高三理科数学一轮复习空间点线面之间的位置关系解析版.docx
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高三理科数学一轮复习空间点线面之间的位置关系解析版
2019年高三理科数学一轮复习:
空间点、线、面之间的位置关系(解析版)
1.平面的基本性质
(1)公理1:
如果一条直线上的______在一个平面内,那么这条直线在此平面内.它的作用是可用来证明点在平面内或__________________.
(2)公理2:
过____________上的三点,有且只有一个平面.
公理2的推论如下:
①经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;
②经过两条相交直线,有且只有一个平面;
③经过两条平行直线,有且只有一个平面.
公理2及其推论的作用是可用来确定一个平面,或用来证明点、线共面.
(3)公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们____________过该点的公共直线.它的作用是可用来确定两个平面的交线,或证明三点共线、三线共点等问题.
2.空间两条直线的位置关系
(1)位置关系的分类
(2)异面直线
①定义:
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
注:
异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”,也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”,但是不能理解为“分别在两个平面内的两条直线”.
②异面直线的画法:
画异面直线时,为了充分显示出它们既不平行又不相交,也不共面的特点,常常需要以辅助平面作为衬托,以加强直观性.
③异面直线所成的角:
已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).异面直线所成角的范围是____________.若两条异面直线所成的角是直角,则称两条异面直线__________,所以空间两条直线垂直分为相交垂直和__________.
3.平行公理
公理4:
平行于____________的两条直线互相平行(空间平行线的传递性).它给出了判断空间两条直线平行的依据.
4.等角定理
等角定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角____________.
自查自纠
1.
(1)两点 直线在平面内
(2)不在一条直线(3)有且只有一条
2.
(1)一个公共点 没有公共点 没有公共点
(2)③
互相垂直 异面垂直
3.同一条直线
4.相等或互补
(2017届河北承德实验中学高三测试)空间四点A、B、C、D共面而不共线,那么这四点中( )
A.必有三点共线B.必有三点不共线
C.至少有三点共线D.不可能有三点共线
解:
空间四点A、B、C、D共面不共线,有两种情形:
①无任何三点共线,但四点共面,②其中某三点共线,另一点在该直线外,这两种情况都有三点不共线.故选B.
(2017海南儋州市洋浦中学月考)在下列命题中,不是公理的是( )
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
解:
公理是不需要证明的原始命题,而选项A是面面平行的性质定理.故选A.
(2017黑龙江哈师大附中月考)若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是( )
A.OB∥O1B1且方向相同
B.OB∥O1B1
C.OB与O1B1不平行
D.OB与O1B1不一定平行
解:
两角相等,角的一边平行且方向相同,另一边不一定平行,如圆锥的母线与轴的夹角.故选D.
(2015·福建六校联考)设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:
①若a∥b,b∥c,则a∥c;
②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;
③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;
④若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线.
上述命题中错误的是________(写出所有错误命题的序号).
解:
由公理4知①正确;当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行或异面,故②错;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③错;a⊂α,b⊂β,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故④错.故填②③④.
(2017河南南阳一中月考)如图,在四棱锥PABCD中,O为CD上的动点,VPOAB恒为定值,且△PDC是正三角形,则直线PD与直线AB所成角的大小是________.
解:
因为VPOAB为定值,所以S△ABO为定值,
即O到线AB的距离为定值.
因为O为CD上的动点,所以CD∥AB.
所以∠PDC即为异面直线PD与AB所成角.
因为△PDC为等边三角形,所以∠PDC=60°.
所以PD与AB所成角为60°.故填60°.
类型一 基本概念与性质问题
(2017福建闽侯三中月考)ABCDA1B1C1D1是正方体,在图1中,E、F分别是D1C1、B1B的中点,画出图1、2中有阴影的平面与平面ABCD的交线,并给出证明.
解:
在图3中,过点E作EN平行于B1B交CD于点N,连接NB并延长交EF的延长线于点M,连接AM,则AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线.
在图4中,延长DC,过点C1作C1M∥A1B交DC的延长线于点M,连接BM,则BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线.
证明:
在图3中,因为直线EN∥BF,所以B、N、E、F四点共面,因此EF与BN相交,交点为M.因为M∈EF,且M∈NB,而EF⊂平面AEF,NB⊂平面ABCD,所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点.又因为点A是平面AEF和平面ABCD的公共点,故AM为两平面的交线.
在图4中,C1M在平面DCC1D1内,因此与DC的延长线相交,交点为M,则点M为平面A1C1B与平面ABCD的公共点,又点B是这两个平面的公共点,因此直线BM是两平面的交线.
【点拨】本题解题的关键在于构造平面,可考虑过一条直线及另一条直线上的点作平面,进而找出两面相交的交线.
一个正方体的展开图如图所示,A,B,C,D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中( )
A.AB∥CDB.AB与CD相交
C.AB⊥CDD.AB与CD所成的角为60°
解:
将展开图还原,得如图所示正方体,易知AB与CD是异面直线,且它们所成的角为60°.故选D.
类型二 点共线、线共点问题
如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.
(1)求证:
E,F,G,H四点共面;
(2)设EG与FH交于点P,求证:
P,A,C三点共线.
证明:
(1)因为E,F分别为AB,AD的中点,
所以EF∥BD.
在△BCD中,因为
=
=
,
所以GH∥BD,所以EF∥GH.
所以E,F,G,H四点共面.
(2)因为EG∩FH=P,P∈EG,EG⊂平面ABC,
所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.
所以P为平面ABC与平面ADC的公共点.
又平面ABC∩平面ADC=AC,
所以P∈AC,即P,A,C三点共线.
【点拨】
(1)证明四点共面的基本思路:
一是直接证明,即利用公理或推论来直接证明;二是先由其中不共线的三点确定一个平面,再证第四个点也在这个平面内即可.
(2)要证明点共线问题,关键是转化为证明点在直线上,也就是利用公理3,即证点在两个平面的交线上,本题即采用这种证法;或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在直线上.(3)证明空间三线共点问题,先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明点在直线上,如变式2.
(2017广东梅州丰顺一中月考)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点.
求证:
(1)E,C,D1,F四点共面;
(2)CE、D1F、DA三线共点.
证明:
(1)连接EF,CD1,A1B.
因为E,F分别是AB、AA1的中点,所以EF∥BA1.
又A1B∥D1C,所以EF∥CD1,
所以E,C,D1,F四点共面.
(2)因为EF∥CD1,EF<CD1,
所以CE与D1F必相交,设交点为P,
则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,
所以P∈直线DA.所以CE、D1F、DA三线共点.
类型三 共面问题
如图,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC
AD,BE
FA,G,H分别为FA,FD的中点.
(1)证明:
四边形BCHG是平行四边形;
(2)C,D,F,E四点是否共面?
为什么?
解:
(1)证明:
因为GH是△AFD的中位线,所以GH
AD.又BC
AD,所以GH
BC,所以四边形BCHG为平行四边形.
(2)C,D,F,E四点共面.
理由:
BE
AF,又由G为FA的中点知,BE
FG,
所以四边形BEFG为平行四边形,
所以EF∥BG.由
(1)知BG∥CH,所以EF∥CH,
所以EF与CH共面.又D∈FH,所以C,D,F,E四点共面.
【点拨】点共面的证明方法和点共线的证明方法类似,即先由部分点或者线确定一个平面,再证明其余的点或者在该平面内,或者由另外一部分点确定另一个平面,再证明这两个平面是同一个平面.无论是点共线、线共点问题,还是共面问题,我们基本上是运用公理及其推论来进行演绎推理,其演绎推理的基本步骤是:
首先由部分点或者线确定一条直线或者一个平面,再运用公理或者推论,证明剩余的点、线也在这条直线或者这个平面内.
下列如图所示的正方体和正四面体中,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,则四个点共面的图形是__________.(填所有满足条件图形的序号)
解:
易知①③中PS∥QR,所以四点共面.在②中构造如图所示的含点P,S,R,Q的正六边形,易知四点共面.在④中,由点P,R,Q确定平面α,由图象观察知点S在平面α外,因此四点不共面.综上知,故填①②③.
类型四 异面直线问题
(2017上海徐汇区学习能力诊断)已知空间四边形ABCD中,E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边BC、CD的中点.
(1)求证:
BC与AD是异面直线;
(2)求证:
EG与FH相交.
证明:
(1)假设BC与AD共面,不妨设它们所共平面为α,则B、C、A、D∈α.
所以四边形ABCD为平面图形,这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾.
所以BC与AD是异面直线.
(2)如图,连接AC,
则EF∥AC,HG∥AC,
因此EF∥HG;
同理EH∥FG,则EFGH为平行四边形.
又EG、FH是▱EFGH的对角线,
所以EG与HF相交.
【点拨】空间两条直线的位置关系共有三种:
异面,平行,相交.要证两条直线是异面直线,要否定其为平行、相交两种情况,另外,也可由“与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线”证明.要证两条直线相交,只要证其共面不平行即可.
(2017清原县高级中学月考)在长方体ABCDA1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示,其中P点不在对角线B1D1)上.
(1)过P点在空间作一直线l,使l∥直线BD,应该如何作图?
并说明理由;
(2)过P点在平面A1C1内作一直线m,使m与直线BD成α角,其中α∈
,这样的直线有几条,应该如何作图?
解:
(1)连接B1D1,BD,在平面A1C1内过P作直线l,使l∥B1D1,则l即为所求作的直线.
因为B1D1∥BD,l∥B1D1,所以l∥直线BD.
(2)在平面A1C1内作直线m,使直线m与B1D1相交成α角,因为BD∥B1D1,所以直线m与直线BD也成α角,即直线m为所求作的直线,如图.
由图知m与BD是异面直线,且m与BD所成的角α∈
.
当α=
时,这样的直线m有且只有一条,当α≠
时,这样的直线m有两条.
1.判断空间线面关系命题的真假,是一类常见的客观题.解这类题,一要准确把握、理解相关概念;二要熟悉“推理论证加反例推断”的方法;三要借助空间直观.如教室就是一个长方体,建议同学们学立体几何时充分借助这一模型.
2.要重视三种数学语言——文字语言、符号语言、图形语言的互译,特别要培养准确使用符号语言的能力.在空间图形中,点是最基本的元素,点与线、点与面是元素与集合的关系,直线与平面是集合与集合的关系,防止出现符号“∈”“⊂”混用的错误.
3.求两条异面直线所成角的步骤是:
先作图,再证明,后计算.作图,往往过其中一条直线上一点作另外一条直线的平行线,或过空间一特殊点分别作两条直线的平行线,即平移线段法,此法是求异面直线所成角的常用方法,其实质是把异面问题转化为共面问题;证明,即证明作图中所产生的某个角是异面直线所成的角;计算,一般在一个三角形中求解,这往往需要运用正弦定理或余弦定理来解决,如果计算出来的角是钝角,则需要转化为相应的锐角,因为异面直线所成角的范围是
.
4.证明“线共面”或者“点共面”问题时,可以先由部分直线或者点确定一个平面,再证明其余的直线或者其余的点也在这个平面内.
5.证明“点共线”问题时,可以将这些点看做是两个平面的交线上的点,只要证明这些点是两个平面的公共点,根据公理3就可以确定这些点都在同一条直线上,即点共线.
1.(2015·湖北)l1,l2表示空间中两条直线,若p:
l1,l2是异面直线;q:
l1,l2不相交,则( )
A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
解:
由l1,l2是异面直线可得l1,l2不相交,所以p⇒q;由l1,l2不相交,可得l1,l2可能是异面直线或l1∥l2,q
p.所以p是q的充分不必要条件.故选A.
2.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( )
解:
A,B中PQ
RS,D中直线PQ与RS相交(或RP∥SQ),即直线PQ与RS共面,均不满足条件;C中的直线PQ与RS是两条既不平行,又不相交的直线,即直线PQ与RS是异面直线.故选C.
3.(2017华中农业大学附属中学月考)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,下列结论错误的是( )
A.A1C1∥平面ABCD
B.AC1⊥BD
C.AC1与CD成45°角
D.A1C1与B1C成60°角
解:
选项A,B,D显然正确,对于选项C,CD∥C1D1,故∠AC1D1为AC1与CD所成角,易得tan∠AC1D1=
≠1,故C错.故选C.
4.(2017铁岭市第二高级中学月考)在下列命题中,真命题共有( )
(1)若点A∈α,点B∉α,则直线AB与平面α相交
(2)若a⊂α,b⊄α,则a与b必异面
(3)若点A∉α,点B∉α,则直线AB∥平面α
(4)若a∥α,b⊂α,则a∥b
A.1个B.2个C.3个D.4个
解:
(1)显然真;
(2)a与b可以相交或平行,假;(3)A,B可能在平面两侧,假;(4)a与b可能异面,假.故选A.
5.(2017抚顺市第六中学月考)如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方体的12条棱中,共有异面直线( )
A.12对B.24对C.36对D.48对
解:
因为每条棱都有4对,但其中都有2次重复,故所求为
=24.故选B.
6.(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
解:
如图所示,将直三棱柱ABCA1B1C1补成直四棱柱ABCDA1B1C1D1,连接AD1,B1D1,则AD1∥BC1,所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角.因为∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,所以AB1=
,AD1=
.在△B1D1C1中,∠B1C1D1=60°,B1C1=1,D1C1=2,所以B1D1=
=
,所以cos∠B1AD1=
=
.故选C.
7.给出下列命题:
①经过三点确定一个平面;
②梯形可以确定一个平面;
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;
④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.
其中所有正确命题的序号是____________.
解:
经过不共线的三点可以确定一个平面,①错误;两条平行线可以确定一个平面,②正确;两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面,③正确;命题④中没有说明三个交点是否共线,这两个平面可能相交或重合,④错误.故填②③.
8.(2017武汉市第十五中学月考)在空间四边形ABCD中,已知E、F分别是AB、CD的中点,且EF=5,又AD=6,BC=8,则AD与BC所成角的大小是________.
解:
如图所示,取BD的中点G,连接EG,GF,易知直线AD与BC所成的角即∠EGF.又EF2=EG2+GF2.所以∠EGF=90°,则异面直线AD与BC所成的角为90°.故填90°.
9.(2017鞍山市第三中学月考)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为8cm,M,N,P分别是AD、A1B1、B1B的中点.
(1)画出过M,N,P三点的平面与平面AC的交线以及与平面BC1的交线;
(2)设过M,N,P三点的平面与BC交于点R,求PR的长.
解:
(1)延长NP、AB交于点Q.
则Q∈平面MNP,Q∈平面AC.
又M∈平面MNP,M∈平面AC.
所以平面MNP∩平面AC=MQ.
设MQ∩BC=R.则平面MNP∩平面BC1=PR.
(2)因为P为BB1中点,
所以BQ=B1N=
AB,所以BR=
AM=
(cm).
所以PR=
=
(cm).
10.(2017武汉市第十六中学月考)如图所示,已知E和F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的点,且AE=C1F.
(1)求证:
四边形EBFD1是平行四边形;
(2)求A1B与B1C所成角.
解:
(1)证明:
在BB1上取一点G,使BG=AE=C1F,连接EG,C1G.
因为AE
BG
C1F,所以四边形ABGE,BFC1G为平行四边形,
所以EG
AB,GC1
BF.
又AB
D1C1,所以EG
D1C1.
所以四边形EGC1D1为平行四边形.
所以ED1
GC1,所以ED1
BF.
所以四边形EBFD1是平行四边形.
(2)因为B1C∥A1D,
所以∠BA1D即为异面直线所成角或其补角.
在△BA1D中,BA1=A1D=BD,
所以∠BA1D=60°.
所以A1B与B1C所成角为60°.
11.(2017黄石市第三中学月考)如图,在四棱锥OABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.
(1)求四棱锥OABCD的体积;
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值.
解:
(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S=4,
所以四棱锥OABCD的体积V=
×4×2=
.
(2)如图,连接AC,设线段AC的中点为E,连接ME,DE.
又M为OA中点,所以ME∥OC,
则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角,由已知可得DE=
,EM=
,MD=
,
因为(
)2+(
)2=(
)2,
所以△DEM为直角三角形,
所以tan∠EMD=
=
=
.
所以异面直线OC与MD所成角的正切值为
.
(2017新宾县高级中学月考)如图所示,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ与CB的延长线交于点M,RQ与DB的延长线交于点N,RP与DC的延长线交于点K.给出以下说法:
①直线MN⊂平面PQR;
②点K在直线MN上;
③M,N,K,A四点共面.
其中说法正确的是________.
解:
因为PQ在平面PQR内,M在直线PQ上,所以M在平面PQR内,因为RQ在平面PQR内,N在直线RQ上,所以N在平面PQR内,所以直线MN⊂平面PQR,故①正确.
因为M在直线CB上,而CB在平面BCD内,所以M在平面BCD内,由①知M在平面PQR内,所以M在平面PQR与平面BCD的交线上,同理可知N,K也在平面PQR与平面BCD的交线上,所以M,N,K三点共线,所以②正确.
因为M,N,K三点共线,所以M,N,K,A四点共面,故③正确.故填①②③.
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- 理科 数学 一轮 复习 空间 点线 之间 位置 关系 解析