高三数学导数的综合应用上课学习上课学习教案18.docx
- 文档编号:25059243
- 上传时间:2023-06-04
- 格式:DOCX
- 页数:9
- 大小:19.03KB
高三数学导数的综合应用上课学习上课学习教案18.docx
《高三数学导数的综合应用上课学习上课学习教案18.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高三数学导数的综合应用上课学习上课学习教案18.docx(9页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高三数学导数的综合应用上课学习上课学习教案18
高三数学导数的综合应用教案18
本资料为woRD文档,请点击下载地址下载全文下载地址 11.5导数的综合应用
一、明确复习目标
了解可导函数的单调性与其导数的关系,会用导数分析函数的单调性,进而求解函数不等式的问题;
二.建构知识网络
.函数的单调性与导数的关系,求单调区间的方法(见上一节);
2.利用导数解不等式问题:
(高考中的一类新题型)
(1)利用导数确定函数的单调性,
(2)利用单调性研究不等式。
三、双基题目练练手
.已知a>0,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,则a的最大值是
A.0
B.1
c.2
D.3
2.函数f(x)=sin(3x-)在点(,)处的切线方程是
(
)
A.3x+2y+-=0,
B.3x-2y+-=0
c.3x-2y--=0,
D.3x+2y--=0
3.若的大小关系
(
)
A.
B.
c.
D.与x的取值有关
4.(XX江西)对于上可导的任意函数f,若满足f′≥0,则必有(
)
A.f+f<2f
B.f+f≤2f
c.f+f≥2f
D.f+f>2f
5.若函数y=-x3+bx有三个单调区间,则b的取值范围是________.
6.方程x3-3x+c=0在[0,1]上至多有_______个实数根.
简答:
1-4.DBDc;
5.y′=-4x2+b,若y′值有正、有负,则b>0.答案:
b>0
6.设f(x)=x3-3x+c,则(x)=3x2-3=3(x2-1).
当x∈(0,1)时,(x)<0恒成立.
∴f(x)在(0,1)上单调递减.
∴f(x)的图象与x轴最多有一个交点.
因此方程x3-3x+c=0在[0,1)上至多有一实根.
四、经典例题做一做
【例1】证明:
当x>0时,有
证明:
设f=x-sinx,于是f=0.
∵f/=1-cosx处f/=0
∴当x>0时,f单调递增,从而有f>f
即x-sinx>0,x>sinx
为证不等式,设
g=sinx-x+,则g=0,
于是g/>0,∴g在x>0时递增,从而有g>g=0
即
故当x>0时有
提炼方法:
证不等式的依据I:
(1)
若函数f在x>a可导,且递增,则f>f;
(2)
若函数f在x>a可导,且递减,则f《f;
关键在于构造恰当的函数,一般是左-右,右-左,左÷右等。
【例2】已知
求证:
函数f图像上的点不可能在函数g图像的上方。
证明:
设F=ex-1,
∵F/=ex-1,
当x<1时,F/(x)>0,当1<x<2时,F/<0.
∴x=1时,F有极大值,也就是最大值。
∴F≤F=1,又x<2,
∴
∴函数f图像上的点不可能在函数g图像的上方。
提炼方法:
证不等式的依据II:
若函数f在某一范围内有最小值m,则f≥m.
若函数f在某一范围内有最大值m,则f≤m.
【例3】的单调性;
(Ⅱ)若对任意x∈恒有f>1,求a的取值范围
解f的定义域为∪。
对f求导数得f'=ax2+2-a2e-ax
当a=2时,f'=2x22e-2x,f'在,和均大于0,所以f在,为增函数;
当0<a<2时,f'>0,f在,为增函数;
当a>2时,0<a-2a<1,令f'=0,解得x1=-
,x2=
当x变化时,f'和f的变化情况如下表:
x
f'
+
-
+
+
f
↗
↘
↗
↗
f在,,为增函数,f在为减函数。
当0<a≤2时,由知:
对任意x∈恒有f>f=1
当a>2时,取x0=12
∈,则由知f<f=1
当a≤0时,对任意x∈,恒有1+x1-x>1且e-ax≥1,得
f=1+x1-xe-ax≥1+x1-x>1
综上当且仅当a∈恒有f>1。
特别提示:
对于求单调区间、极值、最值问题,根据导数的零点把定义区间分开,列出表格,再分析各区间导数的符号,进而确定单调区间、极值最值,清楚直观不易出错。
【例4】
在平面直角坐标系中,有一个以和为焦点、离心率为的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线c,动点P在c上,c在点P处的切线与轴的交点分别为A、B,且向量
求:
(Ⅰ)点m的轨迹方程;
(Ⅱ)的最小值。
解:
椭圆方程可写为:
y2a2+x2b2=1
式中a>b>0,且
a2-b2=33a=32得a2=4,b2=1,所以曲线c的方程为:
x2+y24=1
y=21-x2y'=-2x1-x2
设P,因P在c上,有0<x0<1,y0=21-x02,y'|x=x0=-4x0y0,得切线AB的方程为:
y=-4x0y0+y0
设A和B,由切线方程得x=1x0,y=4y0
由om→=oA→+oB→得m的坐标为,由x0,y0满足c的方程,得点m的轨迹方程为:
x2+4y2=1
|om→|2=x2+y2,
y2=41-1x2=4+4x2-1,
∴|om→|2=x2-1+4x2-1+5≥4+5=9
且当x2-1=4x2-1,即x=3>1时,上式取等号
故|om→|的最小值为3
【研讨欣赏】设x=3是函数f=e3-x的一个极值点.
(1)求a与b的关系式(用a表示b),并求f的单调区间;
(2)设>0,=().若存在使得||<1成立,求的取值范围.
解:
(1)
由f′=0得
所以
令f′=0得
由于x=3是f的极值点,故x1≠x2,即a≠-4
当时,,故f在上为减函数,在上为减函数,在上为增函数
当a>4时,x1>x2,故f在上为减函数.
(2)当a>0时,-a-1<0,故f在[0,3]上为增函数,在[3,4]上为减函数,在[3,+∞)上为减函数
因此f在[0,4]上的值域为
而在[0,4]上为增函数,所以值域为
注意到,
故由假设知解得
故的取值范围是
考查知识:
函数、不等式和导数的应用知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.
五.提炼总结以为师
.利用导数求解不等式问题的核心是利用导数判定函数的单调性,这就转化为一般的函数问题;
2.利用导数证明不等式有两种方法:
3.导数是研究函数问题的工具,注意它在其它数学问题中的综合与应用。
同步练习
1.5导数的综合应用
【选择题】
某物体作s=2(1-t)2的直线运动,则t=0.8s时的瞬时速度为
A.4
B.-4
c-4.8
D-0.8
2.已知函数f(x)=x4-4x3+10x2,则方程f(x)=0在区间[1,2]上的根有
A.3个
B.2个
c.1个
D.0个
3.若f是在(-L,L)内的可导的偶函数,且不恒为0,则
(
)
(A)必定是(-L,L)内的偶函数
(B)必定是(-L,L)内的奇函数
(c)必定是(-L,L)内的非奇非偶函数
(D)可能是(-L,L)内的奇函数,可能是偶函
4.已知的值是
(
)
A.
B.0
c.8
D.不存在
【填空题】
5.曲线y=上的点到直线2x-y+3=0的最短距离为
6设底为等边三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为________
简答.提示:
1-4.DDBc;
2.(x)=4x(x2-3x+5)在[1,2]上,(x)>0,
∴f(x)在[1,2]上单调递增.∴f(x)≥f
(1)=7.
∴f(x)=0在[1,2]上无根.答案:
D
3.由f=f,求导得.
4.,
5.
;
6.设底面边长为x,则高为h=,
∴S表=3×x+2×x2=+x2
∴S′=-+x令S′=0,得x=.答案:
【解答题】
7.
已知x∈R,求证:
ex≥x+1.
证明:
设f(x)=ex-x-1,则f′(x)=ex-1.
∴当x=0时,f′(x)=0,f(x)=0.
当x>0时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.∴f(x)>f(0)=0.
当x<0时,f′(x)<0,f(x)在(-∞,0)上是减函数,∴f(x)>f(0)=0.
∴对x∈R都有f(x)≥0.∴ex≥x+1.
8.(XX江西)已知函数在与时都取得极值.
(1)求、的值及函数f的单调区间;
(2)若对x∈[-1,2],不等式f<c2恒成立,求c的取值范围.
解:
f/=3x2-x-2=,函数f的单调区间如下表:
f/
f
极大值
极小值
所以函数f的递增区间为与;
递减区间为.
9.(XX重庆)已知函数f=ex,其中b,c∈R为常数。
(Ⅰ)若b2>4,讨论函数f的单调性;
(Ⅱ)若,且,试证:
。
解(I)求导得f/=[x2+x+b+e]ex
∵b2>4故方程f/=0即x2+x+b+e=0有两个实根
令f/>0,解得x<x1,或x>x2.
又令f/<0,解得x1<x<x2.
故当x∈时,f是增函数,x∈时,f也是函数,当x∈时,f是减函数。
(II)易知
∴
∴由已知条件得
解得
0.已知函数f=x+x,数列|x|的第一项x=1,以后各项按如下方式取定:
曲线x=f在处的切线与经过(0,0)和(x,f)两点的直线平行(如图).
求证:
当n时,
x
(Ⅱ)
证明:
(I)因为
所以曲线在处的切线斜率
因为过和两点的直线斜率是
所以.
(II)因为函数当时单调递增,
而
,
所以,即
因此
又因为令则
因为所以
因此故
【探索题】已知函数f=f的导函数是
对任意两个不相等的正数,证明:
当时,
证法一:
由,得
∴
下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立
即证成立
∵
设,则
令得,列表如下:
极小值
∴
∴对任意两个不相等的正数,恒有
证法二:
由,得
∴
∵是两个不相等的正数
∴
设,
则,列表:
极小值
∴
即
∴
即对任意两个不相等的正数,恒有
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学 导数 综合 应用 上课 学习 教案 18
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)