图象
性质定义域:
0,+∞
值域:
R
过点1,0,即x=1时,y=0在0,+∞上是增函数在0,+∞上是减函数
函数图像变换:
平移变换
①水平平移:
y=fx±aa>0的图象,可由y=fx的图象向左+或向右-平移a个单位而得到.
②竖直平移:
y=fx±bb>0的图象,可由y=fx的图象向上+或向下-平移b个单位而得到.
伸缩变换
①y=afxa>0的图象,可将y=fx图象上每点的纵坐标伸a>1时缩a<1时到原来的a倍.
②y=faxa>0的图象,可将y=fx的图象上每点的横坐标伸a<1时缩a>1时到原来的.
导数
几何意义:
函数fx在点x0处的导数f′x0的几何意义是曲线y=fx上在点x0,fx0处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-y0=f′x0x-x0.
2.基本初等函数的导数公式
若fx=c,则f′x=0;若fx=xnn∈Q,则f′x=nxn-1;
若fx=sinx,则f′x=cos_x;若fx=cosx,则f′x=-sin_x;
若fx=ax,则f′x=axln_aa>0且a≠1;
若fx=ex,则f′x=ex;若fx=logax,则f′x=a>0且a≠1;
若fx=lnx,则f′x=.
3.导数的运算法则
若f′x、g′x存在,则有
1[fx±gx]′=f′x±g′x;2[fx?
gx]′=f′xgx+fxg′x;
3′=gx≠0.
4.导数的应用
(1)f′x≥0?
fx在a,b为增函数;f′x≤0?
fx在a,b为减函数.
(2)求函数单调区间的步骤:
①确定函数fx的定义域;
②求导数f′x;
③由f′x>0f′x<0解出相应的x的范围.
当f′x>0时,fx在相应的区间上是增函数;当f′x<0时,fx在相应的区间上是减函数,还可以列表,写出函数的单调区间.
(3)导函数与原函数的区别和联系:
导函数看符号,原函数对应的是单调.
4函数的极值
判断fx0是极值的方法
①如果在x0附近的左侧f′x>0,右侧f′x<0,那么fx0是极大值;
②如果在x0附近的左侧f′x<0,右侧f′x>0,那么fx0是极小值.
5求可导函数极值的步骤
①求f′x;
②求方程f′x=0的根;
③检查f′x在方程f′x=0的根左右值的符号.如果左正右负,那么fx在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么fx在这个根处取得极小值,如果左右两侧符号一样,那么这个根不是极值点.
极值的性质:
极值点处的导数值等于0第三章三角函数
一-任意角三角函数:
α是一个任意角,角α的终边上任意一点Px,y,它与原点的距离为rr>0,那么角α的正弦sinα=余弦:
cosα=,
正切:
tanα=
2.同角三角函数的基本关系
1平方关系:
sin2α+cos2α=1;2商数关系:
=tanα.
3.象限角符号:
三角函数值在各象限的符号规律概括为:
一全正、二正弦、三正切、四余弦.
4.弧长公式:
l=|α|r,扇形面积公式:
S扇形=lr=|α|r2.
5.特殊角的三角函数值:
0
sin010
cos100
tan01不存在0不存在
cot不存在10不存在0
二-三角公式
1.诱导公式:
与有关的函数名不变,符合看象限,与有关的函数名要变,符号看象限;
2.诱导公式的运用:
sinθ±cosθ2=1±2sinθcosθ;
三角形中的诱导公式:
:
sinA+B==sinC,cosA+B=-cosC,
sin=sin=cos,cos=cos=sin.
3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1cosα-β=cos_αcos_β+sin_αsin_β;2cosα+β=cos_αcos_β-sin_αsin_β;
3sinα+β=sin_αcos_β+cos_αsin_β;4sinα-β=sin_αcos_β-cos_αsin_β;
5tanα+β=;6tanα-β=.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
1sin2α=2sinαcosα;2cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
3tan2α=.
3.有关公式的逆用、变形等
1cos2α=,sin2α=;
21+sin2α=sinα+cosα2,1-sin2α=sinα-cosα2,
sinα±cosα=sin.
4.函a,b,为常数,可以化为或,如:
的最大值为,最小值为,周期为
三.三角函数的图象与性质
1.三角函数的图象和性质
函数
性质y=sinxy=cosxy=tanx
定义域RRx|x≠kπ+,k∈Z
图象
值域[-1,1][-1,1]R
对称性对称轴:
x=kπ+k∈Z对称轴:
x=kπk∈Z无对称轴
对称中心:
kπ,0k∈Z对称中心:
k∈Z对称中心:
k∈Z
周期2π2ππ
单调性单调增区间,2kπ+k∈Z;单调减区间,2kπ+k∈Z单调增区间[2kπ-π,2kπ]k∈Z单调减区间[2kπ,2kπ+π]k∈Z;单调增区间,kπ+k∈Z
奇偶性奇偶奇
正弦型函数y=Asinωx+φ的图象及应用
(1)用五点法画y=Asinωx+φ一个周期内的简图时,要找五个特征点
如下表所示
x
ωx+φ0π2π
y=Asinωx+φ0A0-A0
(2)函数y=sinx的图象变换得到y=Asinωx+φ的图象的步骤
法一:
法二:
重点:
把平移得到,要平移个单位,当向左平移,当向左平移;函数名是cos时也一样的道理;
若平移前后的函数名不同,则用下列公式先把名变相同:
;
(3)应用
①y=Asinωx+φ要为偶函数,则,y=Acosωx+φ要为奇函数,则
②对于y=Asinωx+φ与y=Acosωx+φ的函数周期为;最大值为,最小值为-;两相邻对称轴或相邻高点与低点之间是个周期;函数在对称轴处取得最值,对称中心处的函数值是0.
四.正弦定理和余弦定理
1.正弦定理:
===2R,其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为:
1a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;
2a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C;sinA=,sinB=,sinC=等形式,以解决不同的三角形问题.
如:
2.余弦定理:
a2=b2+c2-2bccos_A,b2=a2+c2-2accos_B,c2=a2+b2-2abcos_C.余弦定理可以变形为:
cosA=,cosB=,cosC=.
3.S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB,具体要选择哪个公式由已知的角确定.
4.解三角形的方法:
若已知条件为两角一边或若已知条件为两边和一对角:
用正弦定理;
若已知条件为两边和夹角或已知三边:
用余弦定理.
具体步骤你会吗?
5.两条规律:
(1)在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC中,A>B?
a>b?
sinA>sinB.注意用正弦定理解出的三角形要满足此条件;
(2)在解三角形问题时,若已知条件中边角都有,那么要根据所求,用正弦定理或余弦定理统一画出边和角.
第四章平面向量
一.平面向量的概念:
既有大小又有方向的量叫向量
1.相等向量:
坐标分别相等;
2.相反向量:
坐标分别相反;
3.平行向量(共线向量):
4.垂直向量:
两向量夹角等于
5.向量的夹角:
(1)定义:
已知两个非零向量a和b如图,作=a,=b,则∠AOB=θ0°≤θ≤180°叫
做向量a与b的夹角,当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向;如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.
(2)夹角公式:
cosθ==θ为a与b的夹角.
(3)应用:
在中,与的夹角为,与的夹角为;
的夹角为,的夹角为.
6.向量的模长:
(1)表示的有向线段的长度,叫的模,记为:
||.
(2)模长公式:
=
(3)应用:
二.平面向量的运算:
1.数乘向量:
(1)定义:
实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下:
①|λa|=|λ||a|;
②当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0.
(2)计算公式:
若则;|λa|=|λ||a|
2.平面向量的数量积:
(1)定义:
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积或内积,记作a?
b,即a?
b=|a||b|cosθ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0?
a=0.
3.向量的和差:
(1)定义:
向量运算定义法则或几何意义坐标运算
加法求两个向量
和的运算
三角形法则
平行四边形法则若a=x1,y1,b=x2,y2
则:
a+b=x1+x2,y1+y2
减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则若a=x1,y1,b=x2,y2
则:
a-b=x1-x2,y1-y2
(2)性质:
(2)计算公式:
a?
b=|a||b|cosθ(其中:
a=x1,y1,b=x2,y2)
第五章数列
一.数列的基本概念
1.通项公式
(1)若,则数列是一个以A为公差的等差数列;
(2)若,则数列是一个以q为公比的等比数列;
(3)若是关于n的二次函数,在数列的最大项或最小项在顶点附近取得,保证n为正整数.
2.Sn与an的关系
已知Sn,则an=
二.等差数列和等比数列
1.定义与性质
等差数列等比数列
一、定义
二、公式1.
2.1.
2.
三、性质1.,
称为与的等差中项
2.若(、、、),则1.,
称为与的等比中项
2.若(、、、),则
2.判断或证明方法
(1)等差数列的判断方法
定义法:
对于n≥2的任意自然数,证明an-an-1常数;
(2)等比数列的判断方法
定义法:
若=为非零常数或=为非零常数且n≥2,则an是等比数列
数列的求和
1公式法:
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和
2裂项相消法:
把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.常用的裂项公式:
=-;
=;=-
3分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减.模式:
通项等差数列+等比数列,则用此法.如:
若数列an的通项公式为an=2n+2n-1.
第六章不等式
一.基本不等式:
1.公式:
≤,即:
积为常数,和取得最小值;和为常数,积取得最大值。
满足条件:
一正二定三相等.
2.一个技巧:
做比较大小的题用特殊值法.
二.一元二次不等式
1.一元二次不等式的解法
1将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式ax2+bx+c>0a>0或ax2+bx+c<0a>0.
2求出相应的一元二次方程的根.
3利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.
2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
如下表:
判别式
Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
a>0的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0
a>0的根有两相异实根x1,x2x1x1=x2=-没有实
数根
ax2+bx+c>0
a>0的解集x|x>x2或xax2+bx+c<0
a>0的解集x|x1三.二元一次不等式组与简单的线性规划问题
一元二次不等式表示的平面区域
一条直线:
Ax+By+C=0把平面直角坐标系分成三部分:
直线上的点(x,y)满足足ax+by+c=0,若直线一侧的点(x,y)使,那么另一侧的点(x,y)使同侧ax+by+c<0.,异侧异号。
取特殊点检验;“直线定界、特殊点定域”
注意:
对应不等号画实线或虚线。
2.求线性目标函数(即截距型)最值的技巧:
解方程:
有已知不等式组得到对应的方程,两两联立解方程组,把方程组的解带人目标函数,比较大小得最值。
四.绝对值不等式
1.绝对值不等式的解法
(1)公式法:
只有一个绝对值
|fx|>aa>0?
fx>a或fx<-a;|fx|0?
-a(2)分段讨论法:
含有多个绝对值。
是通法.。
解的过程中先交集后并集.
3几何意义法:
形如|x-a|+|x-b|≤c,|x-a|+|x-b|≥c的不等式
①步骤:
第一步:
求;第二步:
判断写解集.
若c,则|x-a|+|x-b|≤c的解集为:
空集,|x-a|+|x-b|≥c解集为:
R;
若c,则|x-a|+|x-b|≤c(其中ab)的解集为:
|x-a|+|x-b|≥c的解集为:
平方法:
|fx|
几个结论
若fx|x-a|+|x-b|,则函数的最小值为,函数没有最大值,函数图象为“倒梯形”;
若fx|x-a|-|x-b|,则函数的最大值为,函数的最小值为-,
函数图象为“Z”形;
3若fx|x-a|,则函数图象为“V”形.
第七章解析几何
一.直线方程
1.直线的倾斜角与斜率:
直线的倾斜角范围是[0,π],直线的斜率:
2.直线方程的几种形式:
点斜式:
;斜截式:
;两点式:
;
截距式:
(求截距的方法:
令x0或y0);一般式:
特别地:
直线垂直于x轴;直线垂直于y轴
求直线方程的方法:
待定系数法.
3.两条直线的位置关系
(1)平行:
若斜率存在:
l1:
yk1x+b1;l2:
yk2x+b2有l1‖l2k1k2且b1≠b2;
若l1:
;l2:
有l1‖l2;
与直线Ax+By+C=0A2+B2≠0平行直线方程设:
为Ax+By+m=0;
(2)垂直:
若斜率存在:
l1:
yk1x+b1;l2:
yk2x+b2有l1⊥l2k1?
k2-1
特别的直线垂直.
与直线Ax+By+C=0A2+B2≠0垂直直线方程的设法:
设为Bx-Ay+n=0.
3相交:
解方程组方程组的解为交点坐标.
4.几个公式
(1)线段的中点坐标公式
若点P1、P2的坐标分别为x1,y1、x2,y2,线段P1P2的中点M的坐标为x,y,则
(2)平面上的两点P1x1,y1,P2x2,y2间的距离公式|P1P2|=.
特别地,原点O0,0与任一点Px,y的距离|OP|=.
3点P0x0,y0到直线l:
Ax+By+C=0的距离d=.
4两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离为d=.
二.圆
1.圆的定义及方程
(1)圆的定义:
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.定点解是圆心,定长就是半径
2圆的标准方程
1方程x-a2+y-b2=r2r>0表示圆心为a,b,半径为r的圆的标准方程.
2特别地,以原点为圆心,半径为rr>0的圆的标准方程为x2+y2=r2.
3圆的一般方程
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为2+2=.故有:
1当D2+E2-4F>0时,方程表示以为圆心,以为半径的圆;
确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为:
1根据题意,选择标准方程或一般方程;
2根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组;
3解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程.
2.点Px0,y0与圆x-a2+y-b2=r2r>0的位置关系
1若x0-a2+y0-b2>r2,则点P在圆外;
2若x0-a2+y0-b2=r2,则点P在圆上;
3若x0-a2+y0-b23.直线与圆的位置关系:
位置关系有三种:
相离、相切、相交
(1)几何法:
利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:
d相交,d=r?
相切,d>r?
相离.
(2)直线与圆相关的最值问题:
最大值为圆心到直线的距离加圆半径,最大值为圆心到直线的距离减圆半径.
三.椭圆
1.椭圆的概念
在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数大于|F1F2|的点的轨迹或集合叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.
2.椭圆的标准方程和几何性质
焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上
图形
定义
标准方程
范围且且
顶点、
、、
、
轴长短轴的长长轴的长
焦点、、
焦距
对称性关于轴、轴、原点对称
离心率
特点x,y的系数都是正,那个的分母大焦点就在那条轴上
3.三个技巧:
1用待定系数法求椭圆方程:
根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于a、b、c的方程组,解出a2、b2,从而写出椭圆的标准方程.
2椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中,长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离,且最大距离为a+c,最小距离为a-c.
3求椭圆离心率e时,只要求出a,b,c的一个齐次方程,再结合b2=a2-c2就可求得e0四.双曲线
1.定义:
平面内与两个定点,的距离之差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹称为双曲线.。
这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距.
4、双曲线的几何性质:
焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上
图形
定义
标准方程
范围或,或,
顶点、、
轴长虚轴的长实轴的长
焦点、、
焦距
对称性关于轴、轴对称,关于原点中心对称