高考大一轮总复习12命题及其关系充分条件与必要条件.docx
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高考大一轮总复习12命题及其关系充分条件与必要条件
§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
考纲展示► 1.理解命题的概念.
2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.
3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.
考点1 命题及其相互关系
1.命题
概念
使用语言、符号或者式子表达的,可以判断________的陈述句
特点
(1)能判断真假;
(2)陈述句
分类
________命题、________命题
答案:
真假 真 假
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系:
(2)四种命题中真假性的等价关系:
原命题等价于________,原命题的否命题等价于________.在四种形式的命题中真命题的个数只能是________.
答案:
(1)若q,则p 若綈p,则綈q 若綈q,则綈p
(2)逆否命题 逆命题 0,2,4
(1)[教材习题改编]命题“若m<0,则方程x2+x-2m=0有实根”的否命题是_______________________________________________.
答案:
若m≥0,则方程x2+x-2m=0无实根
(2)[教材习题改编]“若a,b都是偶数,则ab必是偶数”的逆否命题为___________________________________________________.
答案:
若ab不是偶数,则a,b不都是偶数
命题中的易错点:
对条件、结论的否定不当.
“单调函数不是周期函数”的逆否命题是__________________
_________________________________________________________.
答案:
周期函数不是单调函数
解析:
原命题可改写为“若函数是单调函数,则函数不是周期函数”,故其逆否命题是“若函数是周期函数,则函数不是单调函数”,简化为“周期函数不是单调函数”.
[典题1]
(1)命题“若a>b,则a-1>b-1”的否命题是( )
A.若a>b,则a-1≤b-1
B.若a>b,则a-1
C.若a≤b,则a-1≤b-1
D.若a
[答案] C
[解析] 根据否命题的定义可知,命题“若a>b,则a-1>b-1”的否命题应为“若a≤b,则a-1≤b-1”.
(2)[2017·宁夏银川模拟]命题“若x2+y2=0,x,y∈R,则x=y=0”的逆否命题是( )
A.若x≠y≠0,x,y∈R,则x2+y2=0
B.若x=y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠0
C.若x≠0且y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠0
D.若x≠0或y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠0
[答案] D
[解析] 将原命题的条件和结论否定,并互换位置即可.由x=y=0知x=0且y=0,其否定是x≠0或y≠0.
(3)已知:
命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( )
A.否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”,是真命题
B.逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”,是假命题
C.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”,是真命题
D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题
[答案] D
[解析] 由f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则f′(x)=ex-m≥0恒成立,∴m≤1.
∴命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”是真命题,
∴其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题.
[点石成金] 1.写一个命题的其他三种命题时,需注意:
(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;
(2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.
2.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例即可.
3.根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.考点2 充分条件、必要条件的判定
充要条件
答案:
充分 必要 充分不必要 真子集 必要不充分 真子集 充要 A=B 既不充分也不必要 包含
1.充要条件的易混点:
混淆条件的充分性和必要性.
“x(x-1)=0”是“x=1”的________条件.
答案:
必要不充分
解析:
x(x-1)=0⇒x=0或x=1;反之,由x=1可得x(x-1)=0.故“x(x-1)=0”是“x=1”的必要不充分条件.
2.充要条件的易错点:
否定形式下充分条件、必要条件判断错误.
“a≠b”是“a2≠b2”的________条件.
答案:
必要不充分
解析:
由a≠b不能得到a2≠b2,但由a2≠b2一定得出a≠b,故为必要不充分条件.
1.充分、必要条件的判断方法:
定义判断法;集合判断法.
(1)[2014·浙江卷改编]设四边形ABCD的两条对角线分别为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件.
答案:
充分不必要
解析:
若四边形ABCD为菱形,则AC⊥BD;反之,若AC⊥BD,则四边形ABCD不一定为菱形.故“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.
(2)[2015·安徽卷改编]设p:
x<3,q:
-1<x<3,则p是q成立的________条件.
答案:
必要不充分
解析:
因为p:
x<3,q:
-1<x<3,所以q⇒p,但p
q,所以p是q成立的必要不充分条件.
2.充要条件的两个结论:
传递性;等价性.
(1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r的________条件.
答案:
充分不必要
解析:
根据充分条件的概念可知,p⇒q,q⇒r,则p⇒r.又因为q
p,r
q,则r
p,所以p是r的充分不必要条件.
(2)若p是q的充分不必要条件,则綈q是綈p的________条件
答案:
充分不必要
解析:
因为原命题和它的逆否命题是等价命题,所以綈q是綈p的充分不必要条件.
[典题2]
(1)设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] |x-2|<1⇔1
由于{x|1
所以“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分不必要条件.
(2)若p是綈q的充分不必要条件,则綈p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] ∵p是綈q的充分不必要条件,
∴綈q是p的必要不充分条件.
∴綈p是q的必要不充分条件,故选B.
(3)已知a,b∈R,下列四个条件中,使a>b成立的必要不充分的条件是( )
A.a>b-1B.a>b+1
C.|a|>|b|D.2a>2b
[答案] A
[解析] 因为a>b⇒a>b-1,但a>b-1⇒/a>b,故A是a>b的必要不充分条件;B是a>b的充分不必要条件;C是a>b的既不充分也不必要条件;D是a>b的充要条件.
[点石成金] 充要条件的三种判断方法
(1)定义法:
根据p⇒q,q⇒p进行判断.
(2)集合法:
根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法:
根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,常用的是逆否等价法.如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件,即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的某种条件.
①綈q是綈p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件;
②綈q是綈p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件;
③綈q是綈p的充要条件⇔p是q的充要条件.
1.[2017·山东淄博模拟]“a=2”是“函数f(x)=x2-2ax-3在区间[2,+∞)上为增函数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:
A
解析:
“a=2”⇒“函数f(x)=x2-2ax-3在区间[2,+∞)上为增函数”,但反之不成立.
2.[2017·河北武邑中学高三上期中]设a,b∈R,则“(a-b)a2≥0”是“a≥b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:
B
解析:
若“(a-b)a2≥0”,则“a≥b”不成立,故“(a-b)a2≥0”不是“a≥b”的充分条件;若“a≥b”,则“(a-b)a2≥0”成立,故“(a-b)a2≥0”是“a≥b”的必要条件,故选B.
考点3 充分条件、必要条件的应用
[典题3]
(1)[2017·江西南昌模拟]已知条件p:
|x-4|≤6;条件q:
(x-1)2-m2≤0(m>0),若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是( )
A.[21,+∞)B.[9,+∞)
C.[19,+∞)D.(0,+∞)
[答案] B
[解析] 条件p:
-2≤x≤10,条件q:
1-m≤x≤m+1,
又因为p是q的充分不必要条件,
所以有
解得m≥9.
(2)已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,则m的取值范围为________.
[答案] [0,3]
[解析] 由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10,
∴P={x|-2≤x≤10},
由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P.
则
∴0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3].
[题点发散1] 本例
(2)条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.
解:
若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,
∴
∴
即不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.
[题点发散2] 本例
(2)条件不变,若綈P是綈S的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
解:
由例题知P={x|-2≤x≤10},
∵綈P是綈S的必要不充分条件,
∴P⇒S且S
P.
∴[-2,10][1-m,1+m],
∴
或
∴m≥9,即m的取值范围是[9,+∞).
[点石成金] 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
1.已知p:
x>1或x<-3,q:
x>a,若q是p的充分不必要条件,则a的取值范围是( )
A.[1,+∞)B.(-∞,1]
C.[-3,+∞)D.(-∞,-3)
答案:
A
解析:
解法一:
设P={x|x>1或x<-3},Q={x|x>a},因为q是p的充分不必要条件,所以QP,因此a≥1.
解法二:
令a=-3,则q:
x>-3,则由命题q推不出命题p,此时q不是p的充分条件,排除B,C;同理,取a=-4,排除D.故选A.
2.已知不等式|x-m|<1成立的充分不必要条件是
,则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案: D 解析: 由|x-m|<1得m-1 又因为|x-m|<1的充分不必要条件是 ,借助数轴,所以 解得- ≤m≤ . [方法技巧] 1.判断四种命题间关系的方法 写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写;在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时,要借助原命题与其逆否命题同真或同假,逆命题与否命题同真或同假来判定. 2.充分、必要条件的判断方法 (1)定义法: 直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假即可. (2)利用集合间的包含关系判断: 设A={x|p(x)},B={x|q(x)},若A⊆B,则p是q的充分条件或q是p的必要条件;若AB,则p是q的充分不必要条件;若A=B,则p是q的充要条件. [易错防范] 1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时,必须保留大前提. 2.判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若p,则q”的形式. 3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别,要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的语言. 真题演练集训 1.[2015·山东卷]设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( ) A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0 答案: D 解析: 根据逆否命题的定义,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.故选D. 2.[2015·北京卷]设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,“m∥β”是“α∥β”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案: B 解析: 当m∥β时,过m的平面α与β可能平行也可能相交,因而m∥βD α∥β;当α∥β时,α内任一直线与β平行,因为m⊂α,所以m∥β.综上知,“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件. 3.[2015·重庆卷]“x>1”是“log (x+2)<0”的( ) A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案: B 解析: ∵x>1⇒log (x+2)<0,log (x+2)<0⇒x+2>1⇒x>-1,∴x>1是log (x+2)<0的充分而不必要条件. 4.[2016·四川卷]设p: 实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q: 实数x,y满足 则p是q的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案: A 解析: 取x=y=0满足条件p,但不满足条件q,反之,对于任意的x,y满足条件q,显然必满足条件p,所以p是q的必要不充分条件,故选A. 课外拓展阅读 根据充要条件求参数取值范围的方法 1.解决根据充要条件求参数取值范围的问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的包含、相等关系列出关于参数的不等式(组)求解;有时也采用等价转化思想把复杂、疑难问题转化为简单、熟悉的问题来解决. 2.在解求参数的取值范围的题目时,一定要注意区间端点值的检验,在利用集合关系列不等式时,不等式是否能取到等号直接决定着端点值的取舍,在这里容易增解或漏解. [典例] 已知p: ≤2,q: x2-2x+1-m2≤0(m>0),且綈p是綈q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为________. [答案] [9,+∞) [解析] 解法一: 由 ≤2,得 -2≤x≤10, ∴綈p对应的集合为{x|x>10或x<-2}, 设A={x|x>10或x<-2}. 由x2-2x+1-m2≤0(m>0), 得1-m≤x≤1+m(m>0), ∴綈q对应的集合为{x|x>m+1或x<1-m,m>0}, 设B={x|x>m+1或x<1-m,m>0}. ∵綈p是綈q的必要而不充分的条件,∴BA, ∴ 且不能同时取得等号, 解得m≥9,∴实数m的取值范围为[9,+∞). 解法二: ∵綈p是綈q的必要而不充分条件, ∴q是p的必要而不充分条件, 即p是q的充分而不必要条件. 由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得 1-m≤x≤1+m(m>0). ∴q对应的集合为{x|1-m≤x≤1+m,m>0}, 设M={x|1-m≤x≤1+m,m>0}, 又由 ≤2,得-2≤x≤10, ∴p对应的集合为{x|-2≤x≤10}, 设N={x|-2≤x≤10}. 由p是q的充分而不必要条件知NM, ∴ 且不能同时取等号,解得m≥9. ∴实数m的取值范围为[9,+∞). 本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决.一般地,在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是破解此类问题的关键. 课时跟踪检测 (二) [高考基础题型得分练] 1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 答案: B 解析: 依题意,得原命题的逆命题为: 若一个数的平方是正数,则它是负数. 2.[2017·山东荣成六中高三月考]已知复数z=(a2-4)+(a+2)i(a∈R),则“a=2”是“z为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 答案: D 解析: 当a=2时,z=4i为纯虚数;当z为纯虚数时,a2-4=0,a+2≠0⇒a=2,所以“a=2”是“z为纯虚数”的充要条件,故选D. 3.给出命题: “若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限”.在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中,真命题的个数是( ) A.3B.2 C.1D.0 答案: C 解析: 原命题是真命题,故它的逆否命题是真命题; 它的逆命题为“若函数y=f(x)的图象不过第四象限,则函数y=f(x)是幂函数”,显然逆命题为假命题,故原命题的否命题也为假命题. 因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个. 4.下列结论错误的是( ) A.命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题为“若x≠4,则x2-3x-4≠0” B.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分条件 C.命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆命题为真命题 D.命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0或n≠0” 答案: C 解析: C项命题的逆命题为“若方程x2+x-m=0有实根,则m>0”.若方程有实根,则Δ=1+4m≥0,即m≥- ,不能推出m>0,所以不是真命题,故选C. 5.命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A.a≥4B.a≤4 C.a≥5D.a≤5 答案: C 解析: 命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的充要条件是a≥4,故其充分不必要条件是集合[4,+∞)的真子集.故选C. 6.设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案: C 解析: 由Venn图易知充分性成立. 反之,A∩B=∅时,由Venn图(如图)可知,存在A=C,同时满足A⊆C,B⊆∁UC. 故“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的充要条件. 7.[2017·湖南长沙模拟]已知函数f(x)=x2-2ax+b,则“1 (1) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案: A 解析: 函数f(x)=x2-2ax+b,所以f (1)=1-2a+b,f(3)=9-6a+b,1
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