人教版初中数学八年级上册第14章 整式乘除与因式分解 课时培优练习含答案解析改好.docx
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人教版初中数学八年级上册第14章整式乘除与因式分解课时培优练习含答案解析改好
初中数学课时作业
八上
第十四章整式的乘法与因式分解
14.1整式的乘法
专题一幂的性质
1.下列运算中,正确的是( )
A.3a2-a2=2B.(a2)3=a9C.a3•a6=a9D.(2a2)2=2a4
2.下列计算正确的是( )
A.
·
B.
·
C.
D.
3.下列计算正确的是( )
A.2a2+a2=3a4B.a6÷a2=a3C.a6·a2=a12D.(-a6)2=a12
专题二幂的性质的逆用
4.若2a=3,2b=4,则23a+2b等于( )
A.7B.12C.432D.108
5.若2m=5,2n=3,求23m+2n的值.
6.计算:
(1)(-0.125)2014×(-2)2014×(-4)2015;
(2)(-
)2015×811007.
专题三整式的乘法
7.下列运算中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
8.若(3x2-2x+1)(x+b)中不含x2项,求b的值,并求(3x2-2x+1)(x+b)的值.
9.先阅读,再填空解题:
(x+5)(x+6)=x2+11x+30;
(x-5)(x-6)=x2-11x+30;
(x-5)(x+6)=x2+x-30;
(x+5)(x-6)=x2-x-30.
(1)观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系?
答:
________.
(2)根据以上的规律,用公式表示出来:
________.
(3)根据规律,直接写出下列各式的结果:
(a+99)(a-100)=________;(y-80)(y-81)=________.
专题四整式的除法
10.计算:
(3x3y-18x2y2+x2y)÷(-6x2y)=________.
11.计算:
.
12.计算:
(a-b)3÷(b-a)2+(-a-b)5÷(a+b)4.
状元笔记
【知识要点】
1.幂的性质
(1)同底数幂的乘法:
(m,n都是正整数),即同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
(2)幂的乘方:
(m,n都是正整数),即幂的乘方,底数不变,指数相乘.
(3)积的乘方:
(n都是正整数),即积的乘方,等于把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
2.整式的乘法
(1)单项式与单项式相乘:
把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
(2)单项式与多项式相乘:
就是用单项式去乘单项式的每一项,再把所得的积相加.
(3)多项式与多项式相乘:
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
3.整式的除法
(1)同底数幂相除:
(m,n都是正整数,并且m>n),即同底数幂相除,底数不变,指数相减.
(2)
(a≠0),即任何不等于0的数的0次幂都等于1.
(3)单项式除以单项式:
单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
(4)多项式除以单项式:
先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.
【温馨提示】
1.同底数幂乘法法则与合并同类项法则相混淆.同底数幂相乘,应是“底数不变,指数相加”;而合并同类项法则是“系数相加,字母及字母的指数不变”.
2.同底数幂相乘与幂的乘方相混淆.同底数幂相乘,应是“底数不变,指数相加”;幂的乘方,应是“底数不变,指数相乘”.
3.运用同底数幂的乘法(除法)法则时,必须化成同底数的幂后才能运用上述法则进行计算.
4.在单项式(多项式)除以单项式中,系数都包括前面的符号,多项式各项之间的“加、减”符号也可以看成系数的符号来参与运算.
【方法技巧】
1.在幂的性质中,公式中的字母可以表示任意有理数,也可以表示单项式或多项式.
2.单项式与多项式相乘,多项式与多项式相乘时,要按照一定的顺序进行,否则容易造成漏项或增项的错误.
3.单项式与多项式相乘,多项式除以单项式中,结果的项数与多项式的项数相同,不要漏项.
参考答案:
1.C解析:
A中,3a2与-a2是同类项,可以合并,3a2―a2=2a2,故A错误;B中,(a2)3=a2×3=a6,故B错误;C中,a3•a6=a3+6=a9,故C正确;D中,(2a2)2=22(a2)2=4a4,故D错误.故选C.
2.C解析:
·
,选项A错误;
·
,选项B错误;
,选项C正确;
,选项D错误.故选C.
3.D解析:
A中,
,故A错误;B中,
,故B错误;C中,
,故C错误.故选D.
4.C解析:
23a+2b=23a×22b=(2a)3×(2b)2=33×42=432.故选C.
5.解:
23m+2n=23m·22n=(2m)3·(2n)2=53·32=1125.
6.解:
(1)原式=(0.125×2×4)2014×(-4)=12014×(-4)=-4.
(2)原式=(-
)2015×92014=(
×9)2014×(-
)=-
.
7.B解析:
A中,由合并同类项的法则可得3a+2a=5a,故A错误;B中,由多项式与多项式相乘的法则可得
=
,故B正确;C中,由单项式与单项式相乘的法则可得
=
,故C错误;D中,由多项式与多项式相乘的法则可得
,故D错误.综上所述,选B.
8.解:
原式=3x3+(3b-2)x2+(-2b+1)x+b,
∵不含x2项,
∴3b-2=0,得b=
.
∴(3x2-2x+1)(x+
)
=3x3-2x2+x+2x2-
x+
=3x3-
x+
.
9.解:
(1)观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系是:
一次项系数是两因式中的常数项的和,常数项是两因式中的常数项的积;
(2)根据以上的规律,用公式表示出来:
(a+b)(a+c)=a2+(b+c)a+bc;
(3)根据
(2)中得出的公式得:
(a+99)(a-100)=a2-a-9900;(y-80)(y-81)=y2-161y+6480.
10.-
x+3y-
解析:
(3x3y-18x2y2+x2y)÷(-6x2y)=(3x3y)÷(-6x2y)-18x2y2÷(-6x2y)+x2y÷(-6x2y)=-
x+3y-
.
11.解:
原式
12.解:
(a-b)3÷(b-a)2+(-a-b)5÷(a+b)4,
=(a-b)3÷(a-b)2-(a+b)5÷(a+b)4,
=(a-b)-(a+b),
=a-b-a-b,
=-2b.
14.2乘法公式
专题一乘法公式
1.下列各式中运算错误的是()
A.a2+b2=(a+b)2-2abB.(a-b)2=(a+b)2-4ab
C.(a+b)(-a+b)=-a2+b2D.(a+b)(-a-b)=-a2-b2
2.代数式(x+1)(x-1)(x2+1)的计算结果正确的是()
A.x4-1B.x4+1C.(x-1)4D.(x+1)4
3.计算:
(2x+y)(2x-y)+(x+y)2-2(2x2-xy)(其中x=2,y=3).
专题二乘法公式的几何背景
4.请你观察图形,依据图形面积之间的关系,不需要连其他的线,便可得到一个你非常熟悉的公式,这个公式是( )
A.(a+b)(a-b)=a2-b2B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a-b)2=a2-2ab+b2D.(a+b)2=a2+ab+b2
5.如图,你能根据面积关系得到的数学公式是( )
A.a2-b2=(a+b)(a-b) B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.a(a+b)=a2+ab
6.我们在学习完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2时,了解了一下它的几何背景,即通过图来说明上式成立.在习题中我们又遇到了题目“计算:
(a+b+c)2”,你能将知识进行迁移,从几何背景说明(大致画出图形即可)并计算(a+b+c)2吗?
状元笔记
【知识要点】
1.平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2,两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
2.完全平方公式
(a±b)2=a2±2ab+b2,两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.
【温馨提示】
1.不要将平方差公式和完全平方公式相混淆,注意它们项数和符号的不同.
2.完全平方公式中,中间项是左边两个数的和的2倍,注意系数的特点.
【方法技巧】
1.公式中的字母a、b可以是具体的数,也可以是单项式、多项式.只要符合公式的结构特征,就可以利用公式.
2.有些题目往往不能直接应用公式求解,但稍做适当的变形后就可以用乘法公式求解.如:
位置变化,符号变化,数字变化,系数变化,项数变化等.
参考答案:
1.D解析:
A中,由完全平方公式可得(a+b)2-2ab=a2+2ab+b2-2ab=a2+b2,故A正确;B中,由完全平方公式可得(a-b)2=a2-2ab+b2,(a+b)2-4ab=a2+2ab+b2-4ab=a2-2ab+b2,故B正确;C中,由平方差公式可得(a+b)(-a+b)=(a+b)(b-a)=b2-a2=-a2+b2,故C正确;D中,(a+b)(-a-b)=-(a+b)2=-a2-2ab-b2,故D错误.
2.A解析:
原式=(x2-1)(x2+1)=(x2)2-1=x4-1.
3.解:
原式=4x2-y2+x2+2xy+y2-4x2+2xy=x2+4xy,
当x=2,y=3时,原式=22+4×2×3=4+24=28.
4.B解析:
这个图形的整体面积为(a+b)2;各部分的面积的和为a2+2ab+b2;所以得到公式(a+b)2=a2+2ab+b2.故选B.
5.C解析:
从图中可知:
阴影部分的面积是(a-b)2和b2,剩余的矩形面积是(a-b)b和(a-b)b,即大阴影部分的面积是(a-b)2,∴(a-b)2=a2-2ab+b2,故选C.
6.解:
(a+b+c)2的几何背景如图,整体的面积为:
(a+b+c)2,用各部分的面积之和表示为:
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
14.3因式分解
专题一因式分解
1.下列分解因式正确的是( )
A.3x2-6x=x(x-6)B.-a2+b2=(b+a)(b-a)
C.4x2-y2=(4x-y)(4x+y)D.4x2-2xy+y2=(2x-y)2
2.分解因式:
3m3-18m2n+27mn2=____________.
3.分解因式:
(2a+b)2-8ab=____________.
专题二在实数范围内分解因式
4.在实数范围内因式分解x4-4=____________.
5.把下列各式因式分解(在实数范围内)
(1)3x2-16;
(2)x4-10x2+25.
6.在实数范围内分解因式:
(1)x3-2x;
(2)x4-6x2+9.
专题三因式分解的应用
7.如果m-n=-5,mn=6,则m2n-mn2的值是( )
A.30B.-30C.11D.-11
8.利用因式分解计算32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=___________.
9.在下列三个不为零的式子:
x2-4x,x2+2x,x2-4x+4中,
(1)请你选择其中两个进行加法运算,并把结果因式分解;
(2)请你选择其中两个并用不等号连接成不等式,并求其解集.
状元笔记
【知识要点】
1.因式分解
我们把一个多项式化成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
2.因式分解的方法
(1)提公因式法:
如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写出公因式与另一个因式的乘积的形式,这样分解因式的方法叫做提公因式法.
(2)将乘法公式的等号两边互换位置,得到用于分解因式的公式,用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做公式法.
(3)平方差公式:
a2-b2=(a+b)(a-b),两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.
(4)完全平方公式:
a2±2ab+b2=(a±b)2,两个数的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.
【温馨提示】
1.分解因式的对象必须是多项式,如把
分解成
就不是分解因式,因为
不是多项式.
2.分解因式的结果必须是积的形式,如
就不是分解因式,因为结果
不是积的形式.
【方法技巧】
1.若首项系数为负时,一般要提出“—”号,使括号内首项系数为正,但要注意,此时括号内的各项都应变号,如
.
2.有些多项式的特点与公式相比,只是某些项的符号不符,这时就需要先对符号进行变化,使之符合公式的特点.
参考答案:
1.B解析:
A中,3x2-6x=3x(x-2),故A错误;B中,-a2+b2=-(a-b)(a+b)=(b+a)(b-a),故B正确;C中,4x2-y2=(2x)2-(2y)2=(2x-y)(2x+y),故C错误;D中,4x2-2xy+y2的中间项不是2×2x×y,故不能因式分解,故D错误.综上所述,选B.
2.3m(m-3n)2解析:
3m3-18m2n+27mn2=3m(m2-6mn+9n2)=3m(m-3n)2.
3.(2a-b)2解析:
(2a+b)2-8ab=4a2+4ab+b2-8ab=4a2-4ab+b2=(2a-b)2.
4.(x2+2)(x+
)(x-
)解析:
x4-4=(x2+2)(x2-2)=(x2+2)(x+
)(x-
).
5.解:
(1)3x2-16=(
x+4)(
x-4);
(2)x4-10x2+25=(x2-5)2=(x+
)2(x-
)2.
6.解:
(1)x3-2x=x(x2-2)=x(x+
)(x-
);
(2)x4-6x2+9=(x2-3)2=(x+
)2(x-
)2.
7.B解析:
∵m-n=-5,mn=6,∴m2n-mn2=mn(m-n)=6×(-5)=-30,故选B.
8.2013解析:
32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=0.32×2013+0.54×2013+0.14×2013=2013×(0.32+0.54+0.14)=2013×1=2013.
9.解:
(1)答案不唯一,如:
(x2-4x)+(x2+2x)=2x2-2x=2x(x-1).
(2)答案不唯一,如:
x2-4x>x2+2x,
合并同类项,得-6x>0,
解得x<0.
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