公共基础公式总结.docx

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公共基础公式总结

前言

这套公式大全从根据历年真题中总结而来，全部出自真题。

虽然不是很全，

但应该很有效率！

胆子大的童鞋，可以直接背我这 8 页公式。

胆子小的，就自

己去书海里面去淘吧。

。

高等数学

i

j

k

1. 两平面的交线的方向向量：

 s = a ⨯ b = ax a y az

bx by bz

2. 曲线 C 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 f （）= 0

3.

∂（ϕA）

∂z

=

∂ϕ

∂z

A +

∂A

∂z

ϕ

4. A =

∂ 2 z

2

， B =

∂ 2 z

∂x∂y

， C =

∂ 2 z

2

， AC - B 2 > 0 ，是极值点， AC - B 2 < 0 ，不是极值点

5. lim

x→0

sin x

x

x

= 1 ， limç1 + ⎪ = e

x→∞

6.

μ

x μ+1

μ + 1

+ C（μ ≠ -1）

7.

⎰

dx

1 - x 2

= arcsin x + C

8.

dx

2

x

= ⎰ sec2 xdx = tan x + C

9. ⎰

dx

sin 2 x

= ⎰ csc2 xdx = - cot x + C

10.

x

a x

ln a

+ C

11.

⎰

1

x

dx = 2 x

12.

1

2

dx = -

1

x

13.

2 1

1 / 8

14.

）

⎰⎰ f （x, y dxdy = ⎰⎰ f （ρ cosθ , ρ sinθ ）ρdρdθ

D D

15. 当

1

2

< x < 1时，于是有 ln x < sin x < x 。

16. 椭圆抛物面方程 x 2 + y 2 = z ，圆锥面方程 x 2 + y 2 = z 2 。

b

a

2

∞

n=1

a

1 - q

，当 q ≥ 1 时，级数发散。

19. 公比为 q 首项为 a 的等比级数，当 - 1 < q < 1 时级数收敛，且和为

∞

1

1 - x

n=0

∞

x

，

n=0 n!

∞

，当 p > 1 时，级数收敛。

p

- P（x）dx ⎡

⎥⎦

24. 一对共轭复根 r1,2 = α ± iβ ，通解为 y = eαx （C1 cos βx + C2 sin βx）

线性代数

a

1 - q

。

a

若α ， β ， γ 三线共面，则三条线的方向向量 d

g

b

e

h

c

f = 0 。

i

概率论

1. 当 X 为连续型随机变量时，如果 X 的概率密度函数为 p（x），那么规定 X 的数学期望为

+∞

-∞

2

2 / 8

3. 正态分布 p（x）=

1

2π σ

e

-

（x-μ ）2

2σ 2

，其 EX = μ ， DX = σ 2

4. 当 X 服从参数为 a 、 b 的均匀分布时， E（X ）=

1

2

（a + b）， D（X ）= 1 （b - a）2 ；

12

5. 当 X 服从参数为 λ 的指数分布时， E（X ）=

1

λ

1

λ

2

物理

⎛ σ 2

n

⎫

⎭

1. 理想气体状态方程 pV =

m

M

RT 。

3.  理想气体的压强公式 P =nmv 2

2. 理想气体单位体积内的分子数为：

 n =

1

3

p

kT

4. 单原子分子的平均能量为 ε =

3

2

kT ，刚性双原子分子的平均能量为 ε =

5

2

kT ，刚性多原子

分子的平均能量为 ε =

6

2

kT 。

5. ∆E = Q - A ，Q 为气体吸热，A 为气体对外做功。

6. 速率在 v1 ~ v2

v

7. 波长 λ =

f

区间内分子的平均速率 v 表达式为：

v2

v1

v2

v1

8. 波动方程基本关系：

 y = A cos（Bt - Cx）= A cos 2π

⎛

ç

ç

-

⎫

⎪

⎛ t

⎝ T

-

x ⎫

λ ⎭

⎛

ç

⎝

⎫

⎪

，则波速 u =

B

C ，

u =

λ

T

3 / 8

I

10. 声强级的定义 I L = lg

I 0

11. 双缝干涉条纹间距 ∆x =

D

d

λ 。

 D 为双缝与屏幕之间的距离， d 为两缝间距离。

12. 双缝干涉中光程差 δ = n（r2 - r1 ）

13. 劈尖条纹间距公式：

 l =

14. 由迈克尔逊干涉当条纹移动 N 条，则可动反射镜移动的距离为：

 ∆x = N ⋅

15. 单缝衍射暗纹计算公式：

 a sin ϕ = ±kλ ， a 为单缝宽度， k 暗纹级数。

λ

2

16. 夫琅禾费衍射，中央明条纹宽度为 l0 = 2x1 =

度的两倍。

17. 衍射光栅明条纹形成条件：

 d sin ϕ = ±kλ ；

18. 谱线重叠满足：

 k1λ1 = k2λ2

19. X 射线衍射-布拉格公式 2d sinθ = kλ

n2

20. 布儒斯特定律：

 tan i0 =

n1

2 fλ

a

，中央明条纹的宽度是其他各级明纹宽

21. 第一个偏振片为起偏振器，自然光通过起偏振器后成为偏振光，光强为自然光强度的

1/2，即 I1 =

1

2

I 0 。

由马吕斯定律， I 2 = I1 cos2 θ 。

22. 声波的多普勒效应公式：

ν / =

u ± V0

u mVS

ν 0

1. 电离平衡常数计算式：

 K Θ （NH 3 ）=

+ -

4

化学

2. α =

K Θ

c

， K Θ = cα 2 ， c 为一元弱酸的起始浓度； K Θ 为电离常数；α 为电离度。

3. 溶解度公式：

 c（Mg

2+

）=

c OH -1

K sp

2

4 / 8

Θ

4. 能斯特方程：

 E氧化态 / 还原态 = E氧化态 / 还原态 +

0.059

n

lg

[

[氧化态]

还原态]

6.  K p 为压力平衡常数， Kc 为浓度平衡常数，  K p = K c ⋅ （RT ）

5. 吉布斯-亥姆霍茨公式：

 ∆G = ∆H - T∆S

对 ∆H < 0 ， ∆S > 0 的反应，不管温度高低， ∆G 总小于 0，反应能自发进行。

对 ∆H > 0 ， ∆S < 0 的反应，不管温度高低， ∆G 总大于 0，反应都不能自发进行。

当 ∆H < 0 ， ∆S < 0 时，低温趋向 ∆G < 0 ，正向自发，高温趋向 ∆G > 0 ，正向非自发。

∆n

7. 标准常数 ln K θ = -

θ

∆ r Gm

2.303RT

。

12  l  ；以其一端为

轴的转动惯量为 J =ml 2 。

理论力学

1. 等截面均质细杆，长为 l ，质量为 m ，以其质心为轴的转动惯量为 J =

1

3

m 2

2. 等厚均质薄圆板，半径为 R ，质量为 m ，以其质心为轴的转动惯量为 J C =

1

2

mR 2

3. 圆盘转动：

 v = Rω 、ατ = Ra 、 aτ =

dv

dt

、 an =

v 2

R

、α n = Rω 2 、 a = a2 + an 、 a 为角加

速度。

材料力学

1. 名义剪应力τ =

Q

AQ

2. 剪切胡克定律τ = Gγ ，τ 为剪应力、 G 为材料的剪切弹性模量、 γ 为剪应变。

3. 圆杆扭转时的最大切应力τ max =

M T

Wt

=

M T

π

16 d

3

，其中抗扭截面系数Wt =

πd 3

16

。

或者也可以

表示为τ max =

θGd

2

（这个公式建立了切应力与扭转角之间的关系）

4. 圆轴扭转角θ =

M T L

GI P

， I p =

π

5 / 8

5. 圆形的惯性矩 I =

πd 4

64 ，

矩形的惯性矩 I =

ba3

12 ，

正方形的惯性矩 I z，正 =

a 4

12

6. 直径为 d 的圆形对其形心轴的惯性半径 i 等于 i = iy = iz =

I z

A

7. 极惯性矩的值恒等于以该点为原点的任一对坐标轴的轴惯性矩之和，即 I p = I y + I z 。

8. 圆轴的抗弯截面系数W =

πd 3

32

，矩形杆的抗弯截面系数W =

bh 2

6

。

9. 根据公式梁的弯曲曲率

1

ρ

=

M

EI

，可知曲率与弯矩成正比，故曲率的最大值发生在弯矩最

大的截面上。

10. 主应力最大值σ max =

11. 主应力最小值σ min =

σ x + σ y

2

σ x + σ y

2

⎛ σ x - σ y

2

⎛ σ x - σ y

2

2

⎭

2

⎭

12. 斜截面上切应力：

τ α =

σ x - σ y

2

sin 2α + τ x cos 2α ；

13. 圆轴半径变为 2 倍，则其最大剪切力变为τ 2max =

π

16

T

（2d ）

=

1 T

8 π d 3

16

1

8

转角变为ϕ2 =

G

Tl

π

32

=

1 Tl

16 G π d 4

32

=

1

16

φ1 。

π 2 EI

14. 细长压杆的临界力公式：

 Pcr =

（μL）2

15. 两端铰支，长度系数 μ = 1

一端自由、一端固定，长度系数 μ = 2

一端铰支、一端固定，长度系数 μ = 0.7

16. 跨中承受集中力的简支梁的最大挠度为 C 点， f c =

6 / 8

Fl 3

48EI

与惯性矩 I 成反比

17. 悬臂梁的挠度公式 f =

Pl 3

3EI

19. 移轴定理：

 I z = ⎰ y  dA = ⎰ y 2d （yb）

18. 悬臂梁自由端承受集中力偶 M ，则梁挠度 f =

B

2

A

20. 圆轴承受的扭矩：

 T = GγWP

Ml 2

2EI

流体力学

1. 毕托管测流速公式 u A =2g

∆p

ρg

= 2g

（ρ水 - ρ油 ）g∆h

gρ水

2. 保持流体的层流流体要求雷诺数 Re =

3. 曼宁公式 C =

R

n

ud

υ

≤ 2000

4. 比阻 s =

8λ

gπ 2d 5

，即单位流量通过单位长度管道所需的水头。

8λL2

5. 并联管段流量比等于该二管段阻抗反比的平方根，即

Q1

Q2

=

S2

S1

=

π 2 gd 2

8λL1

π 2 gd1

，或者

Q2⎝ d 2 ⎭Q2

5

Q ⎛ d ⎫ 2 Q

L2

L1

。

6. 渗透系数 K =

Q

AJ

，A 是面积，注：

 J =

H

h

⨯ 总秒数

7. 井的影响半径 R = 3000S k ，式中 S = H - h 为井中水位降深，渗流系数 k 以 m / s 计。

8. 潜水完全井产水量公式：

 Q = πk

2

ln

- h 2

R

r0

）

10. 流速 v =

Rγ

d

，流量 Q = vA 。

⎡

⎢ ⎝ r0

⎫

⎭

2

⎤

⎥

⎥

7 / 8

11. 水闸铅垂分力 Py = ρgV p

12. 保持层流的最大流速是 vk =

Rekγ

d ，

Rek = 2000

13. 紊流附加切应力：

τ 2 = -ρ μ x μ y

14. 自由出流管 H =

αv 2

2g

+ hw =

αv 2

2g

⎛ L

⎝ d

2

+ ζ ⎪

⎭ 2g

15. 汇流水管连续性方程

（1）：

Re1⋅ γ

d1

⨯

π 2

4

Re2 ⋅ γ

d 2

⨯

4

16. 汇流水管连续性方程

（2）：

 Q = A1v1 + A2v2 = A3v3

17. 模型的长度比尺

/

qv

qv

= kl2.5

1. 三相异步电动机的额定转矩 TN =

PN

2πnN

60

电工电子

P

nN

（

2. 三相交流异步电动机的转速 n = 1 - s）

-n

60 f1

p

工程经济

1 + i）n - 1

2. 等额年金现值公式：

 P = A

n

i（1 + i）n

3. 等额支付资金回收公式 A = P

（1 + i）n - 1

i

4. 插值法求内部收益率：

 IRR = i1 + （ 2 - i1 ）

NPV1

NPV1 - NPV2

。

（

5. 资金成本率 ke = Re 1 - T ）。

其中 ke 为资金成本率， Re 为年利率， T 为所得税率。

6. 盈亏平衡点的销售收入 S = PN = P ⋅

CF

P - CN

8 / 8