二、综合题
13.解下列方程:
(1)(2x-1)2=4
(2)(用配方法)
(3)x2+2x=4.(4)
14.如图所示,在长和宽分别是
、
的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为
的正方形.
(1)用
,
,
表示纸片剩余部分的面积;
(2)当
=6,
=4,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时,求剪去的正方形的边长.
15.已知关于x的一元二次方程x2+2x+a=0,
(1)若该方程的一个根为1,求a的值及该方程的另一根;
(2)若方程有两个不相等的实数根,求a的取值范围.
16.商场购进某种新商品的每件进价为120元,在试销期间发现,当每件商品的售价为130元时,每天可销售70件;当每件商品的售价高于130元时,每涨价1元,日销售量就减少1件,据此规律,请回答下列问题.
(1)当每件商品的售价为140元时,每天可销售________件商品,商场每天可盈利________元;
(2)设销售价定为x元时,商品每天可销售________件,每件盈利________元;
(3)在销售正常的情况下,每件商品的销售价定为多少时,商场每天盈利达到1500元.
17.某服装批发商计划以每件500元的单价对外批发销售某种品牌的羽绒服,由于临近换季,为了尽快清仓,回收资金,对价格经过两次下调后,以每件320元的单价对外销售.
(1)求平均每次下调的百分率;
(2)请按此调幅,预测第三次下调后的销售单价是多少元?
18.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a﹣c)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x=﹣1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
19.随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等)建设稳步推进,拥有的养老床位不断增加.
(1)该市的养老床位数从2019年底的2万个增长到2019年底的2.88万个,求该市这两年(从2019年度到2019年底)拥有的养老床位数的平均年增长率;
(2)若该市某社区今年准备新建一养老中心,其中规划建造三类养老专用房间共100间,这三类养老专用房间分别为单人间(1个养老床位),双人间(2个养老床位),三人间(3个养老床位),因实际需要,单人间房间数在10至30之间(包括10和30),且双人间的房间数是单人间的2倍,设规划建造单人间的房间数为t.
①若该养老中心建成后可提供养老床位200个,求t的值;
②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个?
最少提供养老床位多少个?
20.已知:
如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC=12cm,BD=16cm.点P从点A出发,沿AB方向匀速运动,速度为1cm/s;过点P作直线PF∥AD,PF交CD于点F,过点F作EF⊥BD,且与AD、BD分别交于点E、Q;连接PE,设点P的运动时间为t(s)(0<t<10).
解答下列问题:
(1)填空:
AB=________ cm;
死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。
其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。
相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。
(2)当t为何值时,PE∥BD;
(3)设四边形APFE的面积为y(cm2)
①求y与t之间的函数关系式;
②若用S表示图形的面积,则是否存在某一时刻t,使得S四边形APFE=S菱形ABCD?
若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
21.已知关于x的一元二次方程
有两个非零实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)两个非零实数根能否同为正数或同为负数?
若能,请求出相应的m的取值范围,若不能,请说明理由.
22.为了巩固全国文明城市建设成果,突出城市品质的提升,近年来,我市积极落实节能减排政策,推行绿色建筑,据统计,我市2019年的绿色建筑面积约为950万平方米,2019年达到了1862万平方米.若2019年、2019年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增,请解答下列问题:
(1)求这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率;
(2)2019年我市计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米.如果2019年仍保持相同的年平均增长率,请你预测2019年我市能否完成计划目标?
答案解析部分
一、解答题
1.【答案】解:
(1)2x2+x﹣3=0(用公式法)
∵a=2,b=1,c=﹣3
b2﹣4ac=25>0
x=
∴x1=1,x2=-;
(2)化为一般形式,
得:
x2+2x﹣15=0
(x+5)•(x﹣3)=0
(x+5)=0或(x﹣3)=0
∴x1=﹣5,x2=3.
2.【答案】解:
∵方程有两个不相等的实数根,
∴,
解得:
,
依题意得:
,
∴.
解得:
,
经检验:
是原方程的解,
∵,
∴.
3.【答案】解:
(1)∵原方程有两个实数根,
∴△=(k+1)2﹣4(k2+1)=2k﹣3≥0
解得:
k≥;
(2)∵k≥,
∴x1+x2=k+1>0.
又∵x1•x2=k2+1>0,
∴x1>0,x2>0,
∴|x1|+|x2|=x1+x2=k+1.
∵|x1|+|x2|=4x1x2﹣5,
∴k+1=4(k2+1)﹣5,
∴k2﹣k﹣2=0,
∴k1=﹣1,k2=2,
又∵k≥,
∴k=2.
4.【答案】解:
(1)∵当m=3时,
△=b2-4ac=22-4×3=-8<0,
∴原方程无实数根;
(2)当m=-3时,
原方程变为x2+2x-3=0,
∵(x-1)(x+3)=0,
∴x-1=0,x+3=0,
∴x1=1,x2=-3.
5.【答案】解:
(1)∵x1+x2=a,x1x2=2,
又x1x2=x1+x2﹣2,
∴a﹣2=2,a=4;
(2)方程可化为x2﹣4x+2=0,
∴(x﹣2)2=2,
解得:
x﹣2= 或x﹣2=﹣,
∴x1=2+,x2=2﹣.
6.【答案】解:
(1)∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根,
∴x1+x2=2(m+1),x1x2=m2+5,
∵(x1﹣1)(x2﹣1)=28,即x1x2﹣(x1+x2)+1=28,
∴m2+5﹣2(m+1)+1=28,解得:
m=﹣4或m=6,
当m=﹣4时原方程无解,
∴m=6;
(2)当等腰三角形的腰长为7时,即方程的一个解为7,
将x=7代入原方程得:
49﹣14(m+1)+m2+5=0,
解得:
m=10或m=4,
当m=10时,方程为x2﹣22x+105=0,解得:
x=7或x=15,
∵7+7<15,不能组成三角形;
当m=4时,方程为x2﹣10x+21=0,解得:
x=3或x=7,
此时三角形的周长为:
7+7+3=17.
7.【答案】解:
(1)∵关于x的一元二次方程x2﹣(2m+3)x+m2+2=0有实数根,
∴△≥0,即(2m+3)2﹣4(m2+2)≥0,
∴m≥﹣;
(2)根据题意得x1+x2=2m+3,x1x2=m2+2,
∵x12+x22=31+|x1x2|,
∴(x1+x2)2﹣2x1x2=31+|x1x2|,
即(2m+3)2﹣2(m2+2)=31+m2+2,
解得m=2,m=﹣14(舍去),
∴m=2.
8.【答案】解:
设该玩具的销售单价应定为元
根据题意,得
解得
当时,件,当时,件.
答:
该玩具的销售单价定为元时,售出500件;或售价定为元时售出200件.
9.【答案】是
10.【答案】
(1)解:
∵AD+BC-2+AB-2=40,AD=BC=x,∴AB=-2x+44;
(2)解:
由题意得,(-2x+44)•x=192,即2x2-44x+192=0,
解得x1=6,x2=16,
∵x2=16>(舍去),
∴AD=6,
∴AB=-2×6+44=32.
答:
AD长为6米,AB长为32米.
11.【答案】解:
设每件童装应降价x元,由题意得:
(40-x)(20+2x)=1200,
解得:
x1=20,x2=10,
当x=20时,20+2x=60(件),
当x=10时,20+2x=40(件),
∵60>40,
∴x2=10舍去.
答:
每件童装应降价20元.
12.【答案】
(1)解:
如图1,作DE⊥BC于E,则四边形ADEB是矩形.
∴BE=AD=1,DE=AB=3,
∴EC=BC﹣BE=4,
在Rt△DEC中,DE2+EC2=DC2,
∴DC==5厘米;
(2)解:
∵点P的速度为1厘米/秒,点Q的速度为2厘米/秒,运动时间为t秒,
∴BP=t厘米,PC=(5﹣t)厘米,CQ=2t厘米,QD=(5﹣2t)厘米,
且0<t≤2.5,
作QH⊥BC于点H,
∴DE∥QH,
∴∠DEC=∠QHC,
∵∠C=∠C,
∴△DEC∽△QHC,
∴=,即=,
∴QH=t,
∴S△PQC=PC•QH=(5﹣t)•t=﹣t2+3t,
S四边形ABCD=(AD+BC)•AB=(1+5)×3=9,
分两种情况讨论:
①当S△PQC:
S四边形ABCD=1:
3时,
﹣t2+3t=×9,即t2﹣5t+5=0,
解得t1=,t2=(舍去);
②S△PQC:
S四边形ABCD=2:
3时,
﹣t2+3t=×9,即t2﹣5t+10=0,
∵△<0,
∴方程无解,
∴当t为秒时,线段PQ将四边形ABCD的面积分为1:
2两部分.
二、综合题
13.【答案】
(1)解:
∵(2x-1)2=4,
∴2x-1=2或2x-1=-2,
∴x1=,x2=-,
(2)解:
∵x2-4x+1=0,
∴x2-4x+4=-1+4,
∴(x-2)2=3,
∴x1=,x2=,
(3)解:
∵x2+2x=4,
∴x2+2x+1=4+1,
∴(x+1)2=5,
∴x1=-1+,x2=-1-,
(4)解:
∵2(x−3)2=x(x−3),
∴(x-3)【2(x-3)-x】=0,
∴(x-3)(x-6)=0,
∴x1=3,x2=6,
14.【答案】
(1)解:
纸片剩余部分的面积为:
,
(2)解:
当a=6,b=4时,根据题意有:
,∴
,
∴
即
,
∴剪去的正方形的边长
.
15.【答案】
(1)解:
将代入方程
得,
解得:
方程为设另一根为
则
(2)解:
∵方程有两个不等的实根,
即
16.【答案】
(1)60;120
(2)200﹣x;x﹣120
(3)解:
根据题意得:
(200﹣x)(x﹣120)=1500,整理得:
x2﹣320x+25500=0,
解得:
x1=150,x2=170.
答:
每件商品的销售价定为150元或170元时,商场每天盈利达到1500元
17.【答案】
(1)解:
设平均每次下调的百分率为x.
由题意,得500(1﹣x)2=320.
解这个方程,得x1=0.2,x2=1.8(不符合题意),
符合题目要求的是x1=0.2=20%.
答:
平均每次下调的百分率是20%.
(2)解:
预计第三次下调后的销售单价为320(1﹣20%)=320×0.8=256,
答:
平均每次下调的百分比为20%,预计第三次下调后的销售单价为256元
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。
为什么?
还是没有彻底“记死”的缘故。
要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。
可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。
这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。
18.【答案】
(1)解:
(1)△ABC是等腰三角形;
理由:
∵x=﹣1是方程的根,
∴(a+c)×(﹣1)2﹣2b+(a﹣c)=0,
∴a+c﹣2b+a﹣c=0,
∴a﹣b=0,
∴a=b,
∴△ABC是等腰三角形;
(2)解:
∵方程有两个相等的实数根,
∴(2b)2﹣4(a+c)(a﹣c)=0,
∴4b2﹣4a2+4c2=0,
∴a2=b2+c2,
∴△ABC是直角三角形;
(3)解:
当△ABC是等边三角形,∴(a+c)x2+2bx+(a﹣c)=0,可整理为:
2ax2+2ax=0,
∴x2+x=0,
解得:
x1=0,x2=﹣1
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。
为什么?
还是没有彻底“记死”的缘故。
要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。
可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。
这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。
19.【答案】
(1)解:
设该市这两年(从2019年度到2019年底)拥有的养老床位数的平均年增长率为x,由题意可列出方程:
2(1+x)2=2.88,
解得:
x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去)
(2)解:
①设规划建造单人间的房间数为t(10≤t≤30),则建造双人间的房间数为2t,三人间的房间数为100﹣3t,
由题意得:
t+4t+3(100﹣3t)=200,
解得:
t=25.
答:
t的值是25.
②设该养老中心建成后能提供养老床位y个,
由题意得:
y=t+4t+3(100﹣3t)=﹣4t+300(10≤t≤30),
∵k=﹣4<0,
∴y随t的增大而减小.
当t=10时,y的最大值为300﹣4×10=260(个),
当t=30时,y的最小值为300﹣4×30=180(个)
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。
为什么?
还是没有彻底“记死”的缘故。
要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。
可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。
这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。
20.【答案】
(1)10
(2)解:
∵在菱形ABCD中,∴AB∥CD,∠ADB=∠CDB,
又∵PF∥AD,
∴四边形APFD为平行四边形,
∴DF=AP=t,
又∵EF⊥BD于Q,且∠ADB=∠CDB,
∴∠DEF=∠DFE,
∴DE=DF=t,
∴AE=10﹣t,
当PE∥BD时,△APE∽△ABD,
∴,
∴,
∴t=5,
∴当t=5时,PE∥BD
(3)蛸:
①∵∠FDQ=∠CDO,∠FQD=∠COD=90°,
∴△DFQ∽△DCO.
∴,
即,
∴.
∴,
同理,,
如图,过点C作CG⊥AB于点G,
∵S菱形ABCD=AB•CG=AC•BD,
即10•CG=×12×16,
∴CG=.
∴S平行四边形APFD=DF•CG=,
∴S△EFD=EF•QD=
∴,
②当S四边形APFE=S菱形ABCD
则,
即t2﹣20t+64=0,
解这个方程,得t1=4,t2=16>10(不合,舍去)
∴存在t=4s,使得S四边形APFE=S菱形ABCD.
21.【答案】
(1)解:
关于x的一元二次方程
有两个非零实数根,
∴
且
,
∴
;
(2)解:
假设两个非零的实数根同号,那么两根的积为正即
,
∴
,又由
(1)可知:
,
∴
.
22.【答案】
(1)解:
设这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率为x,950(1+x)2=1862,
解得,x1=0.4,x2=﹣2.4(舍去),
即这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率为40%
(2)解:
由题意可得,1862(1+40%)=2606.8,
∵2606.8>2400,
∴2019年我市能完成计划目标,
即如果2019年仍保持相同的年平均增长率,2019年我市能完成计划目标
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