1996考研数三真题及解析.docx
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1996考研数三真题及解析
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
⑴设方程x=yy确定y是x的函数,则dy=
1⑵设[xf(x)dx=arcsinx+C,则]dx=..
'f(x)
⑶设Xo,y°是抛物线y=ax•bxc上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应
满足的关系是
1w
(B)0dy0f(x,y)dx
1Jx-x2
(D)0dx0f(x,y)dy
⑸设由来自正态总体X~N(~0.92)容量为9的简单随机样本,得样本均值X二5,
则未知参数J的置信度为0.95的置信区间为
、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只
有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
cos-71
(1)累次积分.0d[0f(rcosdrsin^)rdr可以写成()
1qy-y2
(A)0dy0f(x,y)dx
n吒n壬nT
001
(C)若正项级数7Un发散,则Un-丄
n#n
qQqQ
(D)若级数aUn收敛,且Un-Vn(门=1,2,川),则级数%也收敛
nmnm
⑶设n阶矩阵A非奇异(n-2),A是矩阵A的伴随矩阵,则()
(A)(A\—An」A(B)(AT=A'
(C)(A,=A心A(D)(AT=A
(4)设有任意两个n维向量组和、,”I,f,若存在两组不全为零的数
'1^1,'m和ki,|||,km,使
(1匕):
i川(冷*km)〉m(1-匕)“*山(m-匕):
m=0,则
)
(A):
-iJ|L:
m和S,HI「m都线性相关
(B):
lJH:
m和sHLm都线性无关
(C)―-lJiL:
^■-m,:
1--lJlL:
^--m线性无关
(D)>1「1,川Cm「m,〉1-r,lH,〉m-F线性相关
⑸已知0:
:
P(B)<1且P[AA2B]二P(AB)P(A2B),则下列选项成立的是()
(A)P[AA2B]二P(A1B)P(A2B)
(B)PABA2BAP(AB)P(AB)
(C)PaA2二P(A1B)P(A2B)
(D)
三、(本题满分6分)
P(x)-e
设f(x)二二
.〔0,
g(0)=1,g(0)一1.
PB二PAP(BA)P©)P(BA)
-X
X,XF,其中g(x)有二阶连续导数,且
x=0,
(1)求f(x);
⑵讨论f(x)在上的连续性.
四、(本题满分6分)
设函数z=f(u)力程u=(upP(t)dt确定u是x,y的函数,其中f(u),「(u)
y
可微;p(t),‘(u)连续,且:
(up21.求p(y)WP(x)二.
CXcy
五、(本题满分6分)
六、(本题满分5分)
1
设f(x)在区间[0,1]上可微,且满足条件f⑴=2;xf(x)dx.试证:
存在(0,1)
使
f()•f()=0.
七、(本题满分6分)
设某种商品的单价为p时,售出的商品数量Q可以表示成c,其中
p+b
a、b
c均为正数,且abc.
(1)求p在何范围变化时,使相应销售额增加或减少•
(2)要使销售额最大,商品单价p应取何值?
最大销售额是多少?
八、(本题满分6分)求微分方程业=y的通解.
dxx
九、
(本题满分80分1
设矩阵A=
10
00
(1)已知A的一个特征值为3,试求y;
⑵求矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵.
十、(本题满分8分)
设向量:
•1,:
2川,:
\是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,向量1不是方
程组
AX=0的解,即A:
=0.试证明:
向量组:
,"■-^1^线性无关.
、(本题满分7分)
假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元;发生一次故障仍可获得利润5万元;发生两次故障所获利润0元;发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.
求一周内期望利润是多少?
十二、(本题满分6分)
考虑一元二次方程x2Bx0,其中B、C分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数•求该方程有实根的概率p和有重根的概率q.
十三、(本题满分6分)
假设Xi,X2,川,Xn是来自总体G的简单随机样本;已知EXk"k(k=1,2,3,4).
1n2
证明:
当n充分大时,随机变量乙Xi2近似服从正态分布,并指出其分布参
ny
数.
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
(1)【答案】
dx
【解析】方法1:
方程x=yy两边取对数得Inx=lnyy=ylny,再两边求微分,
1dx二Iny1dy二dydxxIny1=0.
xxIny1
方法2:
把x二yy变形得x二eyIny,然后两边求微分得
dx=eylnydyIny=yy1Inydy=x1Inydy,
⑶【答案】C-0(或ax:
二c),b任意a
【解析】对y=ax2•bx•c两边求导得y=2axb,y'x°]=2axo-b,所以过Xo,yo的切线方程为y-y°=:
[2axg•bx—Xg,即
2
y-ax0bx0c=2ax0bx-x0.
又题设知切线过原点0,0,把x二y=0代入上式,得
-ax0-bx0-c二—2ax0-bx0,即卩ax0—c.
由于系数a=0所以,系数应满足的关系为-_0(或a£=c),b任意.
a
⑷【答案】(1,0,0,川0丨
【解析】因为A是范德蒙行列式,由a知A=口(q-a」汗0.根据解与系
数矩阵秩的关系,所以方程组ATX二B有唯一解.
【相关知识点】克莱姆法则:
若线性非齐次方程组Xn=D,
』a21x1+a22x2+[11+a2nXn=b2,
i4an21It^2X2十川+annXn=bn・
其中Dj是用常数项^4,川,0替换D]中第砧列所成的行列式I,即am
a21IHa2,jJb2a2,j1川a2n
【解析】可以用两种方法求解:
⑴已知方差匚2=0.92,对正态总体的数学期望」进行估计,可根据
—1n
因XLN(」,0.92),设有n个样本,样本均值~"X=-'Xi,
2—n
有XL肌〜瞠),将其标准化,由公式X「E(X)~N(0,1)得:
n-…
X一.D(X)n
1~N(01)°
p曙
一心,
(x-u疾需,x嗨肩).
(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值)的置信区间问题.
二'卜妝命,X+U輕法J,
-〉,U|_N(0,1),可以直接得出答案.
由正态分布分为点的定义
进而确定相应的置信区间
:
:
:
u1-:
-可确定临界值u.
I-J厉、2
—).
由教材上已经求出的置信区间I
”1
其中P」|Uvu“=1•2j
方法1:
由题设,1-口=0.95,可见
a=0
.05.查标准正态分布表知分位点
=1.96.本题n=9,X=5,因此,根据P{
5」
u.z
2
P{
<1.96^-0.95,有
£1.96}=0.95,即卩P{4.4122
卩对爲}=0.95,
故4的置信度为0.95的置信区间是(4.412,5.588).
方法2:
由题设,1■-0.95,
P{U 22222 查得u: .=1.96. 2 2 V-0.9,n=9,X-5代入(x-u: .,xu: .)得置信区间(4.412,5.588). 八4nJn 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】 (D) 【解析】 方法 1: 由题设知,积分区域在极坐标系x二rcos71,y=rsin二中是 1 x一一 2 y 即是由八2平面图形,如右图. 由于D的最左边点的横坐标是0,最右点的横坐标是1, 下边界方程是y=0,上边界的方程是y=-.x—x2,从而D 的直角坐标表示是 D=: x,y|0空x乞1,0乞y乞、x—x2.', 故(D)正确. 方法2: 采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为 U=r,二10_二一三,0_r_si, 而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分, (C)中的积分区域是正方形「x,y|0乞x乞1,0乞y乞仁, 所以,他们都是不正确的•故应选(D). ⑵【答案】(A) 【解析】由于级数二u2和厂v2都收敛,可见级数二u2■v2收敛.由不等式 n=1n仝n=1 2unvn—u;v; 及比较判别法知级数&2UnVn收敛,从而"2UnVn收敛. n£n吕 222002 又因为(UnW)=Un十Vn+2UnVn,即级数送g“)收敛,故应选(A). n=1 1设Un2,Vn=1n=1,2,|1(,可知(B)不正确. n 11 设Un2n=1,2,,可知(C)不正确. nn」 f一1\1 设Un,Vnn=1,2,川,可知(D)不正确. nn qQqQ 注: 在本题中命题(D)“若级数7Un收敛,且Un_Vn(n=1,2,||[),则级数7Vn也收 nTnT 敛.”不正确,这表明: 比较判别法适用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的判别,但对任意项级数一般是不适用的.这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别. ⑶【答案】(C) 【解析】伴随矩阵的基本关系式为AA二AA二AE, 现将A视为关系式中的矩阵A,则有A(Af=AE. niA 方法一: 由a[=A及(A)A=—,可得 (A丁=冲人讯宀An'iA=A. IAI 故应选(C). 方法二: 由A^(A^^|A|e,左乘A得 (AAmAnJA,即(AE)(A^|A^^A. 故应选(C). ⑷【答案】(D) 【解析】本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解.若向量组 1,2,川,s线性无关,即若X1X22IHxs=0,必有X「0,X2=O,HI,Xs=O. 既然'1^1,-m与ki,I11,km不全为零,由此推不出某向量组线性无关,故应排除(B)、(C). 一般情况下,对于 kr1k2: 2川ks: sh1川Is: s=0, 不能保证必有Kr•k^2■ks〉s=0,及I1III■Is、=0,故(A)不正确.由已知 条件,有 '1>1「1HL'm〉m「m,匕「1一肾J|「km〉m-: m=0, 又’1,IH,'m与kjH,km不全为零,故: 1」,川,: 缶「m,〉1-也川,: m-'m线性相关.故选(D). ⑸【答案】(B) 【解析】依题意 p[(A+A2)b]_p(ab)+P(A2B)p(ab+A2B)_p(ab)+p(A2B) P(B)-P(B)P(B),P(B)—P(B). 因P(B)0,故有PABABUPAB)p(a? b.因此应选(B). 注: 有些考生错误地选择(D).他们认为(D)是全概率公式,对任何事件B都成立,但 是忽略了全概率公式中要求作为条件的事件A,A2应满足P(A)A0,P(A2)>0,且 A,A是对立事件. 【相关知识点】条件概率公式: P(B小鵲 【解析】 (1)由于g(x)有二阶连续导数,故当X=O时,f(x)也具有二阶连续导数, 此时,f(x)可直接计算,且f(x)连续;当X=0时,需用导数的定义求f(0).当x式0时f(X)_x[g'(x)+e」]—g(x)+e」_xg'(x)—g(x)+(x+1)e」 ⑵f(x)在x.=0点的连续牲要用定义来判定。 因为在x=0处,有 limf(x^limxg(x^g(x)(x1)e" X_px-0x2 g"(x)+xg"(x)—g'(x)+e»—(x+1)e」 2x g(0)讥f(0). =lim x_0 =limg(x)2 x)022 而f(x)在x=0处是连续函数,所以f(x)在(-Q,=)上为连续函数. 四、(本题满分6分) 【解析】由z zu;: zu =f(u)可得f(u),f(u). exexcycy X 在方程u=(u)亠ip(t)dt两边分别对x,y求偏导数,得 Ly : : u'u'u'u (u)P(x),(u)P(y). exexcycy _P(x)cu_-P(y) 【分析】题的被积函数是幕函数与指数函数两类不同的函数相乘,应该用分部积分法. 【解析】方法1: 因为 故原式=ln2. 【分析】由结论可知,若令(x^xf(x),则、(x)二f(x)*xf(x).因此,只需证明(x) 在[0,1]内某一区间上满足罗尔定理的条件• 1【解析】令®(x)=xf(x),由积分中值定理可知,存在耳€(0,),使 1.2 02xf(x)dx二02「(x)dx=J(), ⑴在闭区间[a,b]上连续; (2)在开区间a,b内可导; ⑶在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b), 那么在a,b内至少有一点(a: : : : : : b),使得f=0. 七、(本题满分6分) 数fx单调递增,反之递减. 代回原变量,得通解y•;x2y2〉C(x0). 当x<0时原方程的解与x0时相同理由如下: 令t=-x,于是t0,而且 dy_dydx_dy_y_\x2y2_y_、x2y2 dtdxdtdxx-x 从而有通解y「t2•y2二C(t•0),即y,x2C(x<0). 综合得,方程的通解为y「.Xy=C. 注: 由于未给定自变量x的取值范围,因而在本题求解过程中,引入新未知函数z=—后得 X Jx? +y2=|X山+z2, 从而,应当分别对x0和x: : : 0求解,在类似的问题中,这一点应当牢记. 九、(本题满分8分) 【分析】本题的 (1)是考查特征值的基本概念,而 (2)是把实对称矩阵合同于对角矩 阵的问题转化成二次型求标准形的问题,用二次型的理论与方法来处理矩阵中的 问题• 【解析】⑴因为九=3足A的特征值,故0 所以y=2. 方法一: 配方法. =1X;0xfo5035X48X3X4对应的矩阵为 分别求得对应汕03劭的线性无关特征向量 : 1=(10,0,0)T,: 2=(0,1,0,0)T,: 3=(0,0,1,—1)T, 和「4=9的特征向量爲=(0,0,1,1)T• 十、(本题满分8分) 【解析】证法1: (定义法)若有一组数k,k1,k2,IH,kt,使得 k「: Jk2「: : 2)IIIkt(: t)=0, (1) 则因〉1,一,川,: 、是AX=0的解,知Ai=0(i=1,2,川,t),用A左乘上式的两边,有 (kk1k2JHkJA: ? -0. (2) 由于A: =0,故kk1k^H=0对 (1)重新分组为 (k匕k2IIIktVk/1k2: 2⑴k「t=0.(3)把⑵代入⑶得 ki口亠k2一辽HIk-X=0. 由于-: ”,二12,川,一: 》是基础解系,它们线性无关,故必有K=0,k2=0,|11,kt=0. 代入⑵式得: k=0. 因此向量组7〔2,川,2亠宀线性无关. 证法2: (用秩)经初等变换向量组的秩不变.把第一列的-1倍分别加至其余各列有 因此r乜1,]叱2,III': '叱ti=r. 由于〉1,〉2」ll,〉t是基础解系,它们是线性无关的,秩r[: U2,川,〉t[Ut,又: 必不能由〉1,〉2,川,〉t线性表出(否则A=0),故r: 1,: 2,ll|,: t,1;i;=t-1. 所以r匕J-乜2,1IL】叱tAt1. 即向量组: ,': ’*川|,“''-: 4线性无关. 十、(本题满分7分) 【解析】设一周5个工作日内发生故障的天数为X,则X服从二项分布即 B(5,0.2). 由二项分布的概率计算公式,有 P「X=0;=0.85=0.32768, p{x=1}=C;0.840.2=0.4096, P「X=2-=C;0.830.2^0.2048, P「X=1-P^X=0—P〈X=1l-P「X=2=0.05792. 设一周内所获利润丫(万元,),则X是0的函数,且 由离散型随机变量数学期望计算公式X,兰3. EY=100.3276850.4096-20.05792=5.20896(万元). 【相关知识点】1•二项分布的概率计算公式: 若Y、B(n,p),则P9=k;=Cnkpk(1-p)nJ\k=0,1,川,n. n 2.离散型随机变量数学期望计算公式: E(X)^\xkP「X. kJ 十二、(本题满分6分) 【解析】一枚色子(骰子)接连掷两次,其样本空间中样本点总数为36. 设事件A二“方程有实根”,人二“方程有重根”,则」2xrb2i I4J 用列举法求有利于A的样本点个数(i=1,2),具体做法见下表: B2 有利于的意思就是使不等式cm—尽可能的成立,则需要B越大越好,C越 4 小越好. 当B取遍1,2,3,4,5,6时统计C可能出现的点数有多少种 B 123456 有利于A的样本点数 012466 有利于A的样本点数 010100 由古典型概率计算公式得到 1+2+4+6+619、1+11 p=P(A]),q=P(A2)二 36363618 【相关知识点】古典型概率计算公式: P(A)样本空间的勺总数" 十三、(本题满分6分) 【解析】依题意,X1,X2,IH,Xn独立同分布,可见X12,X;,|||,X;也独立同分布.由正态分布. EXk二a”k=1,2,3,4)及方差计算公式EX: p, 1n2EZ^-ZEX;=a2, 因此根据中心极限定理1心 乙-a2 Jc-a;)/ 有 DX;二EXi4-(EXi2)2=a4-a;, 1n212 DZn2、DXi2(a4-af). ncn Un 的极限分布是标准正态分布,即当n充分大时,乙近似服从参数为(a? 2 a^_a? 42)的 【相关知识点】1.列维-林德伯格中心极限定理,又称独立同分布的中心极限定理: 设随机变量XjXzJH'Xn独立同分布,方差存在,记」与二20: : : ;一-: 分别 是它们相同的期望和方差,则对任意实数X,恒有 「1n1 limP一('Xj-nJ乞x—: 」(x), n厂.二ini4 其中叮J(x)是标准正态分布函数. 2•方差计算公式: D(X)=E(X2)-E2(X).
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