最新北师大版高中数学选修11学案第一章 23 充要条件.docx
- 文档编号:25077301
- 上传时间:2023-06-04
- 格式:DOCX
- 页数:12
- 大小:47.43KB
最新北师大版高中数学选修11学案第一章 23 充要条件.docx
《最新北师大版高中数学选修11学案第一章 23 充要条件.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《最新北师大版高中数学选修11学案第一章 23 充要条件.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
最新北师大版高中数学选修11学案第一章23充要条件
2.3 充要条件
学习目标
1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习,弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断.
知识点一 充要条件的概念
思考1 命题“若整数a是6的倍数,则整数a是2和3的倍数”中条件和结论有什么关系?
它的逆命题成立吗?
思考2 若设p:
整数a是6的倍数,q:
整数a是2和3的倍数,则p是q的什么条件?
q是p的什么条件?
梳理 一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作______.此时,我们说,p是q的____________,简称____________________________________________________.
知识点二 充要条件的判断
1.由原命题与逆命题的真假情况判断充分条件、必要条件和充要条件
若原命题为“若p,则q”,则逆命题为“若q,则p”,那么p与q有以下四种情形:
原命题
逆命题
条件p与
结论q的关系
结论
真
假
p是q成立的充分不必要条件
假
真
p是q成立的必要不充分条件
真
真
p是q成立的充要条件
假
假
p是q成立的既不充分又不必要条件
由上表可得充要条件的判断方法:
原命题和逆命题均为真命题,p才是q的充要条件.
2.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A⊆B,则p是q的充分条件,若AB,则p是q的充分不必要条件
若B⊆A,则p是q的必要条件,若BA,则p是q的必要不充分条件
若A=B,则p,q互为充要条件
若A⊈B且B⊈A,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
其中p:
A={x|p(x)成立},q:
B={x|q(x)成立}.
类型一 充要条件的判断
例1 下列各题中,p是q的什么条件?
(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件)
(1)p:
四边形的对角线互相平分,q:
四边形是矩形;
(2)p:
a2+b2=0,q:
a+b=0;
(3)p:
x=1或x=2,q:
x-1=
;
(4)p:
sinα>sinβ,q:
α>β.
反思与感悟 充要条件的常用判断方法
(1)命题判断法:
设“若p,则q”为原命题,那么:
①原命题为真,逆命题为假时,p是q的充分不必要条件;
②原命题为假,逆命题为真时,p是q的必要不充分条件;
③原命题与逆命题都为真时,p是q的充要条件;
④原命题与逆命题都为假时,p是q的既不充分又不必要条件.
(2)集合法:
若p与q确定的集合分别是A,B,则当且仅当A=B时,p是q的充要条件.
跟踪训练1
(1)“x>1”是“log
(x+2)<0”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件
(2)设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件
类型二 充要条件的探求与证明
命题角度1 探求充要条件
例2 求关于x的一元二次不等式ax2-ax+1-a>0对于一切实数x都成立的充要条件.
反思与感悟 探求一个命题的充要条件,可以利用定义法进行探求,即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”,也可以寻求结论的等价命题,还可以先寻求结论成立的必要条件,再证明它也是其充分条件.
跟踪训练2 设a、b、c为△ABC的三边,求方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件.
命题角度2 充要条件的证明
例3 求证:
一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
反思与感悟 一般地,证明“p成立的充要条件为q”,在证充分性时,应以q为“已知条件”,p是要证明的“结论”,即q⇒p;证明必要性时,则是以p为“已知条件”,q是要证明的“结论”,即p⇒q.
跟踪训练3 求证:
一次函数f(x)=kx+b(k≠0)是奇函数的充要条件是b=0.
类型三 充分条件与必要条件的应用
例4 已知p:
3x+m<0,q:
x2-2x-3>0,若p是q的一个充分不必要条件,求m的取值范围.
反思与感悟 首先应把p与q之间的关系转化为p,q确定的集合之间的包含关系,然后,构建满足条件的不等式(组)求解.同时要注意命题的等价性的应用.
跟踪训练4 已知p:
x≥k,q:
<1,如果p是q的充分不必要条件,则k的取值范围是( )
A.[2,+∞)B.(2,+∞)
C.[1,+∞)D.(-∞,-1]
1.“x2>2017”是“x2>2016”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
2.“a>b”是“a>|b|”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
3.已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列结论中正确的是( )
①Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充分条件;
②Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的必要条件;
③Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件;
④Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件.
A.③B.①②C.①②③D.①②③④
4.直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切的充要条件是________________.
5.已知p:
3x+m<0,q:
x2-2x-3>0,若p是q的一个充分不必要条件,求m的取值范围.
1.充要条件的判断有三种方法:
定义法、命题等价法、集合法.
2.充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明是分充分性和必要性两方面来证明的,在证明时要注意两种叙述方式的区别:
①p是q的充要条件,则由p⇒q证的是充分性,由q⇒p证的是必要性;
②p的充要条件是q,则由p⇒q证的是必要性,由q⇒p证的是充分性.
(2)探求充要条件,可先求出必要条件,再证充分性;如果能保证每一步的变形转化过程都可逆,也可以直接求出充要条件.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 只要满足条件,必有结论成立,它的逆命题成立.
思考2 因为p⇒q且q⇒p,所以p是q的充分条件也是必要条件;同理,q是p的充分条件,也是必要条件.
梳理 p⇔q 充分必要条件 充要条件
知识点二
1.p⇒q,但q⇒/p q⇒p,但p⇒/q p⇒q,q⇒p,即p⇔q p⇒/q,q⇒/p
题型探究
例1 解
(1)∵四边形的对角线互相平分⇒/四边形是矩形,
四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分,
∴p是q的必要不充分条件.
(2)∵a2+b2=0⇒a=b=0⇒a+b=0,
a+b=0D⇒/a2+b2=0,
∴p是q的充分不必要条件.
(3)∵当x=1或x=2成立时,可得x-1=
成立,反过来,当x-1=
成立时,可以推出x=1或x=2,
∴p是q的充要条件.
(4)由sinα>sinβ不能推出α>β,反过来由α>β也不能推出sinα>sinβ,∴p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.则p是q的既不充分又不必要条件.
跟踪训练1
(1)B [由x>1⇒x+2>3⇒
<0,
<0⇒x+2>1⇒x>-1,故“x>1”是“
<0”成立的充分不必要条件.故选B.]
(2)C [当x=1,y=-2时,x>y,
但x>|y|不成立;
因为|y|≥y,所以若x>|y|,则x>y.
所以x>y是x>|y|的必要不充分条件.]
例2 解 充分性:
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 最新北师大版高中数学选修11学案第一章 23 充要条件 最新 北师大 高中数学 选修 11 第一章