矩阵对角化及应用论文.docx
- 文档编号:25096990
- 上传时间:2023-06-05
- 格式:DOCX
- 页数:22
- 大小:34.07KB
矩阵对角化及应用论文.docx
《矩阵对角化及应用论文.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《矩阵对角化及应用论文.docx(22页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
矩阵对角化及应用论文
丽水学院2012届学生毕业论文
矩阵对角化及应用
理学院数学082缪仁东指导师:
陈巧云
摘要:
本文是关于矩阵对角化问题的初步研究,对矩阵对角化充要条件的归纳,总结,通过对实对称矩阵,循环矩阵,特殊矩阵对角化方法的计算和研究,让读者对矩阵对角化问题中求特征值、特征向量,求可逆矩阵,使对角化,提供了简便,快捷的求解途征.
关键词:
对角矩阵;矩阵对角化;实对称矩阵;特征值;特征向量.
矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,关于矩阵对角化问题的研究,这方面的资料和理论已经很多.但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究,没有进行系统的分类归纳和总结.因此,我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结,对一些理论进行应用和举例,给出算法.特别给出了解题时方法的选择.
1.矩阵对角化概念及其判定
所有非主对角线元素全等于零的n阶矩阵,称为对角矩阵或称为对角方阵.
定义1.1矩阵A是数域P上的一个n级方阵.如果存在一个P上的n级可逆矩阵X,使X-1AX为对角矩阵,则称矩阵A可对角化.
矩阵能否对角化与矩阵的特征值特征向量密切相关.
定义1.2设A是一个n阶方阵,λ是一个数,如果方程组
AX=λX
(1)
存在非零解向量,则称λ为的A一个特征值,相应的非零解向量X称为属于特征值λ的特征向量.
(1)式也可写成,
(λE-A)X=0
(2)
这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式λE-A=0,(3)
丽水学院2012届学生毕业论文
λ-a11
即-a21
-an1-a12λ-a22-an2-a1n-a2n=0λ-ann
上式是以λ为未知数的一元n次方程,称为方阵A的特征方程.其左端A-λE是λ的n次多项式,记作f(λ),称为方阵的特征多项式.
λ-a11
fA(λ)=|λE-A|=
-a12-a1n-a2n-a21
-an1λ-a22-an2λ-ann
+an-1λ+an=λn+a1λn-1+
显然,A的特征值就是特征方程的解.特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数(重根按重数计算),因此,n阶矩阵A有n个特征值.
设n阶矩阵A=(aij)的特征值为λ1,λ2,
(ⅰ)λ1+λ2+
(ⅱ)λ1λ2λn,由多项式的根与系数之间的关系,不难证明+ann;+λn=a11+a22+λn=A.
若λ为A的一个特征值,则λ一定是方程A-λE=0的根,因此又称特征根,若λ为方程A-λE=0的ni重根,则λ称为A的ni重特征根.方程(A-λE)X=0的每一个非零解向量都是相应于λ的特征向量,于是我们可以得到求矩阵A的全部特征值和特征向量的方法如下:
第一步:
计算A的特征多项式
第二步:
求出特征方程
第三步:
对于λE-A;λE-A=0的全部根,即为A的全部特征值;的每一个特征值λ,求出齐次线性方程组:
(λE-A)X=0
的一个基础解系ξ1,ξ2,
k1ξ1+k,ξs,则A的属于特征值λ的全部特征向量是.ξ2+2+ksξs(其中k1,k2,,ks是不全为零的任意实数)
设P是数域,Mn(P)是P上n×n矩阵构成的线性空间,A∈Mn(P),λ1,λ2,,λt为
A的t个互不相同的特征值,高等代数第二版(北京大学数学系几何与代数教研室编)第四版(张和瑞、郝炳新编)课程中,我们学过了矩阵可对角化的若干充要条件如:
(1)A可对角化当且仅当A有n个线性无关的特征向量;
(2)A可对角化当且仅当特征子空间维数之和为n;
丽水学院2012届学生毕业论文
(3)A可对角化当且仅当A的初等因子是一次的;
(4)A可对角化当且仅当A的最小多项式无重根
我们知道线性变换A的特征多项式为f(λ),它可分解成一次因式的乘积
f(λ)=(λ-λ1)r1(λ-λ2)r2(λ-λi)ri
则V可分解成不变子空间的直和
i其中Vi={ξ|(A-λiE)=V=V1⊕V2⊕r⊕Vs;ξ∈V}
引理1.1:
设A,B都是n阶矩阵,则秩(AB)≥秩(A)+秩(B)-n.
定理1.1:
设A是实数域F上的一个n阶矩阵,A的特征根全在F内,若λ1,λ2,...,λK是A的全部不同的特征根,其重数分别为r1,r2,...rk,那么
⎛⎫(Ⅰ)可对角化的充要条件是秩∏(λiE-A)⎪=rjj=1,2,.......k
⎝i≠j⎭
(Ⅱ)当
(1)式成立时,∏(λE-A)的列空间就是A的属于特征根λ的特征子子空间.ii
i≠j
证明:
(Ⅰ)设A可对角化,则存在可逆阵T,使
T-1AT=diag{λ1E1,λ2E2,...,λkEK}
这里右边是分块对角矩阵,Ej为ri阶单位阵,于是有
⎛-1⎛⎛⎫⎫⎫⎛⎫秩∏(λiE-A)⎪=秩T∏(λiE-A)⎪T⎪=秩∏(λiE-T-1AT)⎪⎪⎝i≠j⎭⎝i≠j⎭⎭⎝i≠j⎭⎝
⎛⎫=秩∏(λiE-diag{λ1E,λ2E2,...,λKEK})⎪
⎝i≠j⎭
=秩⎛⎫diagλ-λE,λ-λE,...,λ-λE,(ij)1(ij)2(ij)K⎪∏⎝i≠j⎭{}
⎛⎧⎫⎫=秩diag⎨0,0,...0,∏(λi-λj)Ej,0,0,...,0⎬⎪=rjj=1,2,......k.⎪i≠j⎩⎭⎭⎝
反之,若秩(∏(λE-A))=ri=1,2,.....k,反复用引理可得ij
秩(∏λiE-A)rj≥∑秩(λiE-A)-(K-2)n≥∑(n-ri)-(k-2)n
i≠ji≠j
丽水学院2012届学生毕业论文
=n-∑ri=rjj=1,2,...,k.
i≠j
这里用到了齐次线性方程组(λiE-A)X=0的解空间的维数不大于λi的重数不大于rj这个结论.于是又∑秩(λE-A)=∑(n-r)从而秩(λ-A)=n-ri=1,2,......k.这样的矩阵可iiii
i≠ji≠j
以对角化.
(Ⅱ)设(Ⅰ)式成立,则A可对角化.故A的最小多项式为
k∏(x-λ)从而ii=1k
∏(λE-A)=0即(λE-A)∏(λE-A)=0iii
i=1i≠j
这就是说,列空间包含在λi的特征子空间中,但是由
(1),
是rj的特征子空间的维数,所以结论(Ⅱ)成立.∏(λE-A)的列空间的维数是n,它正ii≠j
推论:
设A为实数域F上的n阶矩阵,A的特征根全为F内,且λ1,λ2是A的全部不同的特征根,其维数分别为r1,r2,若秩(λ1E-A)=r2,秩(λ2E-A)=r1,则A可以对角化,且(λE-A)的列向量组的极大无关组恰是属于λ2的极大线性无关的特征向量组,λ2E-A的列向量组的极大无关组恰是属于λ1的极大无关的特征向量组.
⎛460⎫⎪例1:
判断A=-3-50⎪能否对角化,并求特征向量.
-361⎪⎝⎭
解:
易知A的特征根λ1=-2,λ2=1.
⎛-6-60⎫⎛-3-60⎫⎪⎪350360和=λ1E-A=λE-A2⎪⎪
3-6-3⎪360⎪⎝⎭⎝⎭
⎛0⎫⎛-2⎫⎛1⎫⎪⎪⎪的秩分别为2与1,故A可对角化.又因为可以选取0⎪和1⎪为的列空间的一个基,-1⎪是属
-1⎪1⎪0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
于λ1的特征向量.
定理和推论把判断矩阵是否对角化的问题与求它的特征向量的问题联系起来,给出了一个不4
丽水学院2012届学生毕业论文
用解线性方程组而求得可对角化矩阵的特征向量的方法,在矩阵的不同特征根较少时,这个方法较方便.
2.实对称矩阵对角化的计算方法
我们知道任意实对称矩阵,总正交相似于一对角阵.该对角阵的对角元即为实对称矩阵的特征值,正交相似变换矩阵的各列构成相应的特征向量.给定一实对称阵A,如何求正交相似变换矩阵P,使PAP=PAP为对角阵.理论上的解决方法为:
首先利用特征方程:
|λI-A|=0求出全部特征值,针对不同特征值求出相应的完全特征向量系,合在一起构成实对称阵A的完全特征向量系.再利用施密特正交化法得到A的规范化正交特征向量系.以此作为列向量得到正交相似变换矩阵P,PAP-1-1T=PAPT为对角阵,参见文献[5].此方法理论可行,但在具体操作时,由于要事先求出实对称阵A的全部特征值,操作上有如下困难:
(1)特征方程:
|λI-A|=0给出困难;
(2)特征方程求根困难(5次以上的代数方程没有统一的求根公式).因此有必要寻求方法.
定义2.1(瑞雷商)设A为n阶实对称阵,对于任一n维非零列向量x,称R(x)=(Ax,x)/(x,x)为关于向量x的瑞雷商.
引理2.1设A为n阶实对称阵,λ1≥λ2≥......≥λn为A的特征值.
λ1=maxn(Ax,x),λ=min(Ax,x)1x∈R/{0}x,xx∈R/{0}x,xn
定义2.2设w为n维列向量,且ww=1,则n阶矩阵H=I-2ww称为Householder阵.
引理2.2Householder矩阵具有如下性质:
(1)H=H
(2)HH=HH=I(H是正交阵).
引理2.3设x,y∈R,x≠y,X=Y,则存在Householder矩阵H,使Hx=y.其中H=I-2(x-y)(x-y)/x-y
定理2.1设A是实对称矩阵,λ,x(X2T2TTTTTn=1)是A的一个特征值和相应的特征向量,5
丽水学院2012届学生毕业论文
则存在P为一个正交阵,使Px=e1=(1,0,0...,0).且PAP的第一行和第一列的第一个元素为TT
λ,其余元素均为零.
证设A是实对称矩阵,λ1≥λ2≥...≥λn为A的特征值.根据引理2.1,利用多元函数求极值的拉格朗日乘数法,可求得λ1及相应的规范化特征向量X1.不妨假设‖X1‖=1,由引
1,0,0,...,0).且PAP的第一行和第一列的第一个理2.3,存在P1为一个正交阵,使P1X1=e1=(TT
⎛λ1元素为λ1,其余元素均为零.设PAP=1⎝0T
10⎫⎪,为对称阵,故A1也为对称阵,设λ2及A1⎭
X2为A1最大特征值及相应的规范化特征向量,则根据引理2.3,存在Q2为一个正交阵,使
TQ2x2=e1=(1,0,0,...,0).且Q2AQ12的第一行和第一列除λ2外其余元素均为零.令T
⎛10⎫P2=⎪,容易验证P2亦为正交阵,满足:
0Q⎝2⎭
⎛λ1TTP2PAPP=112⎝0⎛λ100⎫⎪=0λ2Q2A1Q2T⎭00⎝0⎫⎪0⎪A2⎪⎭
T依此类推,存在正交阵p1,p2,⋯,pn-1,使得pn-1...p2p1Ap1Tp2T...pn-1T=D,则PAP=D,
其中D为对角阵,令P=Pn-1P2P1,则PAP=D,P即为将实对称阵对角化的正交相似变换矩阵.T
⎛2102⎫⎪例2:
设矩阵A=105-8⎪,λ1≥λ2≥λ3为A的特征值.按上面的算法进2-811⎪⎝⎭
行对角化,求出正交矩阵P及特征根和特征向量.
解:
(1)利用瑞雷商和多元函数求极值的拉格朗日乘数法,可求得λ1=18,相应的特征向量⎛1为x1=,⎝32,32⎫-⎪3⎭T
(2)计算正交矩
丽水学院2012届学生毕业论文
p1=p1=I-2(x-e1)(x-e1)
T
⎛132
/x-e1=2
32-⎝3
232-31-3
2⎫-⎪3⎪1-⎪,3⎪⎪2⎪-⎪3⎭
⎛1800⎫
T⎪T
-90⎪,至此已实现对角化.借此可求得=λ2=9,满足p1x1=e1=(1,0,0)且P1AP1=0
009⎪⎝⎭
212⎫
λ3=-9.相应的特征向量分别为x2=⎛-,-,-⎪,
33⎭⎝3
21⎫⎛2
x3=,-,-⎪.
33⎭⎝3
T
T
3.循环矩阵对角化方法的研究
⎛a0
an-1在复数域C上,形如A=...⎝a1
a1a0...a2
a2...an-1⎫
⎪
a1...an-2⎪
的矩阵,称关于元素列a0,a1,...,an-1的
.........⎪
⎪
a3...a0⎭
⎛00
循环矩阵.已知n阶循环矩阵K=
...⎝1
1
0⎫⎪
01...0⎪,并令K=Ki(i=1,2,
i
.........⎪...
⎪
00...0⎭
0...
n),称
E,K1,K2,....,Kn-1为循环矩阵基本列(其中E=Kn为单位矩阵).
循环矩阵基本列有如下特点:
①E,K1,K2,...,Kn-1都是循环矩阵;②Kn+i=Ki,即K
n+i
=Ki;
③n阶循环矩阵K有n个特征根:
λm=cos
mxmx
+isin(m=0,1,nn
n-1)
④关于元素列a0,a1,a2,...n阶循环矩阵A可用循环矩阵基本列表示为na-,的1
丽水学院2012届学生毕业论文
A=a0E+a1K+a2K2+...+an-1Kn-1,反之,能用循环矩阵基本列线性表示的矩阵,则一定是循环矩阵.
循环矩阵的性质
性质1同阶循环矩阵的和矩阵为循环矩阵.
性质2同阶循环矩阵的乘积满足交换律.
性质3同阶循环矩阵的乘积为循环矩阵.
性质4循环矩阵的逆矩阵为循环矩阵.
n阶矩阵A关于多项式函数f(x)生成的矩阵为f(A),A的特征根与f(A)的特征根有下面的结论:
命题3.1设f(x)是一个n-1次多项式函数,若λ是矩阵A的特征根,则f(λ)是矩阵f(A)的特征根.
命题3.2设f(x)是一个n-1次多项式函数,若矩阵A相似于矩阵B,则矩f(A)相似于矩阵f(B).
考察n阶循环矩阵K,K的特征多项式为:
λE-K=λ-1=∏(
λ-η),η=enjj
j=0n-12πin(i=
如果n阶循环矩阵A记为A=fA(K)=a0E+a1K+a2K2+...+an-1Kn-1不难求得K中与特征值ηj相应的特征向量,记:
⎡ηj⎤⎡ηj⎤⎡1⎤⎢2j⎥⎢2j⎥⎢j⎥ηη⎥(j)⎢⎥=ηj⎢η⎥=ηjx(j)⎢kx==⎢...⎥⎢...⎥⎢...⎥⎢⎥⎢⎥⎢n-1⎥⎢⎢⎣η⎦,⎣1⎥⎦⎣1⎥⎦
命
n-1x(j)则由
(1)(m)题-1k3.1mkn-1得Ax(j)=fA(K)x(j)=fA(ηj)x(j),可以验证(x,x)=∑η
k=0.η⎧0,1≠m(j).将这n个两两正交的向量x单位化,可得标
=∑(m-1)k=⎨k=0⎩1,1=m
(n-1)⎫x⎬,令矩阵⎭准正交基(
0)x,(
1)x,...,8
丽水学院2012届学生毕业论文
(
0)T=x,
(
1)
x,...,11...1⎛1⎫⎪2n-11ηη...η⎪(
n-1)⎫242(n-1)1η⎪
xη...η⎬=
⎪⎭
...............⎪1η(n-1)η2(n-1)...η(n-1)(n-1)⎪⎝⎭
则T
-1
=T'=
x(0),(
x
(1)
...
x(n-1)
-1
)
命题3.3任意n阶循环矩阵A=fA(K)在复数域C上都可对角化,即TAT=diag[fA(0)fA(η1),...,fA(ηn-1)]
推论n阶循环矩阵A可逆的充要条件是fA(ηi)≠0(i=0,1,...,n-1).
⎛14例3:
求四阶循环矩阵A=3⎝2
21433214
4⎫⎪3⎪
的特征根,并对角化.2⎪⎪1⎭
100001000⎫⎪0⎪1⎪⎪0⎭
⎛00
解:
令f(x)=1+2x+3x2+4x3得A=f(A)(K),K=
0⎝1
由于η=e
2πin
=i,所以A的特征根分别为:
f(A)(η0)=10,f(A)(η1)=-2-2i,f(A)(η2)=-2,f(A)(η3)=-2+2i
⎛1111⎫⎛1111⎫⎪⎪
1-i-1i11-i-1-i⎪1⎪,T-1=T=
21-11-1⎪21-11-1⎪⎪⎪1-i-1-i1i-1-i⎝⎭⎝⎭
4.特殊矩阵特殊对角化的研究
前面对实对称矩阵循环矩阵的对角化问题作了研究,本部分主要讨论,当矩阵只有两个特征根时的对角化问题,方法简捷.对于数域F上的n阶矩阵A,若仅有的两个特征根都在F内,并且可以对角化,不通过解线性方程组求特征向量,而用初等变换求出可逆矩阵T,使TAT为对角形矩阵.
-1
丽水学院2012届学生毕业论文
定理4.1设数域F上的n阶矩阵A可以对角化,其特征根为λ1,λ2,如果
⎛Bn⨯s⎛λ1I-A⎫→⎪−−−−初等变换*⎝I⎭⎝
P,B为列满秩矩阵,那么⎫⎪pn⨯(n-s)⎪⎭0
(i)A的属于λ1的线性无关的特征向量为P的n-s个列向量;A的属于λ2的线性无关的特征向量为B的s个列向量.
⎛λ1⎫⎪...⎪⎪λ1-1(ii)令T=(P,B),则T可逆,且有TAT=⎪λ2⎪⎪...⎪λ2⎪⎝⎭
其中λ1有n-s个,λ2有s个.
证因为初等矩阵不改变矩阵的秩,且B为列满秩,则s=秩B=秩(λ1I-A)=λ2的重数.(i)根据矩阵的初等变换和分块矩阵的运算性质,可得
Pn⨯(n-s))=(B,0)从而(λ1I-A)P=0(λ1I-A)(*,
因P为列满秩矩阵,则P的n-s个列向量为齐次线性方程组(λ1I-A)X=0的基础解系,亦即P的n-s个列向量为A的属于λ1的线性无关的特征向量.又A可以对角化,且λ2的重数为s,则有可逆矩阵Q,使得
⎛λ1⎫⎛λ1⎫⎪⎪......⎪⎪⎪⎪λ1λ1-1A=Q⎪Q,令D=⎪,λλ22⎪⎪⎪⎪......⎪⎪⎪λ2⎭λ2⎪⎝⎝⎭
则有
(λ1I-A)(λ2I-A)=(λ1I-Q-1DQ)(λ2I-Q-1DQ)
丽水学院2012届学生毕业论文
=Q-1(λ1I-D)QQ-1(λ2I-D)Q=Q-1(λ1I-D)(λ2I-D)Q=Q-1OQ=0
由于B的列向量为λ1I-A的列空间的基,则B的s个列向量为齐次线性方程组
(λ1I-A)X=0的基础解系,B的s个列向量为A的属于λ2的线性无关的特征向量.
(ii)因矩阵A的属于不同特征根的特征向量线性无关,且特征向量的个数之和等于A的阶数n,于是,令T=P,B)即有TAT=D-1(
⎛001⎫⎪-1例4:
令矩阵A=010⎪,求可逆矩阵T,使得TAT为对角形式.
100⎪⎝⎭
解:
方法一,先求A的特征根
0-1⎫⎛λ
2⎪fA(λ)=0λ-10⎪=(λ-1)(λ+1)
-10λ⎪⎝⎭
则λ1=1(二重),λ2=-1.可见,此例为定理所述的情况.对矩阵
作初等列变换,即⎛λ1I-A⎫⎪⎝I⎭
⎛10
⎛λ1I-A⎫-1⎪=⎝I⎭1
00⎝0-1⎫⎛1⎪00⎪001⎪-1⎪→00⎪110⎪0⎪⎪01⎭⎝000⎫⎪00⎪00⎪⎛B0⎫⎪=⎪01⎪⎝*P⎭10⎪⎪01⎪⎭
T所以,由定理4.1知,A的属于λ2=-1的线性无关的特征向量为a1=(1,0,-1);A的属于λ1=
1的线性无关的特征向量为a2=(0,1,0),a3=(1,0,1)TT
⎛011⎫⎛1⎫⎪⎪-11令T=100⎪,则有TAT=⎪.这与[1]的结果一致.
01-1⎪-1⎪⎝⎭⎝⎭
方法二在矩阵(λI-A)中,亦可取λ2=-1,这时
丽水学院2012届学生毕业论文
⎛-10-1⎫⎛-100⎫⎪⎪0-200-20⎪⎪
⎛-I-A⎫-10-1⎪-100⎪⎛B0⎫⎪→⎪=⎪=⎪I10010-1*P⎝⎭⎭⎪⎪⎝010⎪010⎪001⎪⎪001⎪⎪⎝⎭⎝⎭
则A的属于λ1=1的线性无关的特征向量为a1=(-1,0,-1),a2=(0,-2,0);A的属于TT
λ2=-1的线性无关的特征向量为a2=(-1,0,1)
⎛-10-1⎫⎛1⎫⎪⎪-11令T=0-20⎪,则有TAT=⎪.
-101⎪-1⎪⎝⎭⎝⎭T
5.常规矩阵对角化方法的新探
众所周知,对数域P上一个n阶矩阵A是否存在一个可逆矩阵T,使得TAT为对角形矩阵,当这种矩阵存在时,如何去寻求它.一般有关教材中都是先计算一个行列式,求出A的特征值,再利用线性方程组和特征向量的有关理论及求法解决此问题的.在这里利用矩阵的初等变换解决此问题的,它比教材中的常规方法简单一些,因为不必解若干的齐次线性方程组,有时也不必计算行列式.-1
5.1理论依据
为说话方便,我们规定如果数域P上,对n阶矩阵存在一个可逆矩T,使得TAT为对角形矩阵,则称矩阵在数域P上可对角化.当可对角化时,我们说将A对角化,即指求矩阵T,使-1T-1AT为对角形矩阵.若矩阵n在数域P上可对角化,则有P上可逆矩阵T,使得T-1AT=B为对角形矩阵.于是B的主对角线上的元素,即为A的全体特征值,并且可表示:
T=QQ12...QS,其中Qi为初等矩阵,i=1,2,...,s,
-1于是,B=Q-1
SQ-1
S-1...Q1-1AQQ12...QS,又Qi也是初等矩阵,由初等矩阵与矩阵的初等变换的
关系,即知Q1-1AQ,相当于对A施行了一次初等行变换与一次初等列变换.这里,我们称此种初等变换为对A施行了一次相似变换.
显见,可对A施行一系列的相似变换化为B.又由,T=EQQ12...QS(E此处表单位矩阵)可如下进行初等变换,则可将A化为对角形矩阵B,且可求得T:
丽水学院2012届学生毕业论文
⎛A⎫对A施行一系列相似变换⎛B⎫→⎪,对E只施行其中的初等列变换.⎪−−−−−−−⎝E⎭⎝T⎭
当A不可对角化时,也可经相似变换化简A后,求得其特征值,判定它可否对角化.
类似地,可由T-1=Q-1
SQ-1
S-1...Q1-1E,做如下初等变换则可将A化为对角形矩阵B,
且可求得T或由B求A的特征值,判定可否对角化:
(A对A施行一系列相似变换E)−−−−−−−→(BT),对E只施行其中的初等行变换.
并且在施行相似变换时,不必施行一次行变换后接着施行一次列变换这样进行,可施行若干次行或列变换后再施行若干次相应的列或行变换,只要保持变换后,最后所得矩阵与A相似即可.
5.2应用举例
为叙述简便,这里用ri表示i第行,ci表示第i列,ri+krj表示用数k乘第j行后再加到第i行上,ci+kcj表示用数k乘第j列后再加到第i列上.
例5求如下矩阵的特征值,并判定它们可否对角化,若可则将其对角化:
⎛1111⎫⎛5-11⎫⎪11-1-1⎪⎪.02⎪,
(2)B=
(1)A=61-11-1⎪-311⎪⎪⎝⎭1-1-11⎝⎭
⎛5-11`⎫⎛4-11⎫⎪⎪r3+r1c1-c3→602⎪−−−→402⎪=C,知A与C相似.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 矩阵 角化 应用 论文
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)