三角函数的图象和性质教案中职教育docx.docx
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円x,y)
三角函数的图象和性质
教学目的:
(一)1.理解并掌握作正弦函数和余弦函数图象的方法;
2.理解并熟练学握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法;
3.理解并学握用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三介不等式的方法.
(-)1•理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义;
2.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间;
3.会求简单函数的奇偶性.
(三)1.理解并学握作正切函数和余切函数图像的方法;
2.理解并学握用正切函数和余切函数的图像解最简三角不等式的方法;
3.掌握正切函数的性质和性质的简单应用;
4.会解决一些实际问题.
教学重点:
1.用单位圆中的正弦线作正弦、正切函数的图象;
2.正、余弦和正切函数的性质.
教学难点:
1.用单位圆中的余弦线作余弦、正切函数的图象;
2.正、余弦和正切函数性质的理解与应用.
教学过程:
一、复习引入:
1.弧度定义:
氏度等于半径氏的弧所对的圆心角称为1弧度的角.
2.正、余弦函数定义:
设仅是一个任意角,在Q的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y),P与原点的距离r(r=J卜『+|y『=JF+>0)
记作sincr=—r
记作cosa=—r
y
记作tan=—
x
则比值』叫做Q的正弦
r
Y
比值土叫做Q的余弦
r
比值2叫做a的正切
X
3.三角函数线:
根据正弦,余弦,正切的定义,
则有sina=MP,cosa=OM,tana=AT
这三条与单位圆有关的有向线段MP,OM,AT分别叫做角a的正弦线,余弦线,正切
线.
当角Q的终边落在兀轴上时,M与P重合,A与T重合,此时正弦线,正切线分别变成一个点;当角a的终边在y轴上时,0与M重合,余弦线变成一个点,过A的切线平行于y轴,不能与角a的终边相交,所以疋切线不存在,此时角a的止切值不存在.
二、讲解新课:
(一)正弦函数、余弦函数的图象
1・用单位圆中的止弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图彖(几何法):
为了作三角函数的图彖,三角函数的口变量要用弧度制来度量,使口变量与函数值都为实数.在一般情况下,两个坐标轴上所取的单位长度应该相同,否则所作曲线的形状各不相同,从而影响初学者对曲线形状的正确认识.
正弦函数=的图象
第一步,在直角坐标系的X轴上任取一点q,以q为圆心作单位圆,从这个圆与兀轴的交点A起把圆分成斤(这里7?
=12)等份.把x轴上从0到271这一段分成n(这里71=12)等份.(预备:
取口变量X值一弧度制下角与实数的对应).
第二步,在单位圆屮画出对应于角0,兰,2龙的正弦线正弦线(等价于“列表”).
632
把角x的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点兀重合,则疋弦线的终点就是正弦函数图彖上的点(等价于"描点”).
笫三步,连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起來,
就得到正弦函数y=sin兀,xe[0,2兀]的图象.
根据终边相同的同名三和函数值相等,把上述图象沿着兀轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为2兀,就得到y=sinx,xeR的图彖.
把角x(xeR)的正弦线平行移动,使得正弦线的起点为x轴上相应的点x重合,则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图彖.
余弦函数y=cosx的图象
弦线0.A的终点4作兀轴的垂线,它与前而所作的直线交于A',那么0{A与AA长度相等几方向同时为正,我们就把余弦线0/“竖立”起来成为AA,用同样的方法,将其它的余弦线也都“竖立”起来,再将它们平移,使起点与x轴上相应的点兀重合,则终点就是余弦函数图象上的点.
TT
也可以旷旋转法”把角的余弦线“竖立”(把角兀的余弦线按逆时针方向旋转尹
7T7T
cosx=sin(x+-),述可以把正弦函数y=sinx的图彖向左平移一单位即得余弦函数
22
y=cosx的图彖.
-6nX55Z
・4亢75/・2江■[7L/2亢、25/4兀/
y=cosx
6兀x
函数y=sinx的图彖和余弦函数y=cosx的图彖分别叫做
止弦曲线和余弦曲线.
2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法):
正弦函数y=sinx,xg[0,2^-]的图彖中,
3
五个关键点是:
(0,0),(-,1),(龙,0),(-不―1),(2龙,0)
余弦函数y=cosx,xe[0,2^]的图像中,
ji3
五个关键点是:
(0,1),(-,0),(矩―1),(-处0),(2^,1)
只要这五个点描出后,图彖的形状就基本确定了.
因此在精确度不太高时,常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图,耍求熟练掌握.
(2)正弦函数、余弦函数的性质
1・定义域
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R(或(-00,+00)).
2.值域
(1)值域
因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度,
所以Isinx1<1,1cosx1<1,
即一1Wsin兀W1,-1 也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1]. (2)最值 正弦函数y=sinx,兀w TT 1当且仅当x=-+2k兀,keZ时,取得最大值1 2 JT 2当且仅当兀二—一+gZ时,取得最小值—1 2 余弦函数y=cosx,x€R 1当口仅当x=2炽,keZ时,取得最大值1 2当且仅当x=2k7i七兀,kwZ时,取得最小值—1 3.周期性 由sin(兀+2k兀)=sinx,cos(x+2k兀)=cosx,(kgZ)知: 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的. 定义: 对于函数/(兀),如果存在一个非零常数T,使得当兀取定义域内的每一个值时,都有/(x+T)=/(x),那么函数/(%)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期. 由此可知,2兀,4兀,・・・,一2兀,一4兀,・・・,2炽伙wZ,R工0)都是这两个函数的周期. 对于一个周期函数/(%),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做/(兀)的最小正周期. 根据上述定义,可知: 止弦函数、余弦函数都是周期函数,2k7i(kwZ,k工0)都是它的周期,最小正周期是2”. 4.奇偶性 由sin(-x)=一sin兀,cos(-x)=cosx XT知: y=sinx(xg/? )为奇函数,其图彖关于原点0对称y=cosx(xeR)为偶函数,其图象关于y轴对称 5.对称性 正弦函数y=sinx(xgR)的对称中心是(Rr,O)(keZ), 对称轴是直线X=k7T+^(keZy, (JTY 余弦函数y=cosx(>wR)的对称中心是3+—,0(kgZ), \2丿 对称轴是直线 (正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于兀轴的直线,对称中心为图彖与 兀轴(中轴线)的交点). 6.单调性 ji3 从^=sinx,xe[——,—7r]的图象上可看出: 22 7TTT 当兀w[——,一]时,曲线逐渐上升,sinx的值由—1增大到1 22 JT3 当兀刃时,曲线逐渐下降,sinx的值由1减小到—1 结合上述周期性可知: 71n 正弦函数在每一个闭区间[-—+2k7T-+2k/r](keZ)上都是增两数, 22 其值从-1增人到1; ji3 疋弦函数在每一个闭区间[-+2k7T-7l+2k7T](kGZ)上都是减函数, 22 其值从1减小到-1・ 余弦函数在每一个闭区间[2炽-龙,2炽]伙wZ)上都是增函数, 其值从-1增加到1; 余弦函数在每一个闭区间[2炽,2炽+刃伙eZ)上都是减函数, 其值从1减小到-1・ y=sinx,xeR和y=cosx,xeR的图彖和性质(表中keZ) 函数 y=sinx y=cosx 图象 w 1 Iy=sinx /O\- W 1 1y=cosx : X—A $2 定义域 (-00,4-00) (—00,+oo) 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 71 当x=2k7r-^--)ymax=1 jr 当x=lk7i-->ymin=-1 当x=2k兀,ymax=1当x=2k兀+兀,ym[n=-1 奇偶性 奇函数 偶函数 对称屮心 (so)(“z) (jr\ 炽+—,0("Z) \2丿 对称轴 x=k”+彳(kGZ) x=kjv(keZ) 最小正周期 2龙 2龙 单调性 7T7T |+2k7r,——2Att]递增 22 |—+Zk7r,—7r+2£兀]递减 22 \2k兀一兀,2k^\递增 [2k兀,2k/r+兀1递减 (3)正切函数的图象和性质 1.正切函数歹=tanx的图像 n7T 在区间内作出函数y=tan兀图像,根据正切函数的周期性,把上述图像向左、右扩展,得到正切函数y=tanxxeR,且xH空+ez)的图像,称“止切曲线”• 2.正切函数和余切函数的性质 ⑴定义域: XH炽+彳(£WZ) (2)值域: /? (3)周期: •・•tan(x+龙)=+“! =一"n”=tanxxwR,且兀^k7r+—,kez\cos(x+/r)-cosxV2) (n\ : .y=tanxxe/? 且x¥kzi+—,kw乙的周期为T=7i(最小正周期)~2 (4)奇偶性: 正切函数是奇函数 由诱导公式tan(-x)=-tanx,我们可以证明正切函数是奇函数,正切函数的图像关于 原点对成. (bn\ ⑸对称性: 对称中心是—,0(kwZ),特别提醒: 止徐)切型函数的对称中心有两类: I2丿 一类是图象与兀轴的交点,另一类是渐近线与x轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处. TTJT ⑹单调性: 由图像可知,正切函数再区间(——+kTC.—+k7i\kGZ内都是单调增函数. 22 正、余切函数的性质 函数 y=tanx y=cotx 图 U IU I ll 象 MT 1\ 1 定义域 71兀 (k7i-2,k7t+2)(kez) (kn,kn+n)(k^Z) 值域 (■00,4-00) (-00 +oo) 周期 71 Tl 单调性 亠兀兀「D 在(kK-2,kn+2)(kGZ)内是 增函数 在(k7c,kn+n)(keZ)内是减函数 奇偶性 奇函数 奇函数 三、讲解范例: (一)图象问题 例1画l\\y=cosx(xgR)与y=-sinx(xeR)两函数的图象,观察两曲线的平移关系.解: 略 例2作下列函数的简图: (1)y=1+sin^,xg[0,2^-] (2)y=1sinxI(3)y=sinIxI 解: 略 TT 例3用五点法作函数y=2cos(x+-),兀e[0,2刃的简图,并求其与貞线y二2交点个数 解: 略 例4分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足卜•列条件的兀的集合: (1)sinx>丄 (2)cosxW丄(0v兀<—^) 222 解: 略 例5求下列函数的定义域: ⑴y二J2sinx+1 (2)y=716-x2+V-cosx(3)y=Vsinx-cosx 补充例题: ⑴函数/(x)=sin兀图象的对称轴是;对称屮心是. TT (2)函数/(x)=sin(x+-)图象的对称轴是;对称屮心是. ⑶函数/(x)=2sin(x+-)+l图象的对称轴是;对称中心是. (4)函数y=cos(龙+兀)与y=cos兀的图象关于对称.(填一种情况即可) X (5)方程sinx=—的根的个数为() 10 A.7B.8C.9D.10 ⑹川五点法作函数y=2sin2x的图象时,首先应描出的五个点横坐标可是( (二)定义域、值域问题例1求卜-列函数的定义域: (1)y=1+—-— sinx (2)y=J1-2cosx (3)y=lg(2sinx-V3) 求下列函数的值域: (1)y= •7•t百兀3, =sin"x-sinx+l,xe 34 (2)y= =2sin(x+—),xe 663 (3)y= cosx-3 cosx+3 解: 略 例2求使下列函数取得最大值的口变量兀(xwR)的集合,并说出最大值是什么; 7T7T 若兀W[一彳,彳)呢? (1)y=cosx+1; (2)y=sin2x TTTT 例3已知函数f(x)=2asin(2x-一)+b的定义域为[0,-],值域为[-5,1].32 求的值. 解: 略例4求函数y=sin2x+ocos兀+—a——(xe[0,—])的最大值. 822 解: 略 例5 (1)已知y=2sinxcosx+sinx-cosx(xg[0,兀]),求y的最人值和最小值. (2)求y(兀)=sin4x+2sin3xcosx+sin2兀cos? x+2sinxcos3x+cos4x的最大值利最小值. (注: sinx-cosx=V2sin(x-—),sinxcosx=—sin2x) 42 解: 略 (三)周期性、奇偶性问题 例1判断下列函数的奇偶性: ⑴/(x)= 1+sinx-cosx 1+sinx+cosx (2)/(x)=sinx-cosx+cos2x(cos2兀=cos~x-sin~x) (3)/(x)= =lg(sinx+Vl+sin2x) (4)/(x)=|sinx|+cosx解: 略 例2 (1)已知/(x)=ax+bsin3x=l(a,b为常数),K/(5)=7,求/(-5). (2)若于(兀)为奇函数,且当兀>0时,f(x)=xsinx+cos2x,求当尢v0时,于(兀)的解析式. ⑶若函数f(x)=sin(x+a)是偶函数,求a的值. 解: 略例3求下列三角函数的周期,并探究其结. (1)y=3cosx (2)y=sin2x 1TTTT (3)y=2sin(—x)(4)y=2sin(5加) 263 解: 略点评: 一般地,函数y=Asin(69x+(p\xeR及函数y=cos(ax+0),兀wR(其中A*co、 2/r co ©为常数,且A^09co>0)的周期T=— 例4 (1)求函数y=2sin22x+4sin2xcos2x+3cos22x的周期. rr (2)求函数y=4sin3(——兀)的周期. 6 解: 略 例5求下列函数的最小正周期: ⑶y二1sin兀丨+丨cosxI (1)y=1sin兀I (2)y=12cos兀+11 解: 略 例6⑴已知/(兀)是周期为5的周期函数,且/⑴=2007,求/(II). (2)已知奇函数/(兀)是7? 上的函数,且/ (1)=2,f(x+3)=/(x),求于(8)・解: 略 例7/(兀)是定义在R上的偶函数,其图彖关于兀=1对称,对任意的旺宀e[0,-], 都有/(兀]+兀2)=/(兀I)/(兀2)・ (1)设/ (1)=2,求/(£),/(: ); 24 (2)证明: /(x)是周期函数. 解: 略 例8 (1)若函数y=)的图象关于直线x=与x=b(b>a)都对称, 求证: /(x)是周期函数,月.2(b-d)是它的一个周期; (2)若函数y=/(x)(兀w7? )满足/(x)=f(x-a)+f(x+a)(常数dw7T),求证: f(Q是周期函数,冃6。 是它的一个周期. 解: 略 (4)单调性问题 例1求下列函数(xeR)的单调区间: ji (3)y=cos(-2兀+—) (6)y-sin(—丄x+—) 24 JI (1)y=-cosx (2)y=cos(2兀+—) ji (4)y=sin(x)(5)y=-sin2x 例2求卜•列的单调递增区间: 1.9・ (1)y=(―)s,n宀 (2)y=log)cosx 22 解: 略 例3不通过求值,比较下列各式的人小: W), sin(-盒) 2317 (2)COS(7T),COS(7T) (3)sin194°,cos160°解: 略 ⑷sin1,sin2,sin3 1ji 例4求函数y=sin(—x+—),xe[-2^,2^]的单调增区间. 23 解: 略 例5已知/(x)=log】-―-—• 21+smx ⑴求/⑴的定义域和值域; (2)判断它的奇他性、周期性; (3)判断/⑴的单调性. 解: 略 JT (1){xI兀工R”+—,RwZ},/(兀)gR (2)奇函数,周期函数T=2龙 7T7T7T3 (2)增区间: [2炽—-,2R”+-UwZ;减区间: [2jU+-,2Jbr+工;r],RwZ (五)正切函数的图象和性质 例1讨论函数y二kmx+丝的性质.(定义域,值域,周期性,奇偶性,单调性) I4丿 解: 略 X7T371 例2⑴用描点法作函数y=tan(-+-),xg的图像. 2422 (2)作出函数y=1tanxI的图像并根据图像求具单调区间. (3)作出函数y=UnX,xe(0,2^-)且兀工匹,迹的简图. a/1+tan2x22 解: 略 例3不通过求值,比较下列各组数的大小. (1)tanl35°,tanl38° (3)tan1,tan2,tan3,tan4解: 略例4解不等式tanx>V3. 解: 略 例5求下列函数的定义域 (1)y=—C°tX (2)y=lg(l一tanx) tanx-1 解: 略例6求函数y=tan2x+tanx+l(xe且x=k7i—eZ)的值域. 2解: 略 TTIT 思考: 如果XG结果又如何? 7T3 例7证明: 如果a,0w(—,/r)且tanavcot0,那么必有a+0<—兀. 证明: 略 (兀x\ 例8⑴求函数y=3tan---的定义域、值域,并指出其周期性、奇偶性、单调性. 164丿 (2)求函数y=tan2%的定义域、值域和周期,并作出它在区间[-九刃内的图像解: 略 例9试讨论函数y=log“tanx的单调性. 解: 略 例10若);=m-2ncoscox(n>0,m,69eR)的最人值是。 ,最小值是-丄, *22求函数y=tan(4m+2n)x的最小止周期. 解: 略 TT 例11已知函数歹=Atan(亦+0)(A>0,血〉0,101<—)的图彖与x轴相交的两个相邻点ji5 的坐标为(一Q)和(工九0),冃经过点(0-3),求其解析式. 66 解: 略 7TTT 例]2已知函数f(x)=asin(mr+—)和g(x)=btan(69x——)0>0)的最小正周期之和为¥,且=g(£),/(手)+7^(手)=1,求/⑴和&(兀)的解析式. 22244 解: 略
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