第一章 11112 集合间的基本关系.docx
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第一章11112集合间的基本关系
1.1.2 集合间的基本关系
预习课本P6~7,思考并完成以下问题
[预习导入]
(1)集合与集合之间有什么关系?
怎样表示集合间这些关系?
(2)集合的子集指什么?
真子集又是什么?
如何用符号表示?
(3)空集是什么样的集合?
空集和其他集合间具有什么关系?
1.子集的概念
定义
一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集
记法
与读法
记作A⊆B(或B⊇A),读作“A含于B”(或“B包含A”)
图示
结论
(1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A.
(2)对于集合A,B,C,若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C
[点睛] “A是B的子集”的含义是:
集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,即任意x∈A都能推出x∈B.
2.集合相等的概念
如果集合A是集合B的子集(A⊆B),且集合B是集合A的子集(B⊆A),此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作A=B.
[点睛]
(1)若A⊆B,又B⊆A,则A=B;反之,如果A=B,则A⊆B,且B⊆A.
(2)若两集合相等,则两集合所含元素完全相同,与元素排列顺序无关.
3.真子集的概念
定义
如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,我们称集合A是集合B的真子集
记法
记作AB(或BA)
图示
结论
(1)AB且BC,则AC;
(2)A⊆B且A≠B,则AB
[点睛] 在真子集的定义中,AB首先要满足A⊆B,其次至少有一个x∈B,但x∉A.
4.空集的概念
定义
我们把不含任何元素的集合,叫做空集
记法
∅
规定
空集是任何集合的子集,即∅⊆A
特性
(1)空集只有一个子集,即它的本身,∅⊆∅
(2)A≠∅,则∅A
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)空集中只有元素0,而无其余元素.( )
(2)任何一个集合都有子集.( )
(3)若A=B,则A⊆B.( )
(4)空集是任何集合的真子集.( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)√ (4)×
2.设集合M={1,2,3},N={1},则下列关系正确的是( )
A.N∈M B.N∉M
C.N⊇MD.N⊆M
答案:
D
3.下列四个集合中,是空集的为( )
A.{0}B.{x|x>8,且x<5}
C.{x∈N|x2-1=0}D.{x|x>4}
答案:
B
4.设a∈R,若集合{2,9}={1-a,9},则a=________.
答案:
-1
集合间关系的判断
[例1] 指出下列各对集合之间的关系:
(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}.
(2)A={x|-1 (3)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形}. (4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}. [解] (1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系. (2)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B如图所示,由图可知AB. (3)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故AB. (4)两个集合都表示正奇数组成的集合,但由于n∈N*,因此集合M含有元素“1”,而集合N不含元素“1”,故NM. 判断集合间关系的2种方法 (1)用定义判断. 首先,判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B,若是,则A⊆B,否则A不是B的子集; 其次,判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A,若是,则B⊆A,否则B不是A的子集; 若既有A⊆B,又有B⊆A,则A=B. (2)数形结合判断. 对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍. [活学活用] 1.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是( ) 解析: 选B 解x2-x=0得x=1或x=0,故N={0,1},易得NM,其对应的Venn图如选项B所示. 2.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},用适当的符号填空: (1)A________B; (2)A________C; (3){2}________C;(4)2________C. 解析: 集合A为方程x2-3x+2=0的解集,即A={1,2},而C={x|x<8,x∈N}={0,1,2,3,4,5,6,7}.故 (1)A=B; (2)AC;(3){2}C;(4)2∈C. 有限集合子集的确定 答案: (1)= (2) (3) (4)∈ [例2] (1)集合M={1,2,3}的真子集个数是( ) A.6 B.7 C.8D.9 (2)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个. [解析] (1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个,1个或2个,含有0个为∅,含有1个有3个真子集{1},{2},{3},含有2个元素有3个真子集{1,2},{1,3}和{2,3},共有7个真子集,故选B. (2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5},可以确定集合M必含有元素1,2,且含有元素3,4,5中的至少一个,因此依据集合M的元素个数分类如下: 含有三个元素: {1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}; 含有四个元素: {1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}; 含有五个元素: {1,2,3,4,5}. 故满足题意的集合M共有7个. [答案] (1)B (2)7 1.求集合子集、真子集个数的3个步骤 2.与子集、真子集个数有关的3个结论 假设集合A中含有n个元素,则有: ①A的子集的个数为2n个; ②A的真子集的个数为2n-1个; ③A的非空真子集的个数为2n-2个. [活学活用] 3.已知集合M={x∈Z|1≤x≤m},若集合M有4个子集,则实数m=( ) A.1B.2 C.3D.4 解析: 选B 根据题意,集合M有4个子集,则M中有2个元素,又由M={x∈Z|1≤x≤m},其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数,则m=2. 4.设A,B是全集I={1,2,3,4}的子集,A={1,2},则满足A⊆B的B的个数是( ) A.5B.4 C.3D.2 解析: 选B 满足条件的集合B可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},所以满足A⊆B的B的个数是4.故选B. 由集合间的关系求参数值(或范围) [例3] 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m-6≤x≤2m-1},若A⊆B,求实数m的取值范围. [解] ∵A⊆B, ∴解得 故3≤m≤4. ∴实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}. [一题多变] 1.[变条件]本例中若将“A⊆B”改为“B⊆A”,其他条件不变,求m的取值范围. 解: (1)当B=∅时,m-6>2m-1,即m<-5. 当B≠∅时, 即m∈∅. 故实数m的取值范围是{m|m<-5}. 2.[变条件]本例若将集合A,B分别改为A={3,m2},B={-1,3,2m-1},其他条件不变,求实数m的值. 解: 因为A⊆B,所以m2=2m-1,即(m-1)2=0,所以m=1,当m=1时,B={-1,3,1},A={3,1}满足A⊆B. 由集合间的关系求参数的2种方法 (1)当集合为不连续数集时,常根据集合包含关系的意义,建立方程求解,此时应注意分类讨论思想的运用; (2)当集合为连续数集时,常借助数轴来建立不等关系求解,此时应注意端点处是实点还是虚点. 层级一 学业水平达标 1.已知集合A={2,-1},集合B={m2-m,-1},且A=B,则实数m等于( ) A.2 B.-1 C.2或-1D.4 解析: 选C ∵A=B,∴m2-m=2,∴m=2或m=-1. 2.已知集合A={x|-1-x<0},则下列各式正确的是( ) A.0⊆AB.{0}∈A C.∅∈AD.{0}⊆A 解析: 选D 集合A={x|-1-x<0}={x|x>-1},所以0∈A,{0}⊆A,∅⊆A,D正确. 3.已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则( ) A.A⊆BB.C⊆B C.D⊆CD.A⊆D 解析: 选B 由已知x是正方形,则x必是矩形,所以C⊆B,故选B. 4.已知集合P={x|x2=1},Q={x|ax=1},若Q⊆P,则a的值是( ) A.1B.-1 C.1或-1D.0,1或-1 解析: 选D 由题意,当Q为空集时,a=0;当Q不是空集时,由Q⊆P,a=1或a=-1. 5.已知集合A⊆{0,1,2},且集合A中至少含有一个偶数,则这样的集合A的个数为( ) A.6B.5 C.4D.3 解析: 选A 集合{0,1,2}的子集为: ∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2},其中含有偶数的集合有6个.故选A. 6.集合{(1,2),(-3,4)}的所有非空真子集是____________________. 解析: {(1,2),(-3,4)}的所有真子集有∅,{(1,2)},{(-3,4)},其非空真子集是{(1,2)},{(-3,4)}. 答案: {(1,2)},{(-3,4)} 7.设x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=,则A,B的关系是________. 解析: 因为B=={(x,y)|y=x,且x≠0},故BA. 答案: B A 8.已知集合A={x|x<3},集合B={x|x 解析: 将数集A在数轴上表示出来,如图所示, 要满足A⊆B,表示数m的点必须在表示3的点处或在其右边,故m≥3. 答案: m≥3 9.已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}. (1)若AB,求a的取值范围; (2)若B⊆A,求a的取值范围. 解: (1)若AB,由图可知,a>2. (2)若B⊆A,由图可知,1≤a≤2. 10.设集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且B A,求a的值. 解: ∵B A,∴a2-a+1=3或a2-a+1=a. (1)当a2-a+1=3时,解得a=-1或a=2. 经检验,满足题意. (2)当a2-a+1=a时,解得a=1,此时集合A中的元素1重复,故a=1不合题意. 综上所述,a=-1或a=2为所求. 层级二 应试能力达标 1.设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,则2x+y等于( ) A.0 B.1 C.2D.-1 解析: 选C 由A=B,得x=0或y=0. 当x=0时,x2=0,此时B={0,0},不满足集合中元素的互异性,舍去; 当y=0时,x=x2,则x=0或x=1.由上知x=0不合适,故y=0,x=1,则2x+y=2. 2.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0 A.1B.2 C.3D.4 解析: 选D 因为集合A={1,2},B={1,2,3,4},所以当满足A⊆C⊆B时,集合C可以为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},故集合C有4个. 3.已知集合A={x|x=3k,k∈Z},B={x|x=6k,k∈Z},则A与B之间的关系是( ) A.A⊆BB.A=B C.ABD.AB 解析: 选D 对于x=3k(k∈Z),当k=2m(m∈Z)时,x=6m(m∈Z);当k=2m-1(m∈Z)时,x=6m-3(m∈Z).由此可知AB. 4.已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有两个子集,则a的值是( ) A.1B.-1 C.0,1D.-1,0,1 解析: 选D 因为集合A有且仅有两个子集,所以A仅有一个元素,即方程ax2+2x+a=0(a∈R)仅有一个根. 当a=0时,方程化为2x=0,此时A={0},符合题意.当a≠0时,由Δ=22-4·a·a=0, 即a2=1,故a=±1. 此时A={-1},或A={1},符合题意. 综上所述,a=0,或a=±1. 5.设集合A={1,3,a},B={1,1-2a},且B⊆A,则a的值为________. 解析: 由题意,得1-2a=3或1-2a=a,解得a=-1或a=.当a=-1时,A={1,3,-1},B={1,3},符合题意;当a=时,A=,B=,符合题意.所以a的值为-1或. 答案: -1或 6.已知M={y|y=x2-2x-1,x∈R},N={x|-2≤x≤4},则集合M与N之间的关系是________. 解析: ∵y=(x-1)2-2≥-2, ∴M={y|y≥-2},∴NM. 答案: N M 7.已知A={x∈R|x<-2或x>3},B={x∈R|a≤x≤2a-1},若B⊆A,求实数a的取值范围. 解: ∵B⊆A, ∴B的可能情况有B≠∅和B=∅两种. ①当B≠∅时, ∵B⊆A,∴或成立, 解得a>3; ②当B=∅时,由a>2a-1,得a<1. 综上可知,实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}. 8.设集合A={x|-1≤x+1≤6},B={x|m-1 (1)当x∈Z时,求A的非空真子集的个数; (2)若A⊇B,求m的取值范围. 解: 化简集合A得A={x|-2≤x≤5}. (1)∵x∈Z, ∴A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}, 即A中含有8个元素, ∴A的非空真子集数为28-2=254(个). (2)①当m-1≥2m+1,即m≤-2时,B=∅⊆A; ②当m>-2时, B={x|m-1 因此,要B⊆A, 则只要⇒-1≤m≤2. 综上所述,知m的取值范围是 {m|-1≤m≤2或m≤-2}.
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