浅谈中学数学不等式的证明方法.docx
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浅谈中学数学不等式的证明方法
本科生毕业论文
学院数学与计算机科学学院
专业数学与应用数学
届别2015届
题目浅谈中学数学不等式的证明方法
学生姓名徐亚娟
学号201111401138
指导教师吴万勤
教务处制
云南民族大学毕业论文(设计)原创性声明
本人郑重声明:
所呈交的毕业论文(设计),是本人在指导教师的指导下进行研究工作所取得的成果。
除论文中已经注明引用的内容外,本论文没有抄袭、剽窃他人已经发表的研究成果。
本声明的法律结果由本人承担。
毕业论文(设计)作者签名:
日期:
年月日
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关于毕业论文(设计)使用授权的说明
本人完全了解云南民族大学有关保留、使用毕业论文(设计)的规定,即:
学校有权保留、送交论文的复印件,允许论文被查阅,学校可以公布论文(设计)的全部或部分内容,可以采用影印或其他复制手段保存论文(设计)。
(保密论文在解密后应遵守)
指导教师签名:
论文(设计)作者签名:
日期:
年月日
浅谈中学数学不等式的证明方法
徐亚娟
云南民族大学数学与计算机科学学院
摘要
在中学数学中不等式是十分重要的内容,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用。
因此不等式的应用体现了一定的综合性、灵活多样性,对数学各部分知识融会贯通,起到了很好的促进作用。
在解决问题时,要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案,最终归结为不等式的求解或证明。
而不等式的证明,方法灵活多样,还和很多内容结合,所以具体问题具体分析是证明不等式的精髓。
不等式的证明问题也是各种思想方法的集中体现,因此难度较大。
解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式,灵活运用常用的证明方法。
在本文中,我总结了一些数学中证明不等式的方法。
在初等数学不等式的证明中常用到的方法是:
比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、换元法、换缩法、判别式法、函数法、几何法等等。
在高等数学不等式的证明中经常利用中值不等式、泰勒公式、拉格朗日函数、以及一些证明不等式,如:
均值不等式、柯西不等式、伯努利不等式等,从而使不等式的证明方法更加的完善,有利于我们进一步探讨和研究不等式的证明,通过学习这些方法,可以为我们解决一些实际问题,培养逻辑推理论证能力和抽象思维能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯。
【1】
【关键词】中学数学;不等式;证明方法;函数
Abstract
Inthemiddleschoolinequalitiesareveryimportantcontent,penetrationinthemiddleschoolmathematicsbranches,hasaverywiderangeofapplications.Sotheinequalityreflectsthecomprehensiveapplication,certainflexibilityanddiversity,masteryofmathematicsknowledgeofeachpart,playedaverygoodroleinpromoting.Insolvingtheproblem,accordingtothequestionssetstructurecharacteristics,andconclusioninnerrelation,selectionoftheappropriatesolution,finallygotosolveorproofofinequality.Buttheinequalityproofmethod,flexible,andalotofcontentcombination,sotheconcreteanalysisofconcreteproblemsistheessenceoftheproofofinequality.Embodimentofprovinginequalitiesarealsoallkindsofmethodofthinking,sodifficult.Thewaytosolvethisproblemistomasterthenatureofinequalityandsomebasicinequalities,flexibilityintheuseofcommonlyusedmethodsofproof.Inthispaper,Isummarizedsomemathematicalinequalityproofmethods.Methodsintheelementarymathematicalproofinequalitytothecommonlyusedare:
thecomparativemethod,forcommercial,analysis,synthesismethod,mathematicalinductionmethod,reductiontoabsurdity,changeelementmethod,changetheshrinkagemethod,thediscriminantmethod,functionmethod,geometricmethodandsoon.Inequalityinhighermathematicsproofisusuallyusedinthemeanvalueinequality,Taylorformula,Lagrangefunction,aswellassomeproofofinequality,suchas:
meaninequality,Cauchyinequality,Bernoulliinequality,thusmakingthemethodtoproveinequalitymoreperfect,isfavorableforustofurtherexploreandresearchproofofinequality,throughthestudyofthesemethods,wecantosolvesomepracticalproblems,developlogicalreasoningabilityandabstractthinkingabilityanddevelopdiligentinthinking,goodatthinkingofgoodlearninghabits.
Keywords:
Middleschoolmathematics;Inequality;Theproofmethod;Function
引言
众所周知,在自然界中存在着大量的不等量关系,不等关系是基本的数学关系,在数学研究和数学应用中起着重要的作用。
因此,研究不等式的证明方法显得尤为重要,许多前辈在此领域取得了非常好的成绩,得出了许多证明不等式的方法,在他们的成绩基础上,本文对各种方法进行了归纳与总结。
证明不等式的方法灵活多样,内容丰富、技巧性较强。
所以我们在证明不等式时要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点。
通过等式或不等式的运算,将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式,从而使原不等式得到证明;反之亦可从明显的、熟知的不等式入手,经过一系列的运算而导出待证的不等式,前者是“执果索因”,后者是“由因导果”,两者为沟通、联系的途径,证明时往往联合使用分析综合法,两面夹击,相辅相成,达到欲证的目的。
【2】
通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用,使数学知识间相互融合,得到全面透彻的理解,从而提高分析问题解决问题的能力。
在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中,提高学生数学素质及创新意。
1、预备知识
1.1不等式的概念
用不等号(如“≥”、“≤”、“>”、“<”等)连接两个代数式而成的式子叫做不等式.其中用“>”或“<”连接的式子叫严格不等式;用“≤”或“≥”连接的不等式叫做非严格不等式。
[3]
1.2不等式的性质
性质1:
如果a>b,b>c,那么a>c.(不等式的传递性).
性质2:
如果x>y,那么y
性质3:
如果a>b,而c为任意实数或整数,那么a+c>b+c(不等式的可加性).
性质4:
如果a>b,c>0,那么ac>bc;
性质5:
如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.
性质6:
如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
性质7:
如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn.
性质8:
a>b>01/a<1/b(倒数原则)
性质9:
含绝对值不等式的性质:
(1)∣a∣+∣b∣≥∣a+b∣
(2)∣a∣-∣b∣≤∣a+b∣
(3)∣a∣-∣b∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣
1.3基本不等式
(1)若a,b∈R,a2+b2≥2ab,且a=b等号成立.
(2)若a,b>0,则(a+b)/2≥
当且仅当a=b时,等号成立.
(3)若a,b,c∈R,则(a+b+c)/3≥
当且仅当a=b=c时,等号成立。
推广到n个正数x1,x2,x3,x4,…xn,(x1+x2+x3+...+xn)/n≥
当且仅当x1=x2=x3=x4…=xn时,等号成立。
1.4几个重要不等式
1.4.1柯西不等式
(1)二维形式
若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立。
(2)三角不等式:
x1,y1,x2,y2∈R,那么
+
≥
(3)柯西不等式的一般形式:
设a1,a2,a3,…an,b1,b2,b3…bn是实数,则
(a12+a22+a32+…+an2)(b12+b22+b32+…bn2)≥(a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn)2,
当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个实数k使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立。
1.4.2伯努利不等式
对任意整数n≥0任意实数x>-1,有(1+x)n≥1+nx成立;如果n≥0是偶数,则不等式对任意实数x都成立。
可以看到在n=0,1或x=0时等号成立,而对任意正整数n≥2和任意实数x≥-1,x≠0,有严格不等式:
(1+x)n>1+nx.
伯努利不等式的一般式为:
(1+x1+x2+x3+…+xn)≤(1+x1)(1+x2)(1+x3)…(1+xn)当且仅当n=1时等号成立。
[4]
2、证明不等式的常用方法
不等式的证明没有固定的程序,证法因题而异,灵活多样,技巧性强,其基本的手法是应用定义及其基本性质,并通过代数变换予以论证。
[5]
2.1比较法
比较两个式子的大小,求差法、求商法与过度比较法都是最基本最常用的方法。
2.1.1求差法
理论依据是不等式的基本性质:
“若a-b≥0,则a≥b;若a-b≤0,则a≤b”.
其一般步骤为:
①作差:
观察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体;
②变形:
把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的乘积,或变形为一个或几个平方的和,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段。
③判断:
根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论。
应用范围:
当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时。
例1求证:
x2+3>3x
证:
∵(x2+3)-3x=x2-3x+(3/2)2-(3/2)2+3=(x-2/3)2+3/4>0
∴x2+3>3x
2.1.2求商法
理论依据:
“若a,bR+,a/b≥1,则a≥b;若a/b≤1,则a≤b”.
一般步骤为:
①作商:
将左右两端作商;
②变形:
化简商式到最简形式;
③判断商与1的大小关系,就是判定商大于1或小于1.
应用范围:
当被证的不等式两端含有幂、指数式时。
例2若a>2,求证㏒(a-1)a>㏒a(a+1)
证:
∵a>2
∴㏒a(a-1)>0㏒a(a+1)>0
∴㏒(a-1)a/㏒a(a+1)=1/㏒a(a-1)/㏒a(a+1)=1/[㏒a(a-1)×㏒a(a+1)]
∵[㏒a(a-1)]×[㏒a(a+1)]≤{[㏒a(a-1)+㏒a(a+1)]/2}2=[㏒a(a2-1)]2/4
<(㏒aa2)2/4=1
∴㏒(a-1)a/㏒a(a+1)>1
故命题得证。
说明:
观察不等式的特点,a充当了真数和底,联想到㏒an=1/㏒na,进而用了作商法,作商比较法的变形主要是利用某些运算性质和性质,如函数的单调性等。
2.1.3过度比较法
若要比较的几个数能与某已知数相比较,则可利用这个已知数作媒介进行比较。
例3比较㏒0.60.5与㏒0.50.6的大小
分析:
㏒0.60.5的底数大于0而小于1,真数也是大于0而小于1,那么㏒0.60.5>0;㏒0.50.6也是一个大于0的数。
针对这类体型我们选取的媒介往往是0或1,而这题我们选取介数1就可以进行比较了。
解:
∵㏒0.60.5>㏒0.60.6=1
㏒0.50.6<㏒0.50.5=1
∴㏒0.50.6<㏒0.60.5
2.2分析法
1.证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的条件,把证明这个不等式转化为判定这些条件是否成立的问题。
如果能够肯定这些条件都已成立,那么就可以断定原不等式成立。
这种证明方法通常叫做分析法。
2.用分析法证明不等式的逻辑关系是:
BB1B2B3…BnA
3.分析法的思想:
执果索因
4.分析法的书写格式:
要证明命题B为真,只需证明命题B1为真,从而有…
这只需要证明命题B2为真,从而又有…
…
这只需要证明命题A为真。
而已知命题A为真,故命题B必为真。
例4
+
<
证:
因为
+
和
都是正数
所以为了证明
只需证明(
+
)2<(2
)2即可
展开得10+2
<20,即2
<10,21<25
因为21<25成立,所以(
+
)2<(2
)2成立,即证明了
.
2.3综合法
1.综合法是利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不
等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法通常叫做综合法。
2.用综合法证明不等式的逻辑关系:
AB1B2B3B4…BnB
3.综合法的思维特点是:
由因导果,即由已知知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法。
例5已知a,b,c都是正数,且a,b,c成等比数列,求证a2+b2+c2>(a-b+c)2
证:
左-右=2(ab+bc-ac)
∵a,b,c成等比数列
∴b2=ac
∵a,b,c都是正数,所以b>0,且b=
≤(a+c)/2 ∴a+c>b ∴2(ab+bc-ac)=2(ab+bc-b2)=2b(a+c-b)>0 ∴a2+b2+c2>(a-b+c)2 说明: 此题在证明过程中应用了比较法、基本不等式、等比中项性质,体现了综合法证明不等式的特点。 2.4缩放法 所谓放缩法就是利用不等式的传递性,对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程,在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”,否则就不能同向传递了,此法既可以单独用来证明不等式,也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。 2.4.1放缩法的常见技巧 (1)舍掉(或加进)一些项。 (2)在分式中放大或缩小分子或分母。 (3)应用基本不等式放缩。 (4)应用函数的单调性进行放缩。 (5)根据题目条件进行放缩。 例6求证: 1/12+1/22+1/32+1/42+…+1/n2<2 证: ∵1/n2<1/n(n-1)=1/(n-1)-1/n ∴1/12+1/22+1/32+1/42+…+1/n2<1+1-1/2+1/2-1/3+1/3+…+1/(n-1)-1/n=2-1/n<2 2.5反推法 前面讲的方法,属于不等式的直接证法。 也就是说,有题设出发,经一系列的逻辑推理,得到要证的结果。 但对于一些复杂的不等式,有时就难于直接入手得证,可以用间接的方法。 常用的方法有反推法与反证法。 所谓反推法就是先假定要证的结果。 假设要证的不等式是成立的,然后由它出发推出一系列与之等价的不等式(即要求推理过程的每一步可逆),直到得到一个较容易证明的不等式或者一个明显成立的不等式。 由于等价性,从最后的不等式成立,得知原不等式成立。 这就是通常所说的分析法。 其特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”。 例7已知a,b是不相等的正实数,且a3-b3=a2-b2,求证:
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