复数教案小学.docx

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复数教案小学

复数教案小学

（经典版）

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序言

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复数教案小学

　　这是复数教案小学，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

　　复数教案小学第1篇

　　教学目标

（1）掌握复数的有关概念,如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。

（2）正确对复数进行分类,掌握数集之间的从属关系;

　　（3）理解复数的几何意义,初步掌握复数集c和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。

　　（4）培养学生数形结合的数学思想,训练学生条理的逻辑思维能力.

　　教学建议

（一）教材分析

　　1、知识结构

　　本节首先介绍了复数的有关概念,然后指出复数相等的充要条件,接着介绍了有关复数的几何表示,最后指出了有关共轭复数的概念.

　　2、重点、难点分析

（1）正确复数的实部与虚部

　　对于复数,实部是,虚部是.注意在说复数时,一定有,否则,不能说实部是,虚部是,复数的实部和虚部都是实数。

　　说明:

对于复数的定义,特别要抓住这一标准形式以及是实数这一概念,这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。

（2）正确地对复数进行分类,弄清数集之间的关系

　　分类要求不重复、不遗漏,同一级分类标准要统一。

根据上述原则,复数集的分类如下:

　　注意分清复数分类中的'界限:

　　①设,则为实数

　　②为虚数

　　③且。

　　④为纯虚数且

　　（3）不能乱用复数相等的条件解题.用复数相等的条件要注意:

　　①化为复数的标准形式

　　②实部、虚部中的字母为实数,即

　　（4）在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时,要注意:

　　①任何一个复数都可以由一个有序实数对（）唯一确定.这就是说,复数的实质是有序实数对.一些书上就是把实数对（）叫做复数的.

　　②复数用复平面内的点z（）表示.复平面内的点z的坐标是（）,而不是（）,也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是.由于=0+1·,所以用复平面内的点（0,1）表示时,这点与原点的距离是1,等于纵轴上的单位长度.这就是说,当我们把纵轴上的点（0,1）标上虚数时,不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位,或者就是纵轴的单位长度.

　　③当时,对任何,是纯虚数,所以纵轴上的点（）（）都是表示纯虚数.但当时,是实数.所以,纵轴去掉原点后称为虚轴.

　　由此可见,复平面（也叫高斯平面）与一般的坐标平面（也叫笛卡儿平面）的区别就是复平面的虚轴不包括原点,而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点.

　　④复数z=a+bi中的z,书写时小写,复平面内点z（a,b）中的z,书写时大写.要学生注意.

　　（5）关于共轭复数的概念

　　设,则,即与的实部相等,虚部互为相反数（不能认为与或是共轭复数）.

　　教师可以提一下当时的特殊情况,即实轴上的点关于实轴本身对称,例如:

5和-5也是互为共轭复数.当时,与互为共轭虚数.可见,共轭虚数是共轭复数的特殊情行.

　　（6）复数能否比较大小

　　教材最后指出:

“两个复数,如果不全是实数,就不能比较它们的大小”,要注意:

　　①根据两个复数相等地定义,可知在两式中,只要有一个不成立,那么.两个复数,如果不全是实数,只有相等与不等关系,而不能比较它们的大小.

　　②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指:

“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘　　（i）对于任意两个实数a,b来说,a

　　（ii）如果a

　　（iii）如果a

　　（iv）如果a0,那么ac

（二）教法建议

　　1.要注意知识的连续性:

复数是二维数,其几何意义是一个点,因而注意与平面解析几何的联系.

　　2.注意数形结合的数形思想:

由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系,所以用“形”来解决“数”就成为可能,在本节要注意复数的几何意义的讲解,培养学生数形结合的数学思想.

　　3.注意分层次的教学:

教材中最后对于“两个复数,如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明,如果有学生提出来了,在课堂上不要给全体学生证明,可以在课下给学有余力的学生进行解答.

　　复数的有关概念

　　教学目标

　　1.了解复数的实部,虚部;

　　2.掌握复数相等的意义;

　　3.了解并掌握共轭复数,及在复平面内表示复数.

　　教学重点

　　复数的概念,复数相等的充要条件.

　　教学难点

　　用复平面内的点表示复数m.

　　教学用具:

直尺

　　课时安排:

1课时

　　教学过程:

　　一、复习提问:

　　1.复数的定义。

　　2.虚数单位。

　　二、讲授新课

　　1.复数的实部和虚部:

　　复数中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。

　　2.复数相等

　　如果两个复数与的实部与虚部分别相等,就说这两个复数相等。

　　即:

的充要条件是且。

　　例如:

的充要条件是且。

　　例1:

已知其中,求x与y.

　　解:

根据复数相等的意义,得方程组:

　　∴

　　例2:

m是什么实数时,复数,

（1）是实数,

（2）是虚数,（3）是纯虚数.

　　解:

（1）∵时,z是实数,

　　∴,或.

（2）∵时,z是虚数,

　　∴,且

　　（3）∵且时,

　　z是纯虚数.∴

　　3.用复平面（高斯平面）内的点表示复数

　　复平面的定义

　　建立了直角坐标系表示复数的平面,叫做复平面.

　　复数可用点来表示.（如图）其中x轴叫实轴,y轴除去原点的部分叫虚轴,表示实数的点都在实轴上,表示纯虚数的点都在虚轴上。

原点只在实轴x上,不在虚轴上.

　　4.复数的几何意义:

　　复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的.

　　5.共轭复数

（1）当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数。

（虚部不为零也叫做互为共轭复数）

（2）复数z的共轭复数用表示.若,则:

;

　　（3）实数a的共轭复数仍是a本身,纯虚数的共轭复数是它的相反数.

　　（4）复平面内表示两个共轭复数的点z与关于实轴对称.

　　三、练习1,2,3,4.

　　四、小结:

　　1.在理解复数的有关概念时应注意:

（1）明确什么是复数的实部与虚部;

（2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求;

　　（3）弄清复平面与复数的几何意义;

　　（4）两个复数不全是实数就不能比较大小。

　　2.复数集与复平面上的点注意事项:

（1）复数中的z,书写时小写,复平面内点z（a,b）中的z,书写时大写。

（2）复平面内的点z的坐标是（a,b）,而不是（a,bi）,也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是i。

　　（3）表示实数的点都在实轴上,表示纯虚数的点都在虚轴上。

　　（4）复数集c和复平面内所有的点组成的集合一一对应:

　　五、作业1,2,3,4,

　　六、板书设计:

　　§8,2复数的有关概念

　　1定义:

例13定义:

4几何意义:

　　……………………

　　2定义:

例25共轭复数:

　　……………………

　　复数教案小学第2篇

　　引入：

　　大家都知道，数，是数学中的基本概念，也是我们生活和科学技术时刻离不开的语言和工具。

前几天，老师遇到了这样一个与数有关的问题，大家看看该怎样解决呢？

　　问题1：

已知，求：

（1）；

（2）。

　　对于第二个问，学生可能出现下面几种方案得出结论，

　　方案一：

　　方案二：

　　方案三：

通过可是

　　方案四：

　　你是怎么处理的，结论是什么？

　　第二个问为什么没解出来？

为什么存在着使的数，但是却求不出来，你是怎么想的呢？

　　正如同学们所分析的，数的概念需要进一步发展，实数集需要扩充。

这就是本节课要研究的内容——§3.3.1数系的扩充与复数的概念。

　　应该如何进行数的扩充呢？

到目前为止，大家已经知道，数系经历了三次扩充，就让我们通过回忆，从中寻找数系扩充的方法。

　　请大家以四人为一组合作探讨下面的问题。

　　问题2：

数在不断的发展，到目前为止，经历了三次扩充，

（1）回顾数从自然数发展到实数的三次扩充历程。

（2）说明数集N,Z,Q,R的关系

（2）分析每一次引入新数，扩大数系的原因。

　　同学们说的非常好，数的这种发展一方面是生产生活的需要，另一方面也是数学本身发展的需要。

　　数与数之间的联系正是通过一些运算建立起来的，如果没有运算，数不过是一些孤立的符号，毫无意义，接下来让我们从运算的角度，进一步讨论数的扩充。

　　问题3：

对于加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算来说，在以下四个数集中，

（1）任意两个数运算所得的结果是否仍然属于这个数集。

（2）试着分析，引入负数，分数，无理数对于运算的影响。

　　通过不断的引入新数，数系逐步扩大到了实数系。

通过这个表格，我们看到，新的数集中，原有的运算律仍然适用，同时引入新数后，使得原来的某种不可以实施的运算变得可行了。

　　问题4：

现在我们要进行数系的再一次扩充就是要解决什么问题？

怎么解决？

你能具体说一说吗？

　　同学们分析的很好，到目前为止，负数开偶次方的问题还没有解决，我们不妨先来研究负数开平方的问题，从运算的角度来说，也就是要解决方程在实数系中无解的问题。

像大家说的，我们可以仿照前面的做法，引入一种新数，法国数学家笛卡尔给这些数起名叫虚数，即“虚的数”与“实数”相对应．这是因为最开始研究这种新数是在16世纪，而那个时候人们没能发现什么事物可以支持这样的数。

　　如果引入虚数，负数可以开方了，那么就有意义了。

我们希望，引入虚数后，原来在实数集中给出的运算规则仍能适用。

例如，在引入虚数后，我们希望能把表示成的形式。

实际上任何一个负数的平方根都可以表示成一个实数与的乘积的形式，因此，意大利数学家邦贝利提出可以把看作虚数单位。

　　负数、分数和无理数引入时，都相应的带来了一种新的记号，那么对于虚数，用一种什么样的记号来表示呢？

　　现在我们规定：

（1）；

（2）。

　　使用来表示这个数，是伟大的数学家欧拉在1777年，双目失明以后凭借着超乎寻常的意志和毅力，仍然不放弃对科学问题的思索与追求的结果，从而让虚数有了一个特征性的记号。

从此，也就不在使用表示虚数单位了，而是了。

那么，这种表示方法既简洁又有特点。

　　问题5：

不仅仅是虚数吧，你还能说出其他形式的虚数吗？

那么通过运算，虚数可以用表示成什么形式呢？

（讨论）

　　一．复数的定义

　　虚数与实数构成了一个新的数集，我们把这个新的数集叫做复数集，记作。

这样我们就完成了数系的又一次扩充。

我们把新的数系称作复数系。

　　该怎样用描述法表示集合呢？

　　形如的数，我们把它们叫做复数，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部。

　　一个复数是由两部分组成的，如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等，反之亦然，即

　　问题6：

实数与虚数组成了复数，那么这种形式，什么时候表示实数，什么时候表示虚数呢？

　　二．例题

　　例题1.判断下列各数哪些是实数、虚数、纯虚数，并指出它们各自的实部和虚部。

　　例题2．当取何实数时，复数是：

（1）实数

（2）虚数（3）纯虚数（4）零

　　结论：

　　三．虚数引入的必要性

　　通过前面的研究，大家对虚数已经有了初步的认识，然而历史上引入虚数，可不是件容易的事，是许多数学家200多年的努力，才奠定了虚数在数学领域的地位。

开始很多人都不承认虚数，就连科学家牛顿也不认为虚数有多少意义，他认为虚数的引入只是为了使不可解的问题，显得像是可以解的样子。

　　他在《大術》第三十七章中，提出並解決這樣的問題：

「把10分為兩部分，其中一部份乘以另一部份結果為40…因此，將分成的兩部分應是5+事实并非如此，我们最开始研究的问题1，就是16世纪，意大利数学家卡尔达诺研究的一个著名问题：

“将10分成两部分，使他们的乘积等于40”的变形。

这个问题就说明了虚数的存在性。

　　数十年后另一个意大利数学家邦贝力（R.Bombelli，1526-1573）发现，方程有三个实数根4，。

邦贝力在利用三次方程求根公式求解时，却发现实数4竟然是用来表示的。

　　这个问题进一步说明了虚数不是虚无飘渺的，而是客观存在的。

　　四．复数的实际应用

　　在十六世纪，很多数学家不认可虚数，只不过因为那时人们对数的认识还不是很深刻，负数和无理数才刚刚接受，让他们接受负数可以开方就更难了。

而且那时也无法在现实世界中找到任何可以支持虚数的事物。

　　不过经过许多数学家的深入研究与探索，现在复数理论越来越完善，它的重要性也越来越明显。

在处理很多数学问题，如代数、分析、几何与数论等问题中，皆可看到复数的踪迹。

　　一些碎形就是基于复数理论基础上的。

　　这个图就是碎形——曼德勃罗集合，这是他的局部放大图。

　　复数更多的应用是作为一种数学工具，服务于各个领域。

比如复数为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，为建立巨大水电站（如三峡水电站）提供了重要的理论依据。

　　复数还广泛的应用于物理学的各个分支，比如在交流电，工程力学中的计算，计算量子力学中的震荡波产生的影响，等等。

　　五．师生小结

　　那么，通过这堂课的学习你有哪些收获？

　　今天我们的学习仅仅是打开了研究复数的大门，对复数的认识还是肤浅的，在今后的学习中，大家再慢慢体会复数的作用。

　　板书：

　　§3.1.1数系的扩充与复数的概念

　　一．虚数

　　1．虚数单位

　　2．虚数的表示形式

　　二．复数

　　1．概念：

形如的数，叫做复数的实部，叫做复数的虚部。

　　2．性质：

　　复数教案小学第3篇

　　目标：

（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法

　　高中集合的概念数学教案

（2）使学生初步了解“属于”关系的意义

　　（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义

　　重点：

集合的基本概念

　　教学过程：

　　1．引入

（1）章头导言

（2）集合论与集合论的创始者-----康托尔（有关介绍可引用附录中的内容）

　　2．讲授新课

　　阅读教材，并思考下列问题：

（1）有那些概念？

（2）有那些符号？

　　（3）集合中元素的特性是什么？

　　（4）如何给集合分类?

（一）有关概念:

　　1、集合的概念

（1）对象：

我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.

（2）集合：

把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.

　　（3）元素：

集合中每个对象叫做这个集合的元素.

　　集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……

　　2、元素与集合的关系

（1）属于：

如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

（2）不属于：

如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作

　　要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.

　　3、集合中元素的特性

（1）确定性：

给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.

（2）互异性：

集合中的元素一定是不同的.

　　（3）无序性：

集合中的元素没有固定的顺序.

　　4、集合分类

　　根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：

（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф

（2）含有有限个元素的集合叫做有限集

　　（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集

　　注：

应区分，，，0等符号的含义

　　5、常用数集及其表示方法

（1）非负整数集（自然数集）：

全体非负整数的集合.记作N

（2）正整数集：

非负整数集内排除0的集.记作N*或N+

　　（3）整数集：

全体整数的集合.记作Z

　　（4）有理数集：

全体有理数的集合.记作Q

　　（5）实数集：

全体实数的集合.记作R

　　注：

（1）自然数集包括数0.

（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*

　　课堂练习：

教材第5页练习A、B

　　小结：

本节课我们了解集合论的发展，学习了集合的概念及有关性质

　　课后作业：

第十页习题1-1B第3题

　　附录：

　　集合论的诞生

　　集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.十七世纪数学中出现了一门新的分支：

微积分.在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果.其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动.正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端.到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念.他对集合所下的定义是：

把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.

　　康托尔的不朽功绩

　　前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：

“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”.因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来.

　　数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱.因为这一原因，在数学发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概念.但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路.他把无穷集这一词汇引入数学，从而进入了一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界.对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子.下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么.

　　“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示.”学过集合那一章后，同学们应该对这句话不会感到陌生.但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作.在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释.无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在.这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.十八世纪数学王子高斯就持这种观点.用他的话说，就是“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的.所谓无穷，只是一种说话的方式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想.由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的.然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷.他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理论.这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界.

　　最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究.他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数.他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势.由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应?

?

例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系?

?

也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数.这与传统观念“全体大于部分”相矛盾.而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征.在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集.又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集.后来当他又证明了代数数集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集.但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集.这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：

“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成.”而当他得出这一结论时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已.这是何等令人震惊的结果！

然而，事情并未终结.魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物.从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次.他所要做的下一步工作