高中数学 第一讲 坐标系 一 平面直角坐标系成长训练 新人教A版选修44.docx
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高中数学第一讲坐标系一平面直角坐标系成长训练新人教A版选修44
2019-2020年高中数学第一讲坐标系一平面直角坐标系成长训练新人教A版选修4-4
夯基达标
1.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线2x'2+8y'2=1,则曲线C的方程为( )
A.50x2+72y2=1
B.9x2+100y2=1
C.25x2+36y2=1
D.
解析:
将代入曲线方程2x′2+8y′2=1,得2·(5x)2+8·(3y)2=1,即50x2+72y2=1.
答案:
A
2.将曲线x2+y2=1伸缩变换为的伸缩变换公式为( )
A.
B.
C.
D.
解析:
设伸缩变换为代入=1得=1与x2+y2=1比较,得λ2=4,μ2=9.∴λ=2,μ=3.
答案:
A
3.在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换
后的图形.
(1)5x+2y=0;
(2)x2+y2=1.
解:
(1)由伸缩变换
得到①
将①代入5x+2y=0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′+3y′=0.
经过伸缩变换后,直线仍然变成直线.
(2)将①代入x2+y2=1,得到经过伸缩变换后的图形的方程是
=1.
经过伸缩变换后,圆可以变成椭圆.
4.在同一平面直角坐标系中,将曲线x2-36y2-8x+12=0变成曲线x'2-y'2-4x'+3=0,求满足图象变换的伸缩变换.
解:
设伸缩变换为将其代入方程x′2-y′2-4x′+3=0得λ2x2-μ2y2-4λx+3=0.
与方程x2-36y2-8x+12=0比较系数得
∴λ=,μ=3.∴伸缩变换为x′=
5.△ABC中,若BC的长度为4,中线AD的长为3,则A点的轨迹方程是________.
解析:
取B、C所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(-2,0),C(2,0).
设A(x,y),则D(0,0),|AD|=3.
∴x2+y2=9(y≠0).
答案:
x2+y2=9(y≠0)
6.在气象台A正西方向300千米处有一台风中心,它以每小时40千米的速度向东北方向移动,距台风中心250千米以内的地方都要受其影响.问:
从现在起,大约多长时间后,气象台A所在地将遭受台风影响持续多长时间?
解析:
本题的解决如果从题意上考虑,较难入手解决,我们可以考虑通过建立平面直角坐标系来解决.
解:
如图所示,以气象台为坐标原点,正东方向为x轴正方向,建立直角坐标系.则现在台风中心B的坐标为(-300,0).根据题意,可知,t小时后,B1的坐标为(-300+40tcos45°,40tsin45°),即(-300+20t,20t),因为以台风中心为圆心,以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响,所以B1在圆上或圆内时,气象台将受台风影响.
所以令|AB1|≤250,即(-300+20t)2+(20t)2≤2502,整理得16t2-120t+275≤0.
解得
1.99≤t≤8.61.
故大约2小时后,气象台A所在地将遭受台风影响,大约持续6个半小时.
7.如图,已知A、B、C是直线m上的三点,且|AB|=|BC|=6,⊙O'切直线m于点A,又过B、C作⊙O'异于m的两切线,切点分别为D、E,设两切线交于点P,
(1)求点P的轨迹方程;
(2)经过点C的直线l与点P的轨迹交于M、N两点,且点C分所成的比等于2∶3,求直线l的方程.
解析:
先根据圆切线的定义,可得到点P的轨迹是椭圆,然后建立适当的坐标系求出点P的轨迹方程来;根据定比分点坐标公式,找出相关点的坐标来,列出方程组求出点M、N的坐标,从而求出直线方程.
解:
(1)∵|PE|=|PD|,|BD|=|BA|,|CE|=|CA|,
∴|PB|+|PC|=|PD|+|DB|+|CE|-|PE|=|BD|+|CE|=|AB|+|CA|=18>6=|BC|,
∴P点轨迹是以B、C为焦点,长轴长等于18的椭圆.
以B、C两点所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则可设椭圆的方程是=1(a>b>0).
∵a=9,c=3,∴b2=72.
∴P点的轨迹方程是=1(y≠0).
(2)设M(x1,y1)、N(x2,y2),∵C(3,0)分MN所成的比为,
由①②消去y2,得(5-x2)2+(1-)=1,
解得x2=-3,y2=±8,即N(-3,±8).
∴由C、N可得直线的方程是4x+3y-12=0或4x-3y-12=0.
8.如右图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽22m,要求通行车辆限高4.5m,隧道全长2.5km,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
(1)若最大拱高h为6m,则隧道设计的拱宽l是多少?
(2)若最大拱高h不小于6m,则应如何设计拱高h和拱宽l,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小?
(半个椭圆的面积公式为lh,柱体体积为底面积乘以高.结果精确到0.1m)
解析:
当最大拱高h为定值时,隧道设计的拱宽l即为2a;当最大拱高h为变量时,可根据均值定理,得到椭圆面积为最小.
解:
(1)如图建立坐标系,则点P(11,4.5),椭圆方程为=1.将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程,得a=,l=2a=≈33.3.故隧道的拱宽约为33.3m.
(2)由椭圆方程=1,得=1.
因为≥
即ab≥99,且l=2a,h=b,
所以S=lh=≥.
当S取最小值时,有,得a=11,b=,此时,l=2a=22≈31.1,h=b≈6.4.
故当拱高约为6.4m,拱宽约为31.1m时,土方工程量最小.
9.某河上有抛物线型拱桥,当水面距拱顶5m时,水面宽8m,一木船宽4m,高2m,载货后木船露在水面上的部分高为m,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,木船开始不能通航?
解析:
求抛物线方程时,若由已知条件可知曲线是抛物线,一般用待定系数法.
本题中影响通航的因素是高度和宽度,而宽度是首要的,据对称性,可取拱顶为坐标原点,拱桥的对称轴为y轴建立直角坐标系xOy,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),运用待定系数法确定参数p,问题即可获解.
解:
根据题意,建立右图所示的直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),
∵A(4,-5)在抛物线上,
∴42=-2p(-5),p=1.6.
∴x2=-3.2y(-4≤x≤4).
设当水面BB′上涨到与抛物线拱顶相距h米时船开始不能通航,这时木船两侧与抛物线接触,于是可设木船宽BB′的端点B的坐标为(2,y1),由22=-3.2y1,得y1=-,h=|y1|+=|-|+=2(m),所以当水面上涨到与抛物线拱顶相距2m时,船开始不能通航.
10.我们有一种数学方法:
数形结合.如果要采取这种方法,基本上都是要建立适当的坐标系,我们为什么要采取这种方法呢?
答案:
坐标系的创建,在代数和几何之间架起了一座桥梁.利用坐标系,我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置,也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方法来描述,几何图形可以通过代数形式来表达,这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来,又可将先进的代数方法应用于几何学的研究.
建立直角坐标系,数形结合,我们可以解决许多数学问题,如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决.而在其他领域,坐标系与物理、化学等相关学科交织在一起,在日常生活中有着广泛的应用.如飞机航行、炮弹发射问题等等.我们生活中有这样一个例子:
教室的墙壁上挂着一块黑板,它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米,那么学生距墙壁多远时看黑板最清楚(即所张的视角最大)?
我们就可以建立一个平面直角坐标系,运用三角函数的知识加以解决,如图所示.
平面直角坐标系是进一步学习函数、三角函数及其他坐标系的必备基础知识.
走近高考
1.为了得到函数y=2sin(),x∈R的图象,只需把函数y=2sinx,x∈R的图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
B.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
答案:
C
2.如图,已知直线l与半径为1的⊙D相切于点C,动点P到直线l的距离为d,若,建立适当的直角坐标系,求点P的轨迹方程.
解:
∵
∴点P的轨迹是以点D为焦点,l为相应准线的椭圆.
由e=-c=1,解得a=,c=1,b==1.
于是以CD所在直线为x轴,以CD与⊙D的另一交点O为坐标原点建立直角坐标系,所求点P的轨迹方程为+y2=1.
3.在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-)和F2(0,)为焦点、离心率为的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量=+.求:
(1)点M的轨迹方程;
(2)||的最小值.
解:
(1)椭圆方程可写为=1,
式中a>b>0,且
得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为x2+=1(x>0,y>0).
y=2(0 y′=- 设P(x0,y0),因P在C上,有0 设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得x=,y= 由=+得M的坐标为(x,y),由x0、y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为=1(x>1,y>2). (2)∵||2=x2+y2, y2= =4+, ∴||2=x2-1++5≥4+5=9且当x2-1=,即x=>1时,上式取等号. 故||的最小值为3. 2019-2020年高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程成长训练新人教A版选修4-4 夯基达标 1.已知点P(),若点P的极角θ满足-π<θ<π,ρ∈R,下列点中与点P重合的是( ) A. B. C. D. 解析: 当-π≤θ≤π时,ρ≥0(或ρ≤0)时,除极点外,点极坐标分别为唯一.当ρ∈R时,一个点的极坐标只有两个形式: (-,-)或(2,). 答案: D 2.圆ρ=2(cosθ+sinθ)的圆心的坐标是( ) A.(1,) B.() C.() D.(2,) 解析: 圆的方程可化为ρ=2cos(θ-). 这是ρ=2rcos(θ-θ0)形式,它的圆心为O′(r,θ0),本题也可化为直角坐标方程求解. 答案: A 3.极坐标系中,方程ρ=cosθ(θ∈[0,π],ρ∈R)表示的曲线是( ) A.以(,0)为圆心,半径为的上半个圆 B.以(,0)为圆心,半径为的圆 C.以(1,0)为圆心,半径为的上半个圆 D.以(,)为圆心,半径为的圆 解析: 当ρ≥0时,θ∈[0,],方程ρ=cosθ表示上半个圆,半径为,当ρ≤0时,θ∈[,π],方程表示下半个圆,半径为. 答案: B 4.方程ρ=sinθ+cosθ+K的曲线不经过极点,则K的取值范围是( ) A.K≠0 B.K∈R C.|K|>2 D.|K|≤2 解析: 当ρ=0时,sinθ+cosθ=-K,若此方程无解,由|sinθ+cosθ|≤,∴当|K|>2时,方程无解. 答案: C 5.在极坐标系中,点P(2,)到直线ρsin(θ-)=1的距离等于( ) A.1 B.2 C.3 D.1+3 解法一: ∵xP=2cos=,yP=2sin=-1, ∴P点的直角坐标为(,-1). 又直线ρsin(θ-)=1化为直角坐标方程为y-x-1=0. ∴P点到直线的距离为d=|--·-1|=1+. 解法二: 直线ρsin(θ-)=1与直线θ=平行,且距离为1. 过P点作PH垂直于直线 ρsin(θ-)=1,垂足为H,设PH交直线θ=于M,在Rt△POM中,OP=2,∠POM=. ∴PM=2sin=. 故P点到直线ρsin(θ-)=1的距离为1+. 答案: D 6.点M在直线ρcosθ=a(a>0)上,O为极点,延长OM到P使|MP|=b(b>0),则P的轨迹方程是________. 解析: 设M(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则ρ0cosθ0=a,ρ=ρ0+b,θ0=θ代入即可. 答案: (ρ-b)cosθ=a 7.画出极坐标方程(θ-)ρ+(-θ)sinθ=0的图形. 解析: 若所给曲线的极坐标方程比较复杂时,可将其方程分解因式,分解成几个常见曲线方程连乘积的形式,然后分别作出图形,放在一起即为所求方程的曲线. 解: 如图,将原方程分解因式得(θ-)(ρ-sinθ)=0,∴θ-=0, 即θ=为一条射线,或ρ-sinθ=0为一个圆. 8.证明过A(ρ1,θ1)和B(ρ2,θ2)两点的直线l的极坐标方程是 解析: 虽然所证明的方程看起来比较复杂,但是,只要我们理清求曲线方程的步骤,问题是不难解决的.我们可以利用三角形的面积法将这些量互相联系起来. 解: 设M(ρ,θ)为直线AB上一点,如图,∵S△AOB=ρ1ρ2sin(θ2-θ1),S△AOM=ρρ1sin(θ-θ1), S△BOM=ρρ2sin(θ2-θ), 又S△AOB=S△AOM+S△BOM, ∴ρ1ρ2sin(θ2-θ1)=ρρ1sin(θ-θ1)+ρρ2sin(θ2-θ), 即 9.已知圆ρ=2,直线ρcosθ=4,过极点作射线交圆于A,直线于B,求AB中点M的轨迹方程. 解: 设M(ρ,θ),A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2),则有 ∴(2ρ-2)cosθ=4ρ=2secθ+1. 10.从原点O引直线交直线2x+4y-1=0于点M,P为OM上一点,已知|OP|·|OM|=1,求P点的极坐标方程. 解析: 先把直线化为极坐标方程,由于P点的运动与M点有关,可以利用转移法来解决问题.我们可以根据长度之间的关系式找到点P与点M坐标之间的关系. 解: 如图,以O为极点,x轴正方向为极轴建立坐标系后,直线的方程化为2ρcosθ+4ρsinθ-1=0. 设M(ρ0,θ0),P(ρ,θ), 则2ρ0cosθ+4ρ0sinθ-1=0. 又,知 代入2cosθ+4sinθ-1=0, ∴ρ=2cosθ+4sinθ,这是一个圆(ρ≠0). 11.从极点O作圆C: ρ=8cosθ的弦ON,求ON的中点M的轨迹方程. 解析: 在直角坐标系中,求曲线的轨迹方程的方法有直接法、定义法、转移法,在极坐标系中,求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的. 解法一: 如图,圆C的圆心C(4,0),半径r=|OC|=4,连结CM. ∵M为弦ON的中点, ∴CM⊥ON.故M在以OC为直径的圆上. 所以,动点M的轨迹方程是ρ=4cosθ. 解法二: 解法一是定义法,下面我们用转移法来解决这个问题. 设M点的坐标是(ρ,θ),N(ρ1,θ1). N点在圆ρ=8cosθ上, ∴ρ1=8cosθ1.(*) ∵M是ON的中点, ∴将它代入(*)式得2ρ=8cosθ,故M的轨迹方程是ρ=4cosθ. 12.O为已知圆外的定点,M在圆上,以OM为边作正三角形OMN,当点M在圆上移动时,求点N的轨迹方程(O、M、N逆时针排列). 解: 以O为极点,以O和已知圆圆心O′所在射线为极轴,建立极坐标系,如图,设|OO′|=ρ0,圆的半径为r,那么圆的极坐标方程为ρ2-2ρ0ρcosθ+ρ02-r2=0, 设N(ρ,θ),M(ρ1,θ1), ∵M在圆上, ∴ρ12-2ρ0ρ1cosθ1+ρ02-r2=0.① ∵△OMN为正三角形,∴ 代入①得ρ2-2ρ0ρcos(θ-)+ρ02-r2=0,这就是点N的轨迹方程. 走近高考 1.(经典回放)曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化成直角坐标方程为( ) A.x2+(y+2)2=4 B.x2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y2=4 D.(x+2)2+y2=4 解析: 在ρ=4sinθ两边同时乘以ρ得ρ2=4ρ·sinθ. 再利用 可得x2+y2=4y, 即x2+(y-2)2=4. 答案: B 2.(经典回放)在极坐标系中,过点M(2,)且平行于极轴的直线的极坐标方程是________. 解析: 如图所示,设P(ρ,θ)为直线上任一点,连结PO,作PA垂直极轴于点A. 在Rt△PAO中,|PA|=2,∠POA=θ,∴ρsinθ=2. ∴所求的极坐标方程为ρsinθ=2. 答案: ρsinθ=2 3.(经典回放)设有半径为4的圆,它在极坐标系内的圆心的坐标为(4,π),则这个圆的极坐标方程是________. 解析: 如图所示,设P(ρ,θ)为圆上任一点,则在Rt△RPO中, |OR|=8,∠POR=π-θ, ∴ρ=8cos(π-θ),即ρ=-8cosθ. ∴所求圆的极坐标方程是ρ=-8cosθ. 答案: ρ=-8cosθ
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