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最新小学奥数面积计算综合题型
第十八周面积计算
(一)
专题简析:
计算平面图形的面积时,有些问题乍一看,在已知条件与所求问题之间找不到任何联系,会使你感到无从下手。
这时,如果我们能认真观察图形,分析、研究已知条件,并加以深化,再运用我们已有的基本几何知识,适当添加辅助线,搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”,就会使你顺利达到目的。
有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征,添加一些辅助线,运用平移旋转、剪拼组合等方法,对图形进行恰当合理的变形,再经过分析推导,方能寻求出解题的途径。
图形面积)
简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积,首先要能识别一些特别的图形:
正方形、三角形、平行四边形、梯形等等,然后会计算这些图形的面积.如果我们把这些图形画在方格纸上,不但容易识别,而且容易计算.
上面左图是边长为4的正方形,它的面积是4×4=16(格);右图是3×5的长方形,它的面积是3×5=15(格).
上面左图是一个锐角三角形,它的底是5,高是4,面积是5×4÷2=10(格);右图是一个钝角三角形,底是4,高也是4,它的面积是4×4÷2=8(格).这里特别说明,这两个三角形的高线一样长,钝角三角形的高线有可能在三角形的外面.
上面左图是一个平行四边形,底是5,高是3,它的面积是5×3=15(格);右图是一个梯形,上底是4,下底是7,高是4,它的面积是
(4+7)×4÷2=22(格).
上面面积计算的单位用“格”,一格就是一个小正方形.如果小正方形边长是1厘米,1格就是1平方厘米;如果小正方形边长是1米,1格就是1平方米.也就是说我们设定一个方格的边长是1个长度单位,1格就是一个面积单位.在这一讲中,我们直接用数表示长度或面积,省略了相应的长度单位和面积单位.
一、三角形的面积
用直线组成的图形,都可以划分成若干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是:
三角形面积=底×高÷2.
这个公式是许多面积计算的基础.因此我们不仅要掌握这一公式,而且要会灵活运用.
例1右图中BD长是4,DC长是2,那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢?
解:
三角形ABD与三角形ADC的高相同.
三角形ABD面积=4×高÷2.
三角形ADC面积=2×高÷2.
因此三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍.注意:
三角形的任意一边都可以看作是底,这条边上的高就是三角形的高,所以每个三角形都可看成有三个底,和相应的三条高.
例2右图中,BD,DE,EC的长分别是2,4,2.F是线段AE的中点,三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积.
解:
BC=2+4+2=8.
三角形ABC面积=8×4÷2=16.
我们把A和D连成线段,组成三角形ADE,它与三角形ABC的高相同,而DE长是4,也是BC的一半,因此三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理,EF是AE的一半,三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半.
三角形DFE面积=16÷4=4.
例3右图中长方形的长是20,宽是12,求它的内部阴影部分面积.
解:
ABEF也是一个长方形,它内部的三个三角形阴影部分高都与BE一样长.
而三个三角形底边的长加起来,就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和是
FE×BE÷2,
它恰好是长方形ABEF面积的一半.
同样道理,FECD也是长方形,它内部三个三角形(阴影部分)面积之和是它的面积的一半.
因此所有阴影的面积是长方形ABCD面积的一半,也就是
20×12÷2=120.
通过方格纸,我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线,把每个三角形分成两个直角三角形后,图中每个直角三角形都是某个长方形的一半,而长方形ABCD是由这若干个长方形拼成.因此所有这些直角三角形(阴影部分)的面积之和是长方形ABCD面积的的一半.
例4右图中,有四条线段的长度已经知道,还有两个角是直角,那么四边形ABCD(阴影部分)的面积是多少?
解:
把A和C连成线段,四边形ABCD就分成了两个,三角形ABC和三角形ADC.
对三角形ABC来说,AB是底边,高是10,因此
面积=4×10÷2=20.
对三角形ADC来说,DC是底边,高是8,因此
面积=7×8÷2=28.
四边形ABCD面积=20+28=48.
这一例题再一次告诉我们,钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面.
例5在边长为6的正方形内有一个三角形BEF,线段AE=3,DF=2,求三角形BEF的面积.
解:
要直接求出三角形BEF的面积是困难的,但容易求出下面列的三个直角三角形的面积
三角形ABE面积=3×6×2=9.
三角形BCF面积=6×(6-2)÷2=12.
三角形DEF面积=2×(6-3)÷2=3.
我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出:
三角形BEF面积=6×6-9-12-3=12.
例6在右图中,ABCD是长方形,三条线段的长度如图所示,M是线段DE的中点,求四边形ABMD(阴影部分)的面积.
解:
四边形ABMD中,已知的太少,直接求它面积是不可能的,我们设法求出三角形DCE与三角形MBE的面积,然后用长方形ABCD的面积减去它们,由此就可以求得四边形ABMD的面积.
把M与C用线段连起来,将三角形DCE分成两个三角形.三角形DCE的面积是7×2÷2=7.
因为M是线段DE的中点,三角形DMC与三角形MCE面积相等,所以三角形MCE面积是7÷2=3.5.
因为BE=8是CE=2的4倍,三角形MBE与三角形MCE高一样,因此三角形MBE面积是
3.5×4=14.
长方形ABCD面积=7×(8+2)=70.
四边形ABMD面积=70-7-14=49.
二、有关正方形的问题
先从等腰直角三角形讲起.
一个直角三角形,它的两条直角边一样长,这样的直角三角形,就叫做等腰直角三角形.它有一个直角(90度),还有两个角都是45度,通常在一副三角尺中.有一个就是等腰直角三角形.
两个一样的等腰直角三角形,可以拼成一个正方形,如图(a).四个一样的等腰直角三角形,也可以拼成一个正方形,如图(b).
一个等腰直角三角形,当知道它的直角边长,从图(a)知,它的面积是
直角边长的平方÷2.
当知道它的斜边长,从图(b)知,它的面积是
斜边的平方÷4
例7右图由六个等腰直角三角形组成.第一个三角形两条直角边长是8.后一个三角形的直角边长,恰好是前一个斜边长的一半,求这个图形的面积.
解:
从前面的图形上可以知道,前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形,等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形.因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半,第一个等腰直角三角形的面积是8×8÷2=32.
这一个图形的面积是
32+16+8+4+2+1=63.
例8如右图,两个长方形叠放在一起,小长形的宽是2,A点是大长方形一边的中点,并且三角形ABC是等腰直角三角形,那么图中阴影部分的总面积是多少?
解:
为了说明的方便,在图上标上英文字母D,E,F,G.
三角形ABC的面积=2×2÷2=2.
三角形ABC,ADE,EFG都是等腰直角三角形.
三角形ABC的斜边,与三角形ADE的直角边一样长,因此三角形ADE面积=ABC面积×2=4.
三角形EFG的斜边与三角形ABC的直角边一样长.因此三角形EFG面积=ABC面积÷2=1.
阴影部分的总面积是4+1=5.
例9如右图,已知一个四边形ABCD的两条边的长度AD=7,BC=3,三个角的度数:
角B和D是直角,角A是45°.求这个四边形的面积.
解:
这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE,切掉一个等腰直角三角形BCE.
因为
A是45°,角D是90°,角E是
180°-45°-90°=45°,
所以ADE是等腰直角三角形,BCE也是等腰直角三角形.
四边形ABCD的面积,是这两个等腰直角三角形面积之差,即
7×7÷2-3×3÷2=20.
这是1994小学数学奥林匹克决赛试题.原来试题图上并没有画出虚线三角形.参赛同学是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形.因此做对这道题的人数不多.但是有一些同学,用直线AC把图形分成两个直角三角形,并认为这两个直角三角形是一样的,这就大错特错了.这样做,角A是45°,这一条件还用得上吗?
图形上线段相等,两个三角形相等,是不能靠眼睛来测定的,必须从几何学上找出根据,小学同学尚未学过几何,千万不要随便对图形下结论.我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索.有45°和直角,你应首先考虑等腰直角三角形.
现在我们转向正方形的问题.
例10在右图11×15的长方形内,有四对正方形(标号相同的两个正方形为一对),每一对是相同的正方形,那么中间这个小正方形(阴影部分)面积是多少?
解:
长方形的宽,是“一”与“二”两个正方形的边长之和,长方形的长,是“一”、“三”与“二”三个正方形的边长之和.
长-宽=15-11=4
是“三”正方形的边长.
宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和,因此
中间小正方形边长=11-4×2=3.
中间小正方形面积=3×3=9.
如果把这一图形,画在方格纸上,就一目了然了.
例11从一块正方形土地中,划出一块宽为1米的长方形土地(见图),剩下的长方形土地面积是15.75平方米.求划出的长方形土地的面积.
解:
剩下的长方形土地,我们已知道
长-宽=1(米).
还知道它的面积是15.75平方米,那么能否从这一面积求出长与宽之和呢?
如果能求出,那么与上面“差”的算式就形成和差问题了.
我们把长和宽拼在一起,如右图.
从这个图形还不能算出长与宽之和,但是再拼上同样的两个正方形,如下图就拼成一个大正方形,这个正方形的边长,恰好是长方形的长与宽之和.
可是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形,仔细观察一下,就会发现,它的边长,恰好是长方形的长与宽之差,等于1米.
现在,我们就可以算出大正方形面积:
15.75×4+1×1=64(平方米).
64是8×8,大正方形边长是8米,也就是说长方形的
长+宽=8(米).
因此
长=(8+1)÷2=4.5(米).
宽=8-4.5=3.5(米).
那么划出的长方形面积是
4.5×1=4.5(平方米).
例12如右图.正方形ABCD与正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的边长是6,求三角形AEG(阴影部分)的面积.
解:
四边形AECD是一个梯形.它的下底是AD,上底是EC,高是CD,因此
四边形AECD面积=(小正方形边长+大正方形边长)×大正方形边长÷2
三角形ADG是直角三角形,它的一条直角边长DG=(小正方形边长+大正方形边长),因此
三角形ADG面积=(小正方形边长+大正方形边长)×大正方形边长÷2.
四边形AECD与三角形ADG面积一样大.四边形AHCD是它们两者共有,因此,三角形AEH与三角形HCG面积相等,都加上三角形EHG面积后,就有
阴影部分面积=三角形ECG面积
=小正方形面积的一半
=6×6÷2=18.
十分有趣的是,影阴部分面积,只与小正方形边长有关,而与大正方形边长却没有关系.
三、其他的面积
这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧.有些例题看起来不难,但可以给你启发的内容不少,请读者仔细体会.
例13画在方格纸上的一个用粗线围成的图形(如右图),求它的面积.
解:
直接计算粗线围成的面积是困难的,我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算.
周围小正方形有3个,面积为1的三角形有5个,面积为1.5的三角形有1个,因此围成面积是
4×4-3-5-1.5=6.5.
例6与本题在解题思路上是完全类同的.
例14下图中ABCD是6×8的长方形,AF长是4,求阴影部分三角形AEF的面积.
解:
三角形AEF中,我们知道一边AF,但是不知道它的高多长,直接求它的面积是困难的.如果把它扩大到三角形AEB,底边AB,就是长方形的长,高是长方形的宽,即BC的长,面积就可以求出.三角形AEB的面积是长方形面积的一半,而扩大的三角形AFB是直角三角形,它的两条直角边的长是知道的,很容易算出它的面积.因此
三角形AEF面积=(三角形AEB面积)-(三角形AFB面积)
=8×6÷2-4×8÷2
=8.
这一例题告诉我们,有时我们把难求的图形扩大成易求的图形,当然扩大的部分也要容易求出,从而间接地解决了问题.前面例9的解法,也是这种思路.
例15下左图是一块长方形草地,长方形的长是16,宽是10.中间有两条道路,一条是长方形,一条是平行四边形,那么有草部分的面积(阴影部分)有多大?
解:
我们首先要弄清楚,平行四边形面积有多大.平行四边形的面积是底×高.从图上可以看出,底是2,高恰好是长方形的宽度.因此这个平行四边形的面积与10×2的长方形面积相等.
可以设想,把这个平行四边形换成10×2的长方形,再把横竖两条都移至边上(如前页右图),草地部分面积(阴影部分)还是与原来一样大小,因此
草地面积=(16-2)×(10-2)=112.
例16右图是两个相同的直角三角形叠在一起,求阴影部分的面积.
解:
实际上,阴影部分是一个梯形,可是它的上底、下底和高都不知道,不能直接来求它的面积.
阴影部分与三角形BCE合在一起,就是原直角三角形.你是否看出,ABCD也是梯形,它和三角形BCE合在一起,也是原直角三角形.因此,梯形ABCD的面积与阴影部分面积一样大.梯形ABCD的上底BC,是直角边AD的长减去3,高就是DC的长.因此阴影部分面积等于
梯形ABCD面积=(8+8-3)×5÷2=32.5.
上面两个例子都启发我们,如何把不容易算的面积,换成容易算的面积,数学上这叫等积变形.要想有这种“换”的本领,首先要提高对图形的观察能力.
例17下图是两个直角三角形叠放在一起形成的图形.已知AF,FE,EC都等于3,CB,BD都等于4.求这个图形的面积.
解:
两个直角三角形的面积是很容易求出的.
三角形ABC面积=(3+3+3)×4÷2=18.
三角形CDE面积=(4+4)×3÷2=12.
这两个直角三角形有一个重叠部分--四边形BCEG,只要减去这个重叠部分,所求图形的面积立即可以得出.
因为AF=FE=EC=3,所以AGF,FGE,EGC是三个面积相等的三角形.
因为CB=BD=4,所以CGB,BGD是两个面积相等的三角形.
2×三角形DEC面积
=2×2×(三角形GBC面积)+2×(三角形GCE面积).
三角形ABC面积
=(三角形GBC面积)+3×(三角形GCE面积).
四边形BCEG面积
=(三角形GBC面积)+(三角形GCE面积)
=(2×12+18)÷5
=8.4.
所求图形面积=12+18-8.4=21.6.
例18如下页左图,ABCG是4×7长方形,DEFG是2×10长方形.求三角形BCM与三角形DEM面积之差.
解:
三角形BCM与非阴影部分合起来是梯形ABEF.三角形DEM与非阴影部分合起来是两个长方形的和.
(三角形BCM面积)-(三角形DEM面积)
=(梯形ABEF面积)-(两个长方形面积之和
=(7+10)×(4+2)÷2-(4×7+2×10)
=3.
例19上右图中,在长方形内画了一些直线,已知边上有三块面积分别是13,35,49.那么图中阴影部分的面积是多少?
解:
所求的影阴部分,恰好是三角形ABC与三角形CDE的公共部分,而面积为13,49,35这三块是长方形中没有被三角形ABC与三角形CDE盖住的部分,因此
(三角形ABC面积)+(三角形CDE面积)+(13+49+35)
=(长方形面积)+(阴影部分面积).
三角形ABC,底是长方形的长,高是长方形的宽;三角形CDE,底是长方形的宽,高是长方形的长.因此,三角形ABC面积,与三角形CDE面积,都是长方形面积的一半,就有
阴影部分面积=13+49+35=97.
例题1。
已知图18-1中,三角形ABC的面积为8平方厘米,AE=ED,BD=
BC,求阴影部分的面积。
【思路导航】阴影部分为两个三角形,但三角形AEF的面积无法直接计算。
由于AE=ED,连接DF,可知S△AEF=S△EDF(等底等高),采用移补的方法,将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。
因为BD=
BC,所以S△BDF=2S△DCF。
又因为AE=ED,所以S△ABF=S△BDF=2S△DCF。
因此,S△ABC=5S△DCF。
由于S△ABC=8平方厘米,所以S△DCF=8÷5=1.6(平方厘米),则阴影部分的面积为1.6×2=3.2(平方厘米)。
练习1
1、如图18-2所示,AE=ED,BC=3BD,S△ABC=30平方厘米。
求阴影部分的面积。
2、如图18-3所示,AE=ED,DC=
BD,S△ABC=21平方厘米。
求阴影部分的面积。
3、
如图18-4所示,DE=
AE,BD=2DC,S△EBD=5平方厘米。
求三角形ABC的面积。
例题2。
两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形,如图18-5所示,已知两个三角形的面积,求另两个三角形的面积各是多少?
【思路导航】已知S△BOC是S△DOC的2倍,且高相等,可知:
BO=2DO;从S△ABD与S△ACD相等(等底等高)可知:
S△ABO等于6,而△ABO与△AOD的高相等,底是△AOD的2倍。
所以△AOD的面积为6÷2=3。
因为S△ABD与S△ACD等底等高所以S△ABO=6
因为S△BOC是S△DOC的2倍所以△ABO是△AOD的2倍
所以△AOD=6÷2=3。
答:
△AOD的面积是3。
练习2
1、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形,(如图18-6所示),已知两个三角形的面积,求另两个三角形的面积是多少?
2、已知AO=
OC,求梯形ABCD的面积(如图18-7所示)。
3、
已知三角形AOB的面积为15平方厘米,线段OB的长度为OD的3倍。
求梯形ABCD的面积。
(如图18-8所示)。
例题3。
四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分,且四边形AECF的面积为15平方厘米。
求四边形ABCD的面积(如图18-9所示)。
【思路导航】由于E、F三等分BD,所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形,它们的面积相等。
同理,三角形BEC、CEF、CFD的面积也相等。
由此可知,三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍,三角形BCD的面积是三角形CEF面积的3倍,从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍。
15×3=45(平方厘米)
答:
四边形ABCD的面积为45平方厘米。
练习3
1、四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分,且四边形AECG的面积为15平方厘米。
求四边形ABCD的面积(如图18-10)。
2、已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分,且阴影部分面积为15平方厘米。
求四边形ABCD的面积(如图18-11所示)。
3、如图18-12所示,求阴影部分的面积(ABCD为正方形)。
例题4。
如图18-13所示,BO=2DO,阴影部分的面积是4平方厘米。
那么,梯形ABCD的面积是多少平方厘米?
【思路导航】因为BO=2DO,取BO中点E,连接AE。
根据三角形等底等高面积相等的性质,可知S△DBC=S△CDA;S△COB=S△DOA=4,类推可得每个三角形的面积。
所以,
S△CDO=4÷2=2(平方厘米)S△DAB=4×3=12平方厘米
S梯形ABCD=12+4+2=18(平方厘米)
答:
梯形ABCD的面积是18平方厘米。
练习4
1、如图18-14所示,阴影部分面积是4平方厘米,OC=2AO。
求梯形面积。
2、已知OC=2AO,S△BOC=14平方厘米。
求梯形的面积(如图18-15所示)。
3、
已知S△AOB=6平方厘米。
OC=3AO,求梯形的面积(如图18-16所示)。
O
例题5。
如图18-17所示,长方形ADEF的面积是16,三角形ADB的面积是3,三角形ACF的面积是4,求三角形ABC的面积。
【思路导航】连接AE。
仔细观察添加辅助线AE后,使问题可有如下解法。
由图上看出:
三角形ADE的面积等于长方形面积的一半(16÷2)=8。
用8减去3得到三角形ABE的面积为5。
同理,用8减去4得到三角形AEC的面积也为4。
因此可知三角形AEC与三角形ACF等底等高,C为EF的中点,而三角形ABE与三角形BEC等底,高是三角形BEC的2倍,三角形BEC的面积为5÷2=2.5,所以,三角形ABC的面积为16-3-4-2.5=6.5。
练习5
1、如图18-18所示,长方形ABCD的面积是20平方厘米,三角形ADF的面积为5平方厘米,三角形ABE的面积为7平方厘米,求三角形AEF的面积。
2、如图18-19所示,长方形ABCD的面积为20平方厘米,S△ABE=4平方厘米,S△AFD=6平方厘米,求三角形AEF的面积。
3、如图18-20所示,长方形ABCD的面积为24平方厘米,三角形ABE、AFD的面积均为4平方厘米,求三角形AEF的面积。
答案:
练1
1、30÷5×2=12平方厘米
2、21÷7×3=9平方厘米
3、5×3÷
=22
平方厘米
练2
1、4÷2=28÷2=4
2、8×2=1616+8×2+4=36
在我们学校大约有4000多名学生,其中女生约占90%以上。
按每十人一件饰品计算,大概需要360多件。
这对于开设饰品市场是很有利的。
女生成为消费人群的主体。
3、15×3=4515+5+15+45=80
练3
1、
2、大学生个性化消费增多是一种趋势。
当前社会、经济飞速发展,各种新的消费品不断增多,流行文化时尚飞速变化,处于校园与社会两者之间的大学生肯定会受影响。
目前在大学校园,电脑、手机、CD、MP3、录音笔被称为大学生的“五件武器”。
除了实用,这也是一种表明自己生活优越的炫耀性的东西。
现下很大一部分大学生中的“负债消费”表现的典型的超前享乐和及时行乐——其消费项目多半是用于奢侈浪费的非必要生活消耗。
如举办生日宴会、打网球、保龄球、上舞厅跳舞、进夜总会唱“卡拉OK”等。
“负债消费”使很多学生耽于物欲,发展严重者轻则引起经济纠纷,动武斗殴,影响同窗友谊,重则引发犯罪事件,于社会治安不利。
15×2=30平方厘米
3、15×4=60平方厘米
4、
5、我们认为:
创业是一个整
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