《三角形三边垂直平分线的性质》 第2课时 学案 探究版.docx
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《三角形三边垂直平分线的性质》 第2课时 学案 探究版.docx
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《三角形三边垂直平分线的性质》第2课时学案探究版
《三角形三边垂直平分线的性质》(第2课时)学案探究版
学习目标
知识与技能:
能够证明三角形三边垂直平分线交于一点;经历猜想、探索,能够作出符合条件的三角形.掌握线段的垂直平分线基本作图,并能够利用线段的垂直平分线的性质解决实际问题.
过程与方法:
通过解决问题的过程,学会把生活中的实际问题转化为数学问题,提高动手操作能力和分析问题、解决问题的能力;
情感、态度:
培养数学思维,能够积极与组内同学交流、合作、探究,体验数学来源于生活并服务于生活.
学习重点:
1.能够证明与线段垂直平分线相关的结论.
2.已知底边和底边上的高,能利用尺规作出等腰三角形.
学习难点:
证明三线共点.
学习过程
一、基础知识
三角形三边垂直平分线的性质?
________________________________________________________________________.
二、自主探究
(一)情境导入
问题:
如图,A,B,C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址.
(二)探究新知
探究活动
(一)
活动内容:
尺规作图作三条边的垂直平分线.
活动过程:
1.提问:
“利用尺规作三角形三条边的垂直平分线,当作完此题时你发现了什么?
(教师可用多媒体演示作图过程)”
发现:
(1).
(2).
下面请同学们剪一个三角形纸片,通过折叠找出每条边的垂直平分线,观察这三条垂直平分线,你是否发现同样的结论?
与同伴交流.
质疑:
“这只是用我们的眼睛观察到的,看到的一定是真的吗?
我们还需运用公理和已学过的定理进行推理证明,这样的发现才更有意义.”
这节课我们来学习探索和线段垂直平分线有关的结论.
上述活动中,教师要注意多画几种特殊的三角形让学生亲自体验和观察结论的正确性.
分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线,说明交点分别在什么位置?
2.教师引导学生分析,寻找证明方法.
我们要从理论上证明这个结论,也就是证明___________,但这是我们没有遇到过的.不妨我们再来看一下演示过程,或许你能从中受到启示.
通过演示和启发,认同:
“两直线必交于一点,那么要想证明‘“三线共点’,只要证.”
虽然我们已找到证明“三线共点”的突破口,询问学生如何知道这个交点在第三边的垂直平分线上呢?
师生共析,完成证明(证明过程见:
例1)
多媒体演示例1得出的结论:
.
探究活动
(二)
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗?
如果能,能作几个?
所作出的三角形都全等吗?
(2)已知等腰三角形的底边,你能用尺规作出等腰三角形吗?
如果能,能作几个?
所作出的三角形都全等吗?
(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗?
能作几个?
学生通过小组讨论,并尝试作出草图,验证自己的结论.
由学生思考可得:
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高,能作出三角形,并且能作出无数多个,如下图:
已知:
三角形的一条边a和这边上的高h
求作:
△ABC,使BC=a,BC边上的高为h
从上图我们会发现,先作_____________;然后再作__________,但垂足不确定,我们可将垂足取在线段BC上或其所在直线上的任意一点D,过此点作BC边的垂线,最后以D为端点在垂线上截取AD(或A1D),使AD=A1D=h,连接AB,AC(或△A1B,AlC),所得△ABC(或△A1BC)都满足条件,所以这样的三角形有无数多个.观察还可以发现这些三角形__________.
(2)如果已知等腰三角形的底边,用尺规作出等腰三角形,这样的等腰三角形也有___________个.根据_____________________________________________________,因为只要作已知等腰三角形底边的___________,取它上面的任意一点,和底边的两个端点相连接,都可以得到一个________________.
另外有学生补充:
,
.
(3)如果底边和底边上的高都一定,这样的等腰三角形应该只有_________,并且它们是全等的,分别位于已知底边的__________.
(三)典例精讲
例1.求证:
三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
已知:
如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P.
求证:
边AC的垂直平分线经过点P,且PA=PB=PC.
第一次证明一条三角形三边的垂直平分线的性质定理,老师引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程.
师生共同完成:
,
,
.
,
.
例2.已知一个等腰三角形的底边及底边上的高,求作这个等腰三角形.
已知:
如图,线段a,h.
求作:
△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h.
作法:
,
,
.
,
画图:
(四)课堂练习
1.如图,已知:
,那么()
A.CD垂直平分AB B.AB垂直平分CD
C.CD与AB互相垂直平分 D.以上说法都正确
2.如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上,那么这个三角形是()
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能
3.如图,点P为△ABC三边中垂线交点,则PA________PB________PC.
4.如图,在锐角三角形ABC中,∠A=50°,AC,BC的垂直平分线交于点O,则∠1_____∠2,∠3______∠4,∠5______∠6,∠2+∠3=_______度,∠1+∠4=_______度,∠5+∠6=__________度,∠BOC=__________度.
5.观察各图中的点P与△ABC的位置关系,并总结规律:
当△ABC为锐角三角形时,点P在△ABC的__________;
当△ABC为直角三角形时,点P在△ABC的__________;
当△ABC为钝角三角形时,点P在△ABC的__________;
反之也成立,且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个.
6.如图,在△ABC中,BC=2,∠BAC>90°,AB的垂直平分线交于BC交于点E,AC的垂直平分线交于BC交于点F,请找出图中相等的线段,并求△AEF的周长.
三、反馈练习
1.如图,直线CP是AB的中垂线且交AB于P,其中AP=2CP.甲、乙两人想在AB上取两点D,E,使得AD=DC=CE=EB,其作法如下:
(甲)作∠ACP,∠BCP之角平分线,分别交AB于D,E,则D,E即为所求;(乙)作AC,BC之中垂线,分别交AB于D,E,则D,E即为所求.对于甲、乙两人的作法,下列判断何者正确().
A.两人都正确B.两人都错误
C.甲正确,乙错误D.甲错误,乙正确
2.如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于
AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为().
A.7B.14C.17D.20
3.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AC于E,交BC于D,△ABD的周长是12cm,AC=5cm,则AB+BD+AD=_____cm;AB+BD+DC=________cm;△ABC的周长是______cm.
4.如图,在△ABC中,EF是AC的垂直平分线,AF=12,BF=3,则BC=__________.
5.如图,BD垂直平分CE,ED=3cm,△ABE的周长为11cm,则△ACE的周长为__________.
设计意图:
考查运用线段垂直平分线的性质定理和三角形知识等进行推理计算的能力.
6.如图,在△ABC中,BC=8,AB的中垂线交BC于D,AC的中垂线交BC与E,求△ADE的周长.
7.如图,∠ABC=50º,AD垂直平分线段BC于点D,∠ABC的平分线BE交AD于点E,连结EC,求∠AEC的度数.
参考答案:
一、基础知识
性质定理:
三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
二、自主探究
(一)情境导入
导入问题:
如图,连接AB,AC,BC为△ABC,作AB,AC,BC的垂直平分线交于点P.
根据“三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等”.
所以点P为建校的地址.
(二)探究新知
探究
(一)
1.
(1)三角形三边的垂直平分线交于一点.
(2)这一点到三角形三个顶点的距离相等.
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
2.“三线共点”
第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可
定理:
三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
探究
(二)
(1)已知线段BC=a;BC边上的高h;不都全等.
(2)无数多;段垂直平分线的性质定理可知,线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;垂直平分线;等腰三角形;
补充:
“不是底边垂直平分线上的任意一点都满足条件,如底边的中点在底边上,不能构成三角形,应将这一点从底边的垂直平分线上挖去.”
(3)两个;两侧.
(三)例题精析
例1.证明:
∵点P在线段AB的垂直平分线上,
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等).
同理PB=PC.
∴PA=PB=PC.
∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上).
即:
边AC的垂直平分线经过点P.
例2.
(1)作线段BC=a(如图2).
(2)作线段BC的垂直平分线l交BC于D点.
(3)在l上作线段DA,使DA=h.
(4)连接AB,AC.
△ABC为所求的三角形(如图所示).
(四)课堂练习
1.B.2.A.
3.=;=.
4.=;=;=;50;50;80;100.
5.内部,斜边的中点,外部.
6.解:
钝角△BAC中,∠BAC>90°为钝角,
∵GE是AB的垂直平分线:
AE=BE,
DF是AC的垂直平分线:
AF=CF,
∴△AEF的周长:
AE+AF+EF=BE+CF+EF=BC=2.
∴△AEF的周长为2.
三、反馈练习
1.D.2.C.3.12;12;17.4.15.5.17cm.
6.∵△ABC中,BC=8,AB的中垂线交BC于D,AC的中垂线交BC与E,
∴AD=BD,AE=CE
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=BD+DE+CE=BC=8.
△ADE的周长等于8.
7.解:
∵∠AEC是△CDE的一个外角,
∴∠AEC=∠EDC+∠C,
∵AD垂直平分BC,
∴BE=CE,∠EBC=∠C.
又∠ABC=50º,BE平分∠ABC,∠C=∠EBC=25º,
则∠AEC=90º+25º=115º.
∴AB=BF=BC+CF,
∵AD=CF(已证),
∴AB=BC+AD(等量代换).
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