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概率论与数理统计笔记
第一章概率论的基本概念
1随机试验
1.对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验.
2.随机试验E的所有结果构成的集合称为E的样本空间,记为
,称S中的元素e为基本事件或样本点.
3.可以在相同的条件下进行相同的实验;每次实验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;进行一次试验之前不能确定哪一个结果会实现.
2.样本空间、随机事件
1.对于随机试验,尽管在每次试验之前不能预知试验结果,但试验的所有可能结果组成的集合是已知的.我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为S样本空间的元素,即E的每个结果称为样本点.
2.一般我们称S的子集A为E的随机事件A,当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生.如果将S亦视作事件,则每次试验S总是发生,故又称s为必然事件。
为方便起见,记'为不可能事件,••不包含任何样本点.
3.若AB,则称事件B包含事件A,这指的是事件A发生必导致事件的发生。
若AB且BA,即A二B,则称事件A与事件B相等.
4.和事件AUB={x|x^A或x^A}:
A与B至少有一发生.
5•当AB='时,称事件A与B不相容的,或互斥的.这指事件A与事
件B不能同时发生.基本事件是两两互不相容的.
a的逆事件记为A,{aA=S,若{AUA=S,则称a,b互逆,互斥
aa=0AB=0
6.当且仅当a,b同时发生时,事件A^B发生.a"b也记作ab.当且仅当a,B同时发生时,事件AnB发生,AnB也记作ab.
7.事件A的对立事件:
设A表示事件“A出现”,贝“事件A
不出现”称为事件a的对立事件或逆事件.
事件间的运算规律:
设a,b,c为事件,则有
(1)交换律:
aUb二bUa,ab二ba
(2)结合律:
(aUb)Uc二aU(BUc),(AB)C二A(BC)
(3)分配律:
(aUb)nc二(Anc)u(bric)二acubc
(4)deMorgan律:
aUb二A“B,A“B二aUb
3.频率和概率
1.记fnA二皿
n
其中nA-A发生的次数(频数);n-总试验次数.
称fn(A)为A在这n次试验中发生的频率.
频率fn(A)反映了事件A发生的频繁程度.
2.频率的性质:
1。
O^fn(A)乞1
2。
fn(S)=1
kk
3。
若a,A…,A两两互不相容,则fn(UA)八fn(A)
;..i1y
3•当重复试验次数n逐渐增大时,频率fn(A)呈现出稳定性,逐渐稳定于某个常数.这种“频率稳定性”即通常所说的统计规律性.我们让试验重复大量次数,计算频率fn(A)以它来表征事件A发生可能性的大小是合适的.fn(A)随n的增大渐趋稳定,记稳定值为p.fn(A)的稳定值p定义为A的概率,记为P(A)=p.
4.概率定义:
设E是随机试验,S是它的样本空间.对于E的每一个事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率.
满足下列条件:
(1)非负性:
对于每一个事件A,有P(A)一0;
⑵规范性:
对于必然事件S,有P(S)=1;
⑶可列可加性:
设A,A2,iil是两两相互不相容的事件,即对于
i=j,AAj「,i,j72IH,则有
P(AUAU…尸P(A)+PA)+…;
5.概率定义推得的重要性质.
(1)P()=0
(2)有限可加性若AiA2A3An是两两互不相容的事件则有
PAlUA2…UAn=P(A)PA2…P(An)
(3)对于任一事件P(A)叮
(4)对于任一事件A有P(A)PA
(5)P(AUB)二P(A)P(B)-P(AB)
4.等可能概型(古典概型)
1•当试验的样本空间只含有有限个元素,并且试验中每个基本事件发生的可能性相同,具有这样特点的试验是大量存在的,则称这种试验为等可能概型•它在概率论发展初期曾是主要的研究对象,所以也称
为等可能概型.
事件A的概率的计算公式
5•条件概率
1.条件概率定义:
设A,B是两个事件,且P(A>0,称P(BA^
1P(A)
为在A事件发生条件下B事件发生的条件概率.
2•符合条件概率的三个条件,即:
(1)非负性对于每一事件B有P(BA)XO
(2)规范性对于必然事件S,有P(SA)=1
(3)可列可加性设B1B2川是两两互不相容的事件,则有
P||Jb|A=无P(B」A)
liT丿i占
3.乘法定理:
设P(A)aO,则有P(AB)=P(B|A)P(A)
推广:
一般设AAlHAn为n个事件,n—2,且PAA?
AI仁弋有
p(AA2IIA)汗(AjAAjlAjPCAjAAJliAn/llp(a^|^)p(^)
4.全概率公式:
设试验E的样本空间为S,A为E的事件,
Bi,B2,•…,Bn为S的一个划分,且P(Bi)0(i=1,2,…,n),则
P(A)=P(A|B)P(Bi)+P(A|B2)P(B2)+||i+P(A|Bn)P(Bn)
5.贝叶斯公式:
设试验E的样本空间为S,A为E的事件,
$&•…,Bn为S的一个划分,且P(Bi)0(^1,2,...,n),则
ceAP(A|B)P(Bi)
P(Bi|A)=
SP(ABj)P(Bj)
j討
6.独立性
1.定义:
设A,B是两事件,如果满足等式P(AB)二P(A)P(B),则称事件A,B相互独立,简称A,B独立.
若P(A)O,P(B)0,则A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立.
2.定理一:
设A,B是两事件,且PA>0,若A,B相互独立,则P(B|A)=P(B).反之亦然.
3.定理二:
若事件A与B相互独立则A与B,A与B,A与B也相互独立.
4.推广定义:
设A,B,C是三个事件,如果满足等式
P(AB)二P(A)P(B),P(BC)二P(B)P(C),
P(AC)二P(A)P(C),P(ABC)二P(A)P(B)P(C)则称事件A,B,C相互独立.
5.A,B相互独立二A,B相互独立=A,B相互独立=A,B相互独立
当PAB二PAPB时
PAB二PA-AB二PA-PAB二PA讣1-PB=PAPB
第二章随机变量及其分布
1.
随机变量
间s上的实值单值函数,称x为随机变量
2.本书中一般以大写字母如X,Y,Z,W,…表示随机变量,而以小写字母x,y,z,w,…表示实数.
2.离散型随机变量及其分布律
1.定义:
有些随机变量,它全部可能取到的不相同的值是有限个或可
列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量.
2.定义:
取值可数的随机变量为离散量.
一般地,设离散型随机变量X所有可能取的值为xk(k=12■…)
x取各个可能值的概率论,即事件的概率为Plx二“=Pk,k二1,2,
称为离散型随机变量X的分布律。
Pk满足如下两个条件:
cd
(1)Pk-0
(2)'Pk=1
3.(0-1)分布
设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律是
P{X=k}=pH",k=0,1(0:
:
:
p<1,p^1),则称X服从(0-1)分布或两点分布.
(0—1)分布的分布律也可写成
4.设试验只有两个可能结果:
A及A,则称E为伯努利试验.设
P(A)二P(0*P:
:
1),此时P(A)p,将E独立重复地进行n次,则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验.
P「X二k-ChW,k=0,1,2,|||,n
C;pkqZ刚好是二项式(pq)n的展开式中出现Pk的那一项,故称随机变量X服从参数n,p的二项分布,记为X〜B(n,p)特别,当n「时二项分布化为Plx二k?
二pp1七k=0,1,这就是(0-1)分布.
5.泊松分布
设随机变量X所有可能取值为0,1,2…..而取各个值的概率为
■,,k
P:
X=k—k=0,1,2,,其中0是常数,
k!
则称X服从参数为■的泊松分布,记为X~PC).
3.随机变量的分布函数
1.分布函数的定义设X是一个连续随机变量,称F(x)二p(X辽x)(-—x为X的分布函数.X是随机变量,x是自变量.
由定义,对任意实数x!
:
:
:
X2,随机点落在区间%,X21的概率为:
P<1XX2;=p1x乞心-p'x乞X1;=F(X2)-F(xJ
2.分布函数性质
(1)0zF(x)z1,x(八L)
⑵尸(儿)乞F(X2),(x:
x2)(单调不减性)
(3)F(-:
:
)二limF(x)=0,F(:
:
)=limF(x)=1
x_sc
(4)lim二F(Xo),(-—xo:
:
:
)
x—”%
即任一分布函数处处右连续.
3.公式
(1)P{a:
:
X乞b}二F(b)—F(a)
(2)P{Xa}=1-F(a).
4.连续型随机变量及其概率密度
1.如果对于随机变量X的分布函数Fx,存在非负函数f(x),使
x
对任意实数x有F(x)=Jf(t)dt,则称X为连续型随机变量,其中_oQ
函数f(x)称为X的概率密度函数简称概率密度。
在实际应用中遇
到的基本上是离散型或连续型随机变量.
2.概率密度f(x)性质:
(1)f(x)-O
(2)fxdx=1
-_oO
(3)对于任意实数冷X2,为乞x2,
P'x^X-x^=Fx2-Fx1fxdx
x1
(4)若f(x)在点x处连续则有Fx=f(x)
3.均匀分布:
设连续型随机变量X具有概率密度
・1.
a£x£b
f(x)-a,,则称X在区间a,b上服从均匀分布.记为
【0,其他
5.随机变量的函数分布
定理:
设随机变量X具有概率密度
fXx,-—x「:
又设函数g(x)
■y
其它
处处可导且恒有g'(x)•0(或恒有g'(x):
:
:
0),则Y=g(X)是连续型随机变量,其概率密度为fYx=fh(y)"(y)
第三章多维随机变量及其分布
1.二维随机变量
1.设随机试验E的样本空间为:
S「e,Xe、Ye为定义在S上的
随机变量,由它们构成一个随机向量(X、Y),叫二维随机向量或二
维随机变量.
2.定义:
设二维随机变量(X、Y),对任意实数x、y,二元函数
F(X,Y)二PxY「V称为(X、Y)的(联合)概率分布函数.
二维随机变量分布函数的性质:
(1)Fx,y是变量x和y的不减函数,即对任意固定的y,当仇Xi时FX2,y-FXi,y;对于任意固定的x,当yyi时
Fx,y2_Fx,yi.
(2)0乞Fx,y<1,且对于任意固定的y,F-:
:
yi;=O,对于任
意固定的x,Fx,-:
:
-0,F-:
:
-:
:
-0,F二厂:
-1.
(3)Fx,y=Fx0,y,Fx,y=Fx,y0,即Fxy,关于x右连续,关于y也右连续.
(4)对于任意xi,yi,X2,y2,x?
•人,土*,下述不等式成
立:
Fx2,y2-Fx2,%Fx1,y1-Fx1,y2-0.
如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无限多对,则称(X,Y)是离散型的随机变量.
3.对于二维随机变量X,Y的分布函数Fx,y.如果存在非负
的函数fx,y使对于任意(X、Y)有Fx,y二fJ,dF,丄_oO_oO
则称X,Y是连续型的二维随机变量,函数fx,y称为二维随机
变量X,Y的概率密度,或称为随机变量X和Y的联合概率密度.概率密度fx,y具有以下性质:
(1)f(x,y)-0
(2)二:
f(x,y)dxdy二FC<)=1
⑶设G是xOy平面上的区域,点(X、Y)落在G内的概率为
P"X,Y)G=f(x,y)dxdy
4.
两个常用的分布
(联合)密度为:
f(x,y)n
1/A(X,y)€D
、0其它
则称:
(X、Y)服从D上的均匀分布.
匚1>0,二2>0,|订叨是常数.记为:
(X、Y)~N(」1、」2、匚12、匚22、
2•边缘分布
1.二维随机变量X,Y作为一个整体,具有分布函数Fx,y,而X
和丫都是随机变量,也有也有分布函数,将他们分别记为FXx,
Fyy,依次称为二维随机变量X,Y关于X和丫的边缘分布函
数。
边缘分布函数可以由X,Y的分布函数Fx,y所确定,事实
上FXx=FC=,x).
2.X是一个连续型随机变量,则其概率密度fxx=:
fx,ydy和fYy=.:
fx,ydx分别称fxX,fYy为X,Y关于X和关于丫的边
缘概率密度函数
3•条件分布
1.定义:
设X,Y使二维离散型随机变量,对于固定的j,若有
P「Y二yj?
0,则称
p{X=XY=}p
PtX=Xig}=p{Y"'=昭=1,2'川'为在丫=力条件下随机变量X的条件分布律。
同样,对于固定的i,若P:
X二Xj「O
p{X=xY=v.}p
则称pg*似=小一」,j=i,2,|||,为在X=m
p{x=x>Pi?
条件下随机变量Y的条件分布律.
2.定义:
设二维随机变量X,Y的概率密度为fx,y,X,Y关于
丫的边缘概率密度为
fY(y).对于固定的y,fY(y)〉O,则称(,V)
fY(V)
为在丫=V的条件下
X的条件概率密度,记为fXY(xy)=.
fY(V)
xxf(xV)
称.fXY(x|yg石ydx为在Y=y的条件下,X的条件分布
函数,记为p{x^x|Y=y}或Fxy(x|v)即
’t*jf(x,v)
FXy(x|v)=P
'mfY(V)
类似的,可以定义fY|X(vix}=f(x,v)和fyx(v|x)=rf(x,v)dy.fx(x)ifx(x)
3.离散型随机变量的条件分布
设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若PY=j0,则称
p{x=Xj
丫=y,=P'X;xi,丫:
=pjj」=1,2,...为在丫二yj条件下随机
P{Y=Pj
变量X的条件分布律.
4.连续型随机变量的条件分布
给定y,设对于任意固定的正数;,PCy-;Y岂y•;?
-0,且若对于任意实数x,极限
limP'X沁y-,Y曲;,佃空◎丫
7•;:
o•P-;:
:
:
Y_y」
存在,则称此极限为在条件Y二y下X得条件分布函数,
写成p{x$x|Y=y}或记为Fxy(X|Y)
4.相互独立的随机变量
1.定义:
设F(x,y),Fx(x),Fy(y)分别为二维随机变量(X,Y)的(联
合)分布函数和边缘分布函数,若对于所有x,y有:
F(x,y)=
Fx(x)•Fy(y),即:
P〈X乞x,丫乞屮,则称X与丫相互独立.
2.定理a.X,Y相互独立=f(x,y)二fx(x)fy(y)
b.离散型随机变量X,Y相互独立充要条件是对于任意x,y有:
pix二x,丫二y-PI;X=丫二y.
5.两个随机变量函数的分布
1.Z=X丫的分布
设X,Y的概率密度为fx,y,则X丫分布函数为
Fzz=P\Z xy 概率密度为fz(z)=Jf(z-yy)dy由(X,Y)的对称性,fz(z)又可 -oO 写成fzz=fxz-xdx特别,当X和Y相互独立是,设边缘概率密度为fxx,fYy,则上面两个公式可以化为 fzz=fxZ-yfYydy,fzz=fxxfyz-xdx,这两个公 _oO 式称为卷积公式,记为fx“fY即 □OoO fxfY二: -fxZ-yfYydy二-fxXfYz-xdx 更一般地,有限个相互独立得正态随机变量的线性组合仍然服从 正态分布. 2.M二maxX,Y及N二minX,Y的分布 设X,Y是两个相互独立的随机变量,他们的分布函数分别为 Fx(x),Fy(y),现在来求M二maxX,Y及N二minX,Y的分布函 数。 P^M乞z二PX「zY? z又由于X和Y相互独立,得到 M二maxX,Y的分布函数为 Fmaxz二P「M乞z? 二P「X乞乙丫乞z二P「X乞z1P「Y乞力 即有Fmaxz-FxzFyz类似的,可得到N二minX,Y的分布函 数为 Fminz二P「N乞-P「Nz—1-P^X乙Yz41-P「Xz「P「Y乞 即FminzFxzJ-Fyz. 第四章随机变量的数字特征 1.数学期望 1.定义: 设离散型随机变量X的分布律为P「X=xJ=Pk qQqQ 若级数vxkpk绝对收敛,则称级数x 学期望,记为E(X)=、「XkPk. k討 2.设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分: xf(x)dx的 值为随机变量X的数学期望,即E(X)=一xf(x)dx. 数学期望简称期望,又称均值. 3.定理: 设Y是随机变量X的函数: Y=g(X)(g是连续函数). 1)若X是离散型随机变量,它的分布律为P〈X=xk1=Pk,k=1,211! qQqQ 若级数Jg(xQPk绝对收敛,则有E(Y)=E〔g(X)]=「g(xQPk. kdkT 2)若X是连续型随机变量,它的概率密度为f(x)若 g(x)f(x)dx绝对收敛则有E(Y)=E〔g(X)〕=g(x)f(x)dx. 4.数学期望的重要性质: (1)设C是常数,则有EC二C (2)设X是一个随机变量,C是常数,则有ECX二CEX (3)设X,Y是两个随机变量,则有EX丫二EXEY.这 一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况 (4)设X,Y是相互独立的随机变量,则有EXY二EXEY; 这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情 5.几个重要随机变量的期望 (1)0-1分布的数学期望: E(X)=p (2)二项分布b=(n,p): E(X)=np (3)泊松分布 k X~pfx=ke—,k=0,1,2,… k! kk-1 儿22儿 E(X)八ki二e—' 心k! 心(k-1)! 1 ⑷均匀分布X~U(a,b).X〜f(x)二三b-a,a: : x: : b, [o,其他 E(X)= QO -CO bx xf(x)dxdx二 ab—a (5)指数分布: xx qQqQ\____ E(X)=xf(x)dx二x-eFx--^e71 0■■ (6)正态分布N(,2): E(X), 2.方差 oO =0 0 1.定义: 设X是一个随机变量,若E「X-日X)]2}存在,则称e£x-E(X)]}为X的方差,记为D(X)或Var(X)即DX二VarX二E^X-EX「在应用上引入、,DX,记为-X称为标准差或均方差. □0 2.离散型随机变量: D(X)八%-E(X)】Pk,其中 kT P〈X二Xk? 二Pk,k二1Hl2 2 连续型随机变量: D(X)二lx-E(X)1f(x)dx其中f(x)是X -oO 的概率密度. 2 随机变量X的方差可按D(X)=E(x2)-[E(X)]计算. 3.方差的重要性质 (1)设C是常数,则有DX=0 (2)设X是一个随机变量,C是常数,则有DCX二C2DX (3)设X,Y是两个随机变量,则有 DXY二DXDY2EfX-EXii[Y-EYII; 若X,Y相互独立,则有DXY=DX•DY这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之和的情况 (4)DX=0的充要条件是X以概率1取常数C,P^C=1 4.几个重要随机变量的方差 (1)X〜b(n,p): D(X)二np(1-p) ⑵泊松分布: D(X)八 ⑶均匀分布U(a,b): D(X)二少a)- 12 ⑷指数分布: D(X)」2 (5)正态分布N(*2): D(X)=2 3.协方差及相关系数 1定义: e[x-EX_Y-EY? 称为随机变量X与Y的协方差,记为Cov,X,YI卩CovX,Y二E「X-EXi[Y-EY】, 2.协方差性质 1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X) 2)Cov(X,Y)二D(X),Cov(X,c)=0 3)Cov(aX,bY)=abCov(XY),a,b是常数 4)Cov(XY,Z)二Cov(X,Z)Cov(Y,Z) 5)若X,Y相互独立,则Cov(X,Y)=0 6)D(X-Y,Z)=D(X)D(Y)2Cov(X,Y) 3.定理: (1)|Pxy|" (2)|Pxy|"的充要条件是,存在常数a,b使p{Y=a+bX}=1 (3)当*=0时,称X和丫不相关 (4)当X和丫相互独立时由CovX,Y=0,知・丫=0即X,Y不相关,反之,若X,Y不相关,X,Y却不一定相互独立. 4.矩、协方差矩阵 1.定义: 设X和丫是随机变量,若E(Xk),k=1,2|"存在,称它为X的k阶矩。 若E〈_X-E(X)kH2,3||存在,称它为X的k阶中心矩。 若E(XkY),k,l=1,2存在,称它为X和丫的k1阶混合矩•若E'〔X-E(X)kY-E(Y)V,k,l=1,2川存在,称它为X和丫的k1阶混合中心矩. 2.设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的二阶混合中心距 Cj=Cov(Xi,Xj)=E[Xi-EXiXj-EXj「,「1,2,...,n都存 ai1I丨丨ain 在,则称矩阵;为n维随机变量(X! X2,...Xn)的协方差矩ian1111annJ 阵. 3.n维正态变量的性质: 1)n维随机变量(XrX2,l
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