21函数及其表示学案高考一轮复习.docx
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21函数及其表示学案高考一轮复习
2014年高中数学一轮复习教学案
第二章函数、导数及其应用
第1节函数及其表示
一.学习目标:
1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).
二.学习重、难点:
1.学习重点:
会求一些简单函数的定义域和值域;
2.学习难点:
会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
三.学习方法:
讲练结合
四.自主复习:
1.函数的基本概念
(1)函数的定义
设A,B是非空的______,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的_____一个数x,在集合B中都有_________的数f(x)和它对应,那么就称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作_________________.
(2)函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的________;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的______.显然,值域是集合B的子集.
(3)函数的三要素:
___________________________.
(4)相等函数:
如果两个函数的__________________完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.
2.函数的表示法
表示函数的常用方法有:
________________________.
3.映射的概念
设A、B是两个非空集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中____________确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
A→B为从集合A到集合B的_____________.
4.函数与映射的关系
由映射的定义可以看出,映射是______概念的推广,函数是一种特殊的映射,要注意构成函数的两个集合A,B必须是______________.
五.复习前测:
1.设f,g都是从A到A的映射(其中A={1,2,3}),其对应关系如下表:
x
1
2
3
f
3
1
2
g
3
2
1
则f(g(3))等于( )
A.1B.2C.3D.不存在
2.设集合A={a,b},B={0,1},则从A到B的映射共有( )
A.2个B.3个
C.4个D.5个
3.设f:
x→x2是集合A到集合B的函数,如果集合B={1},则集合A不可能是( )
A.{1}B.{-1}
C.{-1,1}D.∅
4.已知f(
)=x2+5x,则f(x)=__________.
5.设函数f(x)=
若f(a)=4,则实数a=__________.
要点点拨:
1.相同函数的判断
判断两个函数是否为相同的函数,应抓住两点:
(1)定义域是否相同;
(2)对应法则即解析式是否相同.其中,应先求得定义域,然后再将解析式化简.
2.函数解析式的类型与求法
(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法.
(2)已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意自变量的取值范围.
(3)已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还出现其他未知量,如f(-x)、f(
)等,要根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).
(4)求分段函数的解析式时,一定要明确自变量所属的范围,以便于选择与之对应的对应关系.
六.复习过程:
题型一:
函数的基本概念
[例1] 以下给出的同组函数中,是否表示同一函数?
为什么?
(1)f1:
y=
;f2:
y=1.
(2)f1:
y=
f2:
x
x≤1
1 x≥2 y 1 2 3 (3)f1: y=2x;f2: 如图所示. [规律总结] (1)要检验两个变量之间是否存在函数关系,只需检验: ①定义域和对应关系是否给出;②根据给出的对应关系,自变量x在其定义域中的每一个值,是否都能找到唯一的函数值y与之对应的. (2)判断两个函数是否相同,要先看定义域是否一致,若定义域一致,再看对应法则是否一致,由此即可判断. 变式训练1 已知f: x→sinx是集合A(A⊆[0,2π])到集合B={0, }的一个映射,则集合A中的元素个数最多有( ) A.4个 B.5个 C.6个D.7个 题型二: 求函数的解析式 [例2] (1)已知f( +1)=lgx,求f(x); (2)设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等实根,且f′(x)=2x+2,求f(x)的解析式. [思路点拨] 第 (1)题利用换元法,第 (2)题已知函数的结构特征,可运用待定系数法求解. [规律总结] 1.本题 (2)已知函数的类型,因此可用待定系数法求函数的解析式; (2)求函数解析式的主要方法有待定系数法、换元法等.如果已知函数解析式的类型时,可用待定系数法;已知复合函数f(f(x))的表达式时,可用换元法,这时要注意“元”的取值范围;对于抽象函数可赋值、消元求函数的解析式,求函数的解析式一定要重视定义域,否则会导致错误. 变式训练2 设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x). 题型三: 分段函数及应用 [例3] (2011·江苏高考卷)已知实数a≠0,函数f(x)= 若f(1-a)=f(1+a),则a的值为__________. [思路点拨] 讨论1-a,1+a与1的大小关系,确定f(1-a)与f(1+a)的表达式,建立关于a的方程求解. [规律总结] 求分段函数的函数值时,应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解,有时每段交替使用求值.若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围. 变式训练3 已知函数f(x)= 则关于x的方程f(f(x))+k=0,给出下列四个命题: ①存在实数k,使得方程恰有1个实根; ②存在实数k,使得方程恰有2个不相等的实根; ③存在实数k,使得方程恰有3个不相等的实根; ④存在实数k,使得方程恰有4个不相等的实根. 其中正确命题的序号是__________(把所有满足要求的命题序号都填上). 创新探究——常考常新的分段函数 [例题] (2011·天津高考)对实数a和b,定义运算“⊗”: a⊗b= 设函数f(x)=(x2-2)⊗(x-1),x∈R.若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是( ) A.(-1,1]∪(2,+∞)B.(-2,-1]∪(1,2] C.(-∞,-2)∪(1,2]D.[-2,-1] 链接高考: 1.(2012·安徽)下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是( ) A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x| C.f(x)=x+1D.f(x)=-x 2.(2012·江西)若函数f(x)= 则f(f(10))=( ) A.lg101B.2 C.1D.0 3.(2012·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)= 其中a,b∈R.若f( )=f( ),则a+3b的值为__________. 七.反馈练习: 1.下列四个图象中,是函数图象的是( ) A. (1)B. (1)(3)(4) C. (1) (2)(3)D.(3)(4) 2.下表表示y是x的函数,则函数的值域是( ) x 0 5≤x<10 10≤x<15 15≤x≤20 y 2 3 4 5 A.[2,5]B.N C.(0,20]D.{2,3,4,5} 3.设函数f(x)= 若f(a)+f(-1)=2,则a=( ) A.-3B.±3 C.-1D.±1 4.定义x⊗y=x3-y,则h⊗(h⊗h)=( ) A.-hB.0 C.hD.h3 5.设A={0,1,2,4},B={ ,0,1,2,6,8},则下列对应关系能构成A到B的映射的是( ) A.f: x→x3-1B.f: x→(x-1)2 C.f: x→2x-1D.f: x→2x 6.定义在R上的函数f(x)满足f(x)= 则f(2013)的值为( ) A.-1B.0 C.1D.2 7.已知f(x- )=x2+ ,则函数f(3)=__________. 8.设f(x)= 则f(f(-2))=__________. 9.设M是由满足下列性质的函数f(x)构成的集合: 在定义域内存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f (1)成立.已知下列函数: ①f(x)= ;②f(x)=2x;③f(x)=lg(x2+2);④f(x)=cosπx.其中属于集合M的函数是__________.(写出所有满足要求的函数的序号) 10.已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1. (1)求函数f(x)的解析式. (2)求函数y=f(x2-2)的值域. 11.我国是水资源相对匮乏的国家,为鼓励节约用水,某市打算制定一项水费措施,规定每季度每人用水不超过5吨时,每吨水费的价格(基本消费价)为1.3元,若超过5吨而不超过6吨时,超过部分的水费加收200%,若超过6吨而不超过7吨时,超过部分的水费加收400%,如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨,试计算本季度他应缴纳的水费. 12.已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),求f(f( ))的值. 八.思维总结: 九.自我评价: 1.你对本章的复习的自我评价如何? A.很好B.一般C.不太好 2.你认为在这章复习中还有哪些知识漏洞?
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