概率论与数理统计课件第4章.docx
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概率论与数理统计课件第概率论与数理统计课件第4章章第第4章随机变量的数字特征章随机变量的数字特征指联系于分布函数的某些数,如平均值,离散程度等.本章介绍随机变量的常用数字特征:
数学期望、方差、相关系数、矩等4.1随机变量的数学期望例4.1甲、乙两射击手击中目标的环数用随机变量X、Y表示,它们的分布分别如下:
X8910Y8910P0.30.10.6P0.10.40.5试比较甲、乙两射击手射击技术的优劣解假设甲、乙两射击手分别射击N次,则射击手甲击中的总环数为N0.38N0.19N0.610,N0.38N0.19N0.610平均环数为9.3;N射击手乙击中的总环数为N0.18N0.49N0.510,N0.18N0.49N0.510平均环数为9.4N上述平均环数可以告诉我们,射击手乙的射击技术优于射击手甲从例4.1可以看出,在大量次独立重复试验中,离散型随机变量的平均值总是稳定在一个常数附近,这个常数就是将分布列表中各组对应数据相乘所得乘积的总和,据此,我们给出随机变量数学期望的定义.定义4.1设离散型随机变量X的分布律为P(XXj)pi,i1,2.如果XkPkk1(4.1)则称E(X)=XjPi.i1为随机变量X的数学期望,或称为该分布的数学期望,简称期望或均值.若|xk|pk不收敛,则称X的数学期望不存在类似地给出连续型随机变量的数学期望的定义定义4.2设连续型随机变量X的密度函数为f(X).如果|x|f(x)dx则称(4.2)E(X)=xf(x)dx.为随机变量X的数学期望,或称为该分布的数学期望,简称期望或均值若|x|f(x)dx不收敛,则称X的数学期望不存在X(以分种例4.2设在某一规定的时间间隔里,某电气设备用于最大负荷的时间求E(X).4.1.2随机变量函数的数学期望按照随机变量X的数学期望的定义,E(X)由其分布唯一确定,如今若要求随机变量的一个函数g(X)的数学期望,可以通过下面的一个定理来求得定理4.1设Y是随机变量X的函数:
Yg(X)(g为连续函数)
(1)X是离散型随机变量,它的分布律为P(XXi)Pi,i1,2,若g(Xi)pii1绝对收敛,则有则有定理4.1的重要意义在于当求E(Y)时,不必先算出Y的分布.类似于一维随机变量的数学期望,此定理还可以推广到多维随机变量函数的数学期定理4.2设Z是二维随机变量(X,Y)的函数:
Zg(X,Y)(g为连续函数)这里,假设(4.5),(4.6)的右端都是绝对收敛的例4.4设随机变量X的概率密度为求E(e3X)221e2dxdy22erdr122r2r2e2dr021e“r21、022Y24.1.3数学期望的性质以下假设所涉及的随机变量的数学期望存在性质1设C是常数,则有E(C)C.性质2设X是一个随机变量,C是常数,则有E(CX)CE(X).性质性质3设设X,Y是两个随机变量,则有是两个随机变量,则有E(XY)E(X)E(Y).nn推论推论设有随机变量设有随机变量X,X2,Xn,则有则有E(Xi)E(Xi).i1i1性质4设X,Y是两个独立的随机变量,则有E(XY)E(X)E(Y)性质1和性质2可以自己证明.下面就连续情形给出性质3和性质4的证明,对于离散情形,读者只要将证明中的“积分”用“和式”代替,就能得到证明证明(性质3)设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y),其边缘密度函数为fX(x),fY(x).由随机变量函数的数学期望知道,E(XY)(xy)f(x,y)dxdyxf(x,y)dxdyyf(x,y)dxdyE(X)E(Y).证明(性质4)因X,Y是两个独立的随机变量,于是xfx(x)fY(y)dxdy=Xfx(x)dxyfY(y)dy=E(X)E(Y).例4.6机场大巴载有20位旅客自起点站开出,途经10个站点设每位旅客在各个解引入随机变量解引入随机变量Xi,在第在第i站没有人下车,站没有人下车,i1,2,10.i1,在第在第i站有人下车。
站有人下车。
进而,有9,因此20位旅客都不在第i站下车的概率10E(X1)E(X2)E(X10)2091018.784.10本题是将X分解成若干个随机变量之和,然后利用数学期望的性质来求数学期望,这种处理方法具有一定的普遍意义4.2随机变量的方差随机变量的方差4.2.1方差的定义例4.1曾用平均环数来评判甲、乙两个射击手射击技术的优劣,如果二者平均环数相同,那么仅用平均环数就无法科学地评判两个射击手射击技术的优劣,如下例例4.7甲、乙两射击手击中目标的环数用随机变量X、Y表示,它们的分布分别如下:
X8910Y8910p0.30.10.6P0.20.30.5试比较甲、乙两射击手射击技术的优劣解假设甲、乙两射击手分别射击N次,则射击手甲击中的平均环数为N0.38N0.19N0.610N射击手乙击中的平均环数为N0.28N0.39N0.5109.3.N其实,还可以进一步考察射击手环数与平均环数的偏离程度,若偏离程度较小,则表示成绩比较稳定.从这个意义上说,我们认为甲射击手相对于乙射击手较稳定.由此可见,讨论随机变量与其均值的偏离程度是十分有必要的.那么用怎样的量去度量这个偏离程度呢?
因为XE(X)可能为正,也可能为负,为了避免正负偏离相互抵消,自然而然会考虑取XE(X),但是绝对值运算不方便为了便于运算方便,通常是取22XE(X),然后求其均值E(XE(X)2)就可以作为刻画随机变量X的“波动”程度,这个量被称作为随机变量X的方差定义4.3设X是一个随机变量,若E(XE(X)2存在,则称E(XE(X)2为随机变量X的方差,记为D(X)或Var(X),即D(X)Var(X)E(XE(X)2.(4.7)称方差的算术平方根.D(X)为随机变量X的标准差或均方差,记为(X).方差和标准差的功能相似,它们都是用来描述随机变量取值的集中与分散程度的两个特征数,若X的取值比较集中,则D(X)较小,若X的取值比较分散,则D(X)较大.方差与标准差的区别主要在量纲上,由于标准差与所讨论的随机变量的数学期望有相同的量纲,所以在实际中,人们比较喜欢选用标准差,但标准差的计算必须通过方差才能计算由定义4.3知道,方差实际上就是随机变量X的函数g(X)(XE(X)2的数学期望,于是,对于离散型随机变量,按(4.7)式有D(X)iXi1E(X)Pi,(4.8)其中P(XXi)Pi,i1,2为X的分布律对于连续型随机变量,按(4.7)式有D(X)XE(X)2f(x)dx,(4.9)其中f(x)为X的密度函数.随机变量X的方差可按下面公式计算:
22D(X)E(X2)E(X).(4.10)事实上,由数学期望的性质1、性质2、性质3得D(X)EXE(X)2E(X22XE(X)E(X)2)4.2.2方差的性质下面给出数学期望的几个常用性质,以下假设随机变量的数学期望是存在的性质1D(X)0.性质2设C是常数,则有D(C)0.性质3X是一个随机变量,C是常数,则有D(CXd)C2D(X).性质4设X,Y是两个随机变量,则有D(XY)D(X)D(Y)2EXE(X)YE(Y).特别地,若X,Y相互独立,则有D(XY)D(X)D(Y).证明D(XY)E(XY)E(XY)2E(XE(X)2(YE(Y)2EX2E(X)2EY2E(Y)22EXE(X)YE(Y)D(X)D(Y)2EXE(X)YE(Y)EXE(X)YE(Y)EXYYE(X)XE(Y)E(X)E(Y)E(XY)E(X)E(Y)E(Y)E(X)E(X)E(Y)E(XY)E(X)E(Y).若X,Y相互独立,由数学期望的性质4知道E(XY)E(X)E(Y)0,于是有D(XY)D(X)D(Y).同理可证明D(XY)D(X)D(Y).这一性质可推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况.例如,若XjN(i,i2),i1,2,n,且它们相互独立,则它们的线性组合:
C1X1C2X2CnXn(Ci,C2,Cn是不全为0的常数)仍服从正态分布,于是由数学期望和方差的性质知道:
这是一个重要的结果Z2X4Y的分布.故ZN(8,676).4.3常见随机变量的数学期望和方差1.两点分布的数学期望和方差证明E(X)0q12.二项分布的数学期望和方差B(n,p),0p1,则E(X)np,D(X)npq证明由于随机变量XB(n,p),C:
pkqnk,(k0,1,2,n;qp),所以nE(X)k_k.nkkCnpqK0n(n1)!
(kk1)!
(nk)!
pnpk1(n1)!
(k1)!
(nk)!
np(pn1q)np.n/11/kknkk(k1)kCnpqkknkk(k1)CnPqkknkCnpqk(kk0kknk1)Cnpqnpk(k1)n!
k2k!
(nnpn(nn1)p2k2(n2)!
(k2)!
(nk)!
2q(n2)(k2)npn(n1)p2(pq)n2npn(n1)p2np.于是D(X)E(X2)E(X)2npq.3.泊松分布的数学期望和方差设XP(),贝UE(X),D(X)证明由于随机变量X的分布律为即E(X).又泊松分布只含有一个参数2所以随机变量X的方差为D(X)E(X2)E(X)2由此,泊松分布的数学期望与方差相等,都等于只要知道它的数学期望或方差就能完全确定它的分布了4.几何分布的数学期望和方差证明由于随机变量X的分布律为kP(Xk)pq则称随机变量X的数学期望为所以随机变量X的方差为D(X)E(X2)E(X)25.均匀分布的数学期望和方差证明由于随机变量X的密度函数为f(x)所以X的数学期望为即服从均匀分布随机变量的数学期望位于区间的中点D(X)E(X2)E(X)2dxa(ba)26.指数分布的数学期望和方差设XExp)(0),则E(X)D(X)证明由于X的密度函数为f(x)1-x0-e,0,x0所以X的数学期望为E(X)xf(x)dxxdx于是2E(X)oxd(exe|oD(X)xxe|oxedx02xf(x)dxedxxx2)d(eE(X2)7.正态分布的数学期望和方差证明2oxexdx2E(X)2N(,),则E(X)先求标准正态变量(t)t2,D(X)x的数学期望和方差.Z的密度函数为E(Z)D(Z)t2tedtt22E(Z)t2t2t2edtt2te7Tdt=1.Z,即得E(X)E(Z),D(X)D(Z)2D(Z)2.就是说,正态分布的概率密度中的两个参数和分别就是该分布的数学期望和均方差,因而正态分布完全由它的数学期望和方差所决定.4.4协方差与相关系数协方差与相关系数对二维随机变量(X,Y),除讨论X与Y的数学期望和方差外,还有必要考察这两个随机变量之间相互关系由方差的性质可知,若X与Y相互独立,则ExE(X)yE(Y)0.即当即当ExE(X)yE(Y)0时,时,X与丫一定不与丫一定不独立独立这说明ExE(X)yE(Y)的数值在一定程度上反映了X与Y的相互间的联系定义4.4E(XE(X)(YE(Y)称为随机变量X与Y的协方差.记为(4.12)Cov(X,Y),即Cov(X,Y)E(XE(X)(YE(Y).Cov(X,Y)、D(X)、D(Y)(4.13)Cov(X,Y)XY.D(X).D(Y)由协方差的定义知它具有下列性质:
1.Cov(X,Y)=Cov(Y,X),Cov(X,X)D(X).2.Cov(aX,bY)abCov(X,Y),a,b是常数是常数.3.Cov(XiX2,Y)Cov(Xi,Y)Cov(X2,Y).下面以定理的形式给出XY两条重要的性质.定理4.3设随机变量X与Y的相关系数为XY,则
(1)丨xy|1;
(2)XY1的充要条件是存在常数的充要条件是存在常数a,b使使pYaXb1.证明(略).由定理4.3
(2)知,X,Y之间以概率1存在线性关系XY是一个可以用来表征X,丫之间线性关系紧密程度的量当xy较大时,通常说X,丫之间线性关系程度较好;当IXY较小时,通常说X,丫之间线性关系程度较差当XY0时,称X和Y不相关假设随机变量X与Y的相关系数XY存在当X和Y相互独立时,由数学期望的性质知Cov(X,Y)0,从而XY0,即X和Y不相关反之,若X和Y不相关,X和Y不一定独立上述情况,从“不相关”和“相互独立”的含义来看是明显的,这是因为不相关只是就线性关系来讲的,而相互独立是解先求边缘密度函数fx(x)f(x,y)dyF711x2dy,0,1x1其他2.1x20,1x1其他及1y2121y22dx,1y1Vj1V1fY(y)f(x,y)dx1y2j1y10,其他0,其他经计算知,E(X)E(Y)E(XY)0,Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)0,从而X和Y不相关例例49已知随机变量已知随机变量X和和Y分别服从正态分布分别服从正态分布XN(1,32),YN(0,42),且,且X和和1xY丫的相关系数XY,设Z232
(1)求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z);(3)问X和Z是否独立?
为什么?
(1)E(Z)13e(x)12E(Y)D(Z)2Cov,Y32D(Y)xy、D(X)D(Y)422
(2)Cov(X,Z)XCov(X,-31Cov(X,X)31Cov(X,Y)2(3)由于(X,Z)否相互独立例4.10(二维正态分布)f(x,y)1DX332XY.D(X)D(Y)不一定服从二维正态分布,故由2expXZ0不能确定(X,Y)服从二维正态分布,它的概率密度为1(x1)221(x1)(y2)2为5个常解由例3.9可知,(X,Y)的边缘概率密度为(x1)2fx(x)1e21x、21e,(x2)2fY(y)122y22e,).求X和Y的协方差和相关系数xy故知E(X)1,E(Y)2,D(X)12,D(Y)Cov(X,Y)(xi)(y2)f(x,y)dxdy12.1(xJ(y2)exp亠亠72
(1)12(x1)(yG(y22)dxdy21(y22IL),ux1,则有1Cov(X,Y)2.12tu2、12U)e(u2/2dtduu22du)(eTdt)u2uedutet2Tdt22方差和它们关系数,因而二维正态分布随机变量的分布完全可由X,Y各自的数学期望、的相关系数所确定在第3章中我们知道,若(X,Y)服从二维正态分布,那么X和Y相互独立的充要条件为0.现在我们知道XY,故知对于二维正态分布随机变量(X,Y)来说,X和Y不相关与X和Y相互独立是等价的.4.5其他特征数其他特征数前面讨论了随机变量的数学期望、方差及协方差这些数字特征,本节再介绍随机变量的矩、变异系数和分位数这3个重要的特征数.4.5.1k阶矩定义4.5设X,Y是随机变量,k,l是正整数.若以下的数学期望都存在,则称(4.13)kE(Xk)(4.15)kIE(XE(X)(YE(Y)为X和Y的kI阶混合中心矩Cov(X,Y)就是X和丫的二阶混合中心矩.4.5.2变异系数方差(或标准差)反映了随机变量取值的波动程度,但在比较两个随机变量的波动
(1)随机变量的取值有量纲,不同的量纲的随机变量用其方差(或标准偏差)去比较它们的波动不太合理
(2)在取值的量纲相同的情况下,取值的大小有一个相对性问题,取值较大的随机变量的方差(或标准偏差)也允许大一些所以要比较2个随机变量的波动大小时,有时使用以下定义的变异系数来比较,更(4.16)(X)E(X)为X的变异系数.因为变异系数是以其数学期望为单位去度量随机变量取值波动程度的特征,标准差的量纲与数学期望的量纲是一致的,所以变异系数是一个无量纲的量例4.12用X表示某种同龄树的高度,其量纲是米(m),用Y表示某年龄段人的身高,其量纲也是米(m)设E(X)10,D(X)1,E(Y)1,D(Y)0.09,你是否可4.5.3分位数定义4.6设随机变量X的分布函数为F(X),密度函数为p(x).对任意的p(0,1),称满足条件P(XXp)F(Xp)Xp的Xp为此分布的p分位数(或分位点),又称下侧p分位数.同理,我们称满足条件图4-1分位数与上侧分位数的区别的Xp为此分布的上侧p分位数.下侧分位数和上侧分位数是可以相互转换的,其转换公式为例如,标准正态分布N(0,1)的p分位数记为Up,它是方程(Up)p标准正态分布函数表,可由p查得Up,譬如u0.951.96.分布的分位数.4.5.4偏度系数定义4.7设随机变量X的三阶矩存在,则称比值(E(X)E(X)331E(XE(X)23/2丁丁为随机变量X分布的偏度系数,简称偏度偏度系数可以描述分布的形状特征,其取值的正负反映的是当i0时,分布为正偏或右偏,见图4-2(a);当i0时,分布关于其均值E(X)对称,见图4-2(b);当10时,分布为负偏或左偏,见图4-2(c)曲)A1Lp(x)/A丿J1VI0Xo0冋丘o0产0(a)(b)(C)图4-2三种不同偏度的分布譬如,正态分布N(,2)是关于均值E(X)对称的,所以正态分布N(,2)的偏度10.(4.21)E(X)E(X)4E(XE(X)22为随机变量X分布的峰度系数,简称峰度.峰度系数也是用于描述分布的形状特征,但峰度系数与偏度系数的差别是:
偏度系数刻画的是分布的对称性,而峰度系数刻画的是分布的峰峭性443,所以其峰度系数为30.即任一正态分布的峰度系数
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