人教版最新高中数学高考总复习等差数列习题及详解Word版.docx
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人教版最新高中数学高考总复习等差数列习题及详解Word版
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人教版最新高中数学高考总复习等差数列习题及详解Word版
______年______月______日
____________________部门
一、选择题
1.(20xx·宁夏)一个等差数列的前4项是a,x,b,2x,则等于( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] ,∴a=,b=x.
∴=.
2.(文)(20xx·××市模考)数列{an}的前n项和为Sn,若an=,则S4等于( )
A.B.
C.D.
[答案] A
[解析] ∵an==-,
∴S4=a1+a2+a3+a4
=+++=,故选A.
(理)已知等差列{an}共有20xx项,所有项的和为20xx,所有偶数项的和为2,则a1004=( )
A.1 B.2
C. D.
[答案] B
[解析] 依题意得=20xx,
a1+a20xx=,=2,a2+a20xx=,
故a2-a1=-=d(d为公差),
又a2+a20xx=2a1005,
∴a1005=,a1004=a1005-d=+=2.
3.(文)(20xx·山东日照模拟)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m为( )
A.12B.8
C.6D.4
[答案] B
[解析] 由等差数列性质知,a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,
∴a8=8.
∴m=8.故选B.
(理)(20xx·温州中学)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( )
A.63B.45
C.43D.27
[答案] B
[解析] 由等差数列的性质知,S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6),∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=45.
4.(20xx·浙江省金华十校)等差数列{an}中,Sn是{an}前n项和,已知S6=2,S9=5,则S15=( )
A.15B.30
C.45D.60
[答案] A
[解析] 解法1:
由等差数列的求和公式及知,
,∴,
∴S15=15a1+d=15.
解法2:
由等差数列性质知,{}成等差数列,设其公差为D,则-=3D=-=,∴D=,
∴=+6D=+6×=1,∴S15=15.
5.(文)(20xx·福建福州一中)设数列{an}的通项公式为an=20-4n,前n项和为Sn,则Sn中最大的是( )
A.S3B.S4或S5
C.S5D.S6
[答案] B
[解析] 由an=20-4n≥0得n≤5,故当n>5时,an<0,所以S4或S5最大,选B.
(理)(20xx·山师大附中)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是( )
A.21B.20
C.19D.18
[答案] B
[解析] ∵3d=(a2+a4+a6)-(a1+a3+a5)=99-105=-6,∴d=-2,由a1+a3+a5=105得3a1+6d=105,∴a1=39,∴an=39-2(n-1)=41-2n,
由an≥0,n∈N得,n≤20,∴a20>0,a21<0,故选B.
6.(文)(20xx·辽宁锦州)公差不为零的等差数列{an}中,2a3-a72+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8=( )
A.2 B.4
C.8 D.16
[答案] D
[解析] ∵2a3-a72+2a11=0,{an}为等差数列,
∴a72=2(a3+a11)=4a7,
∵{bn}为等比数列,b7=a7,∴a7≠0,∴a7=4,
∴b7=4,∴b6b8=b72=16.
(理)(20xx·××市)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3、S9、S6成等差数列,则( )
A.S6=-S3B.S6=-2S3
C.S6=S3D.S6=2S3
[答案] C
[解析] ∵S3、S9、S6成等差数列,∴2S9=S3+S6,
∵Sn是等比数列{an}前n项的和,∴2q9=q3+q6,
∵q≠0,∴2q6=1+q3,∴q3=1或-,q3=1时,S3、S9、S6不成等差数列,应舍去,∴q3=-,∴S6=(a1+a2+a3)+(a1+a2+a3)q3=S3(1+q3)=S3.
7.(20xx·重庆中学)数列{an}中,a1=3,a2=7,当n≥1时,an+2等于an·an+1的个位数字,则a20xx=( )
A.1B.3
C.7D.9
[答案] D
[解析] 由条件知,a1=3,a2=7,a3=1,a4=7,a5=7,a6=9,a7=3,……可见{an}是周期为6的周期数列,故a20xx=a6=9.
8.(20xx·广东五校、启东模拟)在等差数列{an}中,a1=-20xx,其前n项的和为Sn.若-=2,则S20xx=( )
A.-20xxB.-20xx
C.20xxD.20xx
[答案] A
[解析] ∵-=2,
∴(a1+1004d)-(a1+1003d)=2,∴d=2,
∴S20xx=20xxa1+d=-20xx.
9.(文)将正偶数按下表排成4列:
第1列
第2列
第3列
第4列
第1行
2
4
6
8
第2行
16
14
12
10
第3行
18
20
22
24
……
28
26
则20xx在( )
A.第502行,第1列B.第502行,第2列
C.第252行,第4列D.第251行,第4列
[答案] C
[解析] 20xx是第1005个偶数,
又1005=8×125+5,故前面共排了125×2+1=251行,余下的一个数20xx应排在第4列.
(理)已知数列{an}满足a1=0,an+1=an+2n,那么a20xx的值是( )
A.20xx×20xxB.20xx×20xx
C.20xx×20xxD.20xx×20xx
[答案] C
[解析] 解法1:
a1=0,a2=2,a3=6,a4=12,考虑到所给结论都是相邻两整数乘积的形式,可变形为:
a1=0×1 a2=1×2 a3=2×3 a4=3×4
猜想a20xx=20xx×20xx,故选D.
解法2:
an-an-1=2(n-1),
an-1-an-2=2(n-2),
…
a3-a2=2×2,
a2-a1=2×1.
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1
=2[(n-1)+(n-2)+…+1].
=2=n(n-1).
∴a20xx=20xx×20xx.
10.在函数y=f(x)的图象上有点列(xn,yn),若数列{xn}是等差数列,数列{yn}是等比数列,则函数y=f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)=2x+1B.f(x)=4x2
C.f(x)=log3xD.f(x)=x
[答案] D
[解析] 对于函数f(x)=x上的点列(xn,yn),有yn=xn,由于{xn}是等差数列,所以xn+1-xn=d,因此==xn+1-xn=d,这是一个与n无关的常数,故{yn}是等比数列.故选D.
二、填空题
11.一个等差数列前4项之和为26,最末4项之和为110,所有项之和为187,则它的项数为________.
[答案] 11
[解析] ∵a1+a2+a3+a4=26,an+an-1+an-2+an-3=110,∴a1+an==34,
又∵Sn==187,∴n=11.
12.已知数列{an}:
,+,++,…,+++…+,…,设bn=,那么数列{bn}的前n项和Sn=________.
[答案]
[解析] 由条件知an=++…+=,
∴bn==4,
∴Sn=4[(1-)+(-)+…+(-)]
=.
13.(09·上海)已知函数f(x)=sinx+tanx.项数为27的等差数列{an}满足an∈,且公差d≠0.若f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0,则当k=_______________时,f(ak)=0.
[答案] 14
[解析] ∵f(x)=sinx+tanx为奇函数,且在x=0处有定义,∴f(0)=0.
∵{an}为等差数列且d≠0,
且f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0,
∴an(1≤n≤27,n∈N*)对称分布在原点及原点两侧
∴f(a14)=0.
∴k=14.
14.给定81个数排成如图所示的数表,若每行9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列,且表中正中间一个数a55=5,则表中所有数之和为______.
a11 a12 … a19
a21 a22 … a29
… … … …
a91 a92 … a99
[答案] 405
[解析] S=(a11+…+a19)+…+(a91+…+a99)=9(a15+a25+…+a95)=9×9×a55=405.
三、解答题
15.(09·安徽)已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+2n,数列{bn}的前n项和Tn=2-bn.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)设cn=an2·bn,证明:
当且仅当n≥3时,cn+1 [解析] (1)a1=S1=4,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n(n+1)-2(n-1)n=4n. 又a1=4适合上式,∴an=4n(n∈N*). 将n=1代入Tn=2-bn,得b1=2-b1, ∴T1=b1=1. 当n≥2时,Tn-1=2-bn-1,Tn=2-bn, ∴bn=Tn-Tn-1=bn-1-bn,∴bn=bn-1, ∴bn=21-n. (2)解法1: 由cn=an2·bn=n2·25-n, 得=2. 当且仅当n≥3时,1+≤<,即cn+1 解法2: 由cn=an2·bn=n2·25-n得, cn+1-cn=24-n[(n+1)2-2n2] =24-n[-(n-1)2+2]. 当且仅当n≥3时,cn+1-cn<0,即cn+1 16.(20xx·山东)已知等差数列{an}满足: a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn. (1)求an及Sn; (2)令bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn. [分析] (1)由条件和等差数列的通项公式可列出关于a1、d的方程组解出a1和d,代入通项公式及前n项和公式可求得an,Sn. (2)由an可得bn,观察bn的结构特点可裂项求和. [解析] (1)设等差数列{an}的公差为d,因为a3=7,a5+a7=26, 所以有,解得a1=3,d=2, 所以an=3+2(n-1)=2n+1;Sn=3n+×2 =n2+2n. (2)由 (1)知an=2n+1,所以bn===·=·, 所以Tn=· =·=, 即数列{bn}的前n项和Tn=. [点评] 数列在高考中主要考查等差、等比数列的定义、性质以及数列求和,解决此类题目要注意合理选择公式,对于数列求和应掌握经常使用的方法,如: 裂项、叠加、累积.本题应用了裂项求和. 17.(文)已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn=an2+n-4. (1)求证{an}为等差数列; (2)求{an}的通项公式. [分析] 利用an与Sn的关系及条件式可消去Sn(或an),得到an与an-1(或Sn与Sn-1)的关系式,考虑待求问题,故应消去Sn. [解析] (1)当n=1时,有2a1=a12+1-4,即a12-2a1-3=0,解得a1=3(a1=-1舍去). 当n≥2时,有2Sn-1=an-12+n-5,又2Sn=an2+n-4,两式相减得2an=an2-an-12+1, 即an2-2an+1=an-12,也即(an-1)2=an-12, 因此an-1=an-1或an-1=-an-1. 若an-1=-an-1,则an+an-1=1,而a1=3,所以a2=-2这与数列{an}的各项均为正数相矛盾,所以an-1=an-1,即an-an-1=1,因此{an}为等差数列. (2)由 (1)知a1=3,d=1,所以数列{an}的通项公式an=3+(n-1)=n+2,即an=n+2. (理)(20xx·新课标全国)设数列{an}满足a1=2,an+1-an=3·22n-1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn. [解析] (1)由已知得,当n≥1时, an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1. 而a1=2,所以数列{an}的通项公式为an=22n-1. (2)由bn=nan=n·22n-1知 Sn=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1.① 从而22·Sn=1·23+2·25+3·27+…+n·22n+1.② ①-②得 (1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n·22n+1. =(4n-1)-n·22n+1 =(22n+1-2-3n·22n+1) =[(1-3n)2n+1-2] ∴Sn=[(3n-1)22n+1+2].
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