幂函数与二次函数.docx

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幂函数与二次函数

　幂函数与二次函数基础梳理

1．幂函数的定义

一般地，形如y＝xα（α∈R）的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．

2．幂函数的图象

在同一平面直角坐标系下，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x

，

y＝x－1的图象分别如右图．

3.二次函数的图象和性质

解析式

f（x）＝ax2＋bx＋c（a>0）

f（x）＝ax2＋bx＋c（a<0）

图象

定义域

（－∞，＋∞）

（－∞，＋∞）

值域

单调性

在x∈

上单调递增

在x∈

上单调递减

在x∈

上单调递增

在x∈

上单调递减

奇偶性

当b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数

顶点

对称性

图象关于直线x＝－

成轴对称图形

5.二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：

f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）

（2）顶点式：

f（x）＝a（x－h）2＋k（a≠0）

（3）两根式：

f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）

函数y＝f（x）对称轴的判断方法

（1）对于二次函数y＝f（x）对定义域内所有x，都有f（x1）＝f（x2），那么函数y＝f（x）的图象关于x＝

对称．

（2）一般地，函数y＝f（x）对定义域内所有x，都有f（a＋x）＝f（a－x）成立，则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称（a为常数）．

练习检测

1．（2011·安徽）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2－x，则f

（1）＝（　　）．

A．－3B．－1C．1D．3

解析　∵f（x）为奇函数，∴f

（1）＝－f（－1）＝－3.

答案　A

2.如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±

四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为（　　）．

A．－2，－

，

，2B．2，

，－

，－2C．－

，－2,2，

D．2，

，－2，－

答案　B

3．（2011·浙江）设函数f（x）＝

若f（α）＝4，则实数α等于（　　）．

A．－4或－2B．－4或2C．－2或4D．－2或2

解析　由

或

得α＝－4或α＝2，故选B.

答案　B

4．已知函数f（x）＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b等于（　　）．

A．3B．2或3C．2D．1或2

解析　函数f（x）＝x2－2x＋2在[1，b]上递增，

由已知条件

即

解得b＝2.

答案　C

5．（2012·武汉模拟）若函数f（x）＝（x＋a）（bx＋2a）（常数a、b∈R）是偶函数，且它的值域为（－∞，4]，则该函数的解析式f（x）＝________.

解析　f（x）＝bx2＋（ab＋2a）x＋2a2

由已知条件ab＋2a＝0，又f（x）的值域为（－∞，4]，

则

因此f（x）＝－2x2＋4.

答案　－2x2＋4

6.函数f（x）＝x2－2x＋2在闭区间[t，t＋1]（t∈R）上的最小值记为g（t）．

（1）试写出g（t）的函数表达式；

（2）作g（t）的图象并写出g（t）的最小值．

[审题视点]分类讨论t的范围分别确定g（t）解析式．

解　

（1）f（x）＝（x－1）2＋1.

当t＋1≤1，即t≤0时，g（t）＝t2＋1.

当t<1

（1）＝1

当t≥1时，g（t）＝f（t）＝（t－1）2＋1

综上可知g（t）＝

（2）g（t）的图象如图所示，可知g（t）在（－∞，0]上递减，在[1，＋∞）上递增，因此g（t）在[0,1]上取到最小值1.

（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c，在（－∞，＋∞）上的最值可由二次函数图象的顶点坐标公式求出；

（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c，在[m，n]上的最值需要根据二次函数y＝ax2＋bx＋c图象对称轴的位置，通过讨论进行求解．

7.已知函数f（x）＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．

（1）当a＝－1时，求函数f（x）的最大值和最小值．

（2）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[－5,5]上是单调函数．

解　

（1）当a＝－1时，f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1，x∈[－5,5]，

∴x＝1时，f（x）取得最小值1；

x＝－5时，f（x）取得最大值37.

（2）函数f（x）＝（x＋a）2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a，

∵y＝f（x）在区间[－5,5]上是单调函数，

∴－a≤－5或－a≥5，

故a的取值范围是a≤－5或a≥5.

8.已知幂函数

的图象关于y轴对称，且在（0，＋∞）上是减函数，求满足

的a的取值范围．

[审题视点]由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3＜0，再结合m是整数，及幂函数是偶数可得m的值．

解　∵函数在（0，＋∞）上递减，

∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.

∵m∈N*，∴m＝1,2.

又函数的图象关于y轴对称，

∴m2－2m－3是偶数，

而22－2×2－3＝－3为奇数，

12－2×1－3＝－4为偶数，

∴m＝1.

而f（x）＝x－

在（－∞，0），（0，＋∞）上均为减函数，

∴（a＋1）－

＜（3－2a）－

等价于a＋1＞3－2a＞0

或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a.

解得a＜－1或

＜a＜

.

故a的取值范围为

.

本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两大步：

第一步，利用单调性和奇偶性（图象对称性）求出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围．

9.（2011·济南模拟）已知f（x）＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有最大值－5，求a的值及函数表达式

f（x）．

求二次函数f（x）的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论．

[解答示范]∵f（x）＝－4

2－4a，

∴抛物线顶点坐标为

.（1分）

①当

≥1，即a≥2时，f（x）取最大值－4－a2.

令－4－a2＝－5，得a2＝1，a＝±1＜2（舍去）；（4分）

②当0＜

＜1，即0＜a＜2时，x＝

时，

f（x）取最大值为－4a.

令－4a＝－5，得a＝

∈（0,2）；（7分）

③当

≤0，即a≤0时，f（x）在[0,1]内递减，

∴x＝0时，f（x）取最大值为－4a－a2，

令－4a－a2＝－5，得a2＋4a－5＝0，

解得a＝－5或a＝1，其中－5∈（－∞，0]．（10分）

综上所述，a＝

或a＝－5时，f（x）在[0,1]内有最大值－5.

∴f（x）＝－4x2＋5x－

或f（x）＝－4x2－20x－5.（12分）

求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论．

10.设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函数的最小值g（a）．

[尝试解答]　∵函数y＝x2－2x＝（x－1）2－1，∴对称轴为直线x＝1，而x＝1不一定在区间[－2，a]内，应进行讨论．

当－2＜a＜1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，ymin＝a2－2a；当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，ymin＝－1.

综上，g（a）＝

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