抛物型方程的计算方法.doc
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分类号:
O241.82
本科生毕业论文(设计)
题目:
一类抛物型方程的计算方法
作者单位数学与信息科学学院
作者姓名
专业班级2011级数学与应用数学创新2班
指导教师
论文完成时间二〇一五年四月
一类抛物型方程的数值计算方法
(数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班)
指导教师
摘要:
抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。
差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式,有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式.本文首先给出抛物型方程的差分计算方法,并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后,给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析.
关键词:
差分方法,有限元方法,收敛性,稳定性
Numericalcomputationmethodsforaparabolicequation
Yanqian
(Class2,Grade2011,CollegeofMathematicsandInformationScience)
Advisor:
Niehua
Abstract:
Thecommonmethodstosolveparabolicequationsincludedifferentialmethod,finiteelementmethodetc.Themainideaofdifferentialmethodistoconstructdifferentialschemesbydiscretizingdifferentialequationsdirectly.Finiteelementschemeisbasedonthevariationalmethodofparabolicequations.Inthisarticle,wegivesomedifferentialschemesforaparabolicequationandanalyzetheirconvergenceandstability.Moreover,thefiniteelementmethodandthecorrespondingtheoreticalanalysisforparabolicequationareestablished.
Keywords:
differentialmethod,finiteelementmethod,convergence,stability
1绪论
1.1引言
自然界里中热的传播,溶质在液体中弥散,多孔介质中渗流等随时间发展的现象和过程,都可以用抛物型方程来描述.因此,抛物型方程是刻画自然界的一类很重要的方程.然而,很多的方程我们并不能求出它的精解确,或者表达式过于复杂,所以需要采用数值方法去计算它们的近似解.
抛物型方程最基本的计算方法当属有限差分法[
],通过离散化便可得到计算格式,该方法构造简单,易于操作.但是在处理一些复杂的边值问题时计算会很复杂,因此我们需要探讨一些新的处理手段.
有限元计算方法起源于椭圆型方程的计算,它将求解椭圆型方程的解转换为求解其变分形式的解[1],从而极大地丰富了偏微分方程的计算手段.正式由于其在椭圆型方程计算中的巨大优势,以及抛物型方程与椭圆型方程的密切联系,所以该方法很自然的被推广到了抛物型方程初边值问题的计算上[4].
本文系统的总结了一类抛物型方程的计算方法,包括有限差分法和有限元方法.并且通过数值算例给出了两类方法的一个比较.为此,本文需要先给出一些基本的分析知识作为研究该问题的基础[6,7],下来就给出了抛物型方程的变分形式,这个是构造有限元计算格式的基础,在此基础上,给出了有限元计算格式并讨论了其收敛性和稳定性.
1.2准备知识
抛物型偏微分方程是一类典型的发展方程,其一般形式如下:
(1.1.1)
其中是空间自变量和时间的未知函数,是关于空间变量的线性椭圆型微分算子,即
其系数,且在方程(1.1.1)的定义域中满足椭圆性条件
(1.1.2)
当是非线性椭圆型微分算子或者是的非线性函数时,则称相应的抛物型方程为非线性的.
下面给出抛物型方程的定解条件:
初值条件,不妨设初始时刻,则
(1.1.3)
第一类边值条件:
(1.1.4)
第二类边值条件:
(1.1.5)
第三类边值条件:
(1.1.6)
其中,为.
2,有限差分法
本章将给出抛物型方程最基本的计算方法—有限差分法。
我们以一维热传导方程为例,给出其差分格式并讨论其收敛性,稳定性等基本问题.本章内容主要引用文献[1].
用差分法计算抛物型方程的初边值问题时,可以先考虑在区域上引入空间网格,例如在直角坐标系中采用平行于坐标轴的等距离直线族形成的矩形网格,其次,将定义在上的函数替换成定义在空间网格节点集上的离散函数;然后,用适当的差分格式将微分算子替换成差分算子,这一过程称为半离散化.对由半离散化得到的常微分方程初值问题,再进一步对时间离散化,选用适当的求解常微分方程初值问题的数值方法,就得到求解抛物型方程的初边值问题的全离散化格式.接下来,将按照这一处理思路对热传导方程的差分计算格式进行探讨.
2.1差分格式
考虑一维热传导方程:
,0<(2.1.1)
其中是正常数,连续。
下面给出两类定解条件:
第一,初值问题:
求可微函数,满足(1.1.1)和初始条件:
(2.1.2)
第二,初边值问题:
求可微函数(1.1.1)和初始条件:
(2.1.3)
以及边值条件
(2.1.4)
现在考虑边值问题(1.2.1),(1.2.3),(1.2.4)的差分格式.取步长空间和时间步长,其中都是自然数.用两族平行直线和将矩形域分割成矩形网格,网格节点为.以表示网格内点集合,即位于开矩形的网点集合;表示所有位于闭矩形的网点集合;是网格界点集合.
其次,用表示定义在网点上的函数,用适当的差商代替方程(1.2.1)中相应的偏微商,便得到以下几种最简单的差分格式.
2.1.1向前差分格式
考虑
(2.1.5)
其中
以表示网比,将(2.2.5)整理成易于计算的形式,使得第层值,即上标为在等式右边,第层值在等式左边,则可得到
(2.1.6)
这样的话,又(2.1.6)取,利用初值条件和边值条件可计算出.再将的值带入计算,从而就可逐次迭代计算出所以的,并且视其为精确解的近似,由于第()层的值通过第层值明显表示,无需求解线性代数方程组,如此差分格式称为显示格式.
下来给出这种计算格式的误差分析:
记
显然截断误差(2.1.7)
2.1.2向后差分格式
考虑
(2.1.8)
将上式改写为
(2.1.9)
显然,第()层的值不能用第层值明显表示,而是由线性代数方程组(2.1.9)确定,这样的差分格式称为隐格式.
令
则截断误差为
(2.1.10)
此外,还有六点差分格式以及Richardson格式,具体可以参见文献[1],都是简单的抛物型方程差分格式.
2.2差分格式的稳定性与收敛性
差分格式的稳定性概念见文献[1],此处本文只给出相关的稳定性定理及实例分析.
2.2.1判别稳定性的直接估计法(矩阵法)
命题1[1](必要条件)以表示矩阵的谱半径,则差分格式稳定性的必要条件是存在与无关的常数使
(2.2.1)
命题2[1](充分条件)若是正规矩阵,及和它的共轭转置成绩可交换:
,则(2.2.1)也是差分格式稳定的充分条件.
推论1若是对称矩阵,是矩阵的实系数有理函数:
则差分格式稳定的充要条件是,其中是的特征值。
(只需注意是实数和矩阵的四则运算)
下面引出两个例子,来具体分析有限差分计算的稳定性判定:
例1[1]对向前差分格式(以下设(2.2.4)中的),则,,
为使或当且仅当,从而.所以向前差分格式当时稳定,当时不稳定.
2.2.2收敛性与敛速估计
如最简差分格式,考虑热传导方程的初边值问题:
(2.2.2)
相应的差分格式为
(2.2.3)
其向量形式如,其中为增长矩阵.
那么差分逼近的截断误差
(2.2.4)
是上的任一充分光滑函数,称差分算子是边值问题(2.2.2)的相容逼近,如果相容条件
(2.2.5)
成立,其中是分量为的向量,是中的范数.
先对差分解作出某种估计:
将(2.2.3)的解分解为
其中满足零初值和非齐右端方程:
而满足非零初值和齐右端方程:
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