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高中数学竞赛讲义四几个初等函数的性质
高中数学竞赛讲义(四)──几个初等函数的性质
高中数学竞赛讲义(四)
──几个初等函数的性质一、基础知识
1.指数函数及其性质:
形如y=ax(a>0,
a1)的函数叫做指数函数,其定义域为R,值域为(0,+∞),当0<a<1时,y=ax是减函数,当a>1时,y=ax为增函数,它的图象恒过定点(0,1)。
2.分数指数幂:
。
3.对数函数及其性质:
形如y=logax(a>0,
a1)的函数叫做对数函数,其定义域为(0,+∞),值域为R,图象过定点(1,0)。
当0<a<1,y=logax为减函数,当a>1时,y=logax为增函数。
4.对数的性质(M>0,N>0);
1)ax=Mx=log-aM(a>0,
a1);
2)log-a-(MN)=
log-aM+log-a
N;
3)log-a()=log-aM-
log-aN;4)log-a
Mn=nlog-aM;,
5)log-a
=log-a
M;6)alog-a
M=M;7)log-ab=(a,b,c>0,
a,c1).
5.函数y=x+(a>0)的单调递增区间是和,单调递减区间为和。
(请读者自己用定义证明)
6.连续函数的性质:
若a<b,
f(x)在[a,
b]上连续,且f(a)·f(b)<0,则f(x)=0在(a,b)上至少有一个实根。
二、方法与例题
1.构造函数解题。
例1已知a,b,
c∈(-1,1),求证:
ab+bc+ca+1>0.
【证明】设f(x)=(b+c)x+bc+1
(x∈(-1,1)),则f(x)是关于x的一次函数。
所以要证原不等式成立,只需证f(-1)>0且f
(1)>0(因为-1<a<1).
因为f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0,
f
(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0,
所以f(a)>0,即ab+bc+ca+1>0.
例2(柯西不等式)若a1,
a2,…,an是不全为0的实数,b1,
b2,…,bn∈R,则()·()≥()2,等号当且仅当存在R,使a-i=,i=1,2,…,n时成立。
【证明】令f(x)=
()x2-2()x+=,
因为>0,且对任意x∈R,
f(x)≥0,
所以△=4()-4()()≤0.
展开得()()≥()2。
等号成立等价于f(x)=0有实根,即存在,使a-i=,i=1,2,…,n。
例3设x,
y∈R+,x+y=c,c为常数且c∈(0,
2],求u=的最小值。
【解】u==xy+≥xy++2·
=xy++2.
令xy=t,则0<t=xy≤,设f(t)=t+,0<t≤
因为0<c≤2,所以0<≤1,所以f(t)在上单调递减。
所以f(t)min=f()=+,所以u≥++2.
当x=y=时,等号成立.所以u的最小值为++2.
2.指数和对数的运算技巧。
例4设p,
q∈R+且满足log9p=
log12q=
log16(p+q),求的值。
【解】令log9p=
log12q=
log16(p+q)=t,则p=9
t,q=12t,
p+q=16t,
所以9t+12
t=16t,即1+
记x=,则1+x=x2,解得
又>0,所以=
例5对于正整数a,b,
c(a≤b≤c)和实数x,y,
z,w,若ax=by=cz=70w,且,求证:
a+b=c.
【证明】由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.
所以lga=lg70,lgb=lg70,lgc=lg70,
相加得(lga+lgb+lgc)=lg70,由题设,
所以lga+lgb+lgc=lg70,所以lgabc=lg70.
所以abc=70=2×5×7.
若a=1,则因为xlga=wlg70,所以w=0与题设矛盾,所以a>1.
又a≤b≤c,且a,b,
c为70的正约数,所以只有a=2,
b=5,c=7.
所以a+b=c.
例6已知x1,ac1,a1,c1.且logax+logcx=2logbx,求证c2=(ac)logab.
【证明】由题设logax+logcx=2logbx,化为以a为底的对数,得
,
因为ac>0,
ac1,所以logab=logacc2,所以c2=(ac)logab.
注:
指数与对数式互化,取对数,换元,换底公式往往是解题的桥梁。
3.指数与对数方程的解法。
解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。
值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。
例7解方程:
3x+4
x+5x=6x.
【解】方程可化为=1。
设f(x)=
则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,因为f(3)=1,所以方程只有一个解x=3.
例8解方程组:
(其中x,
y∈R+).
【解】两边取对数,则原方程组可化为①②
把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx,所以[(x+y)2-36]lgx=0.
由lgx=0得x=1,由(x+y)2-36=0(x,
y∈R+)得x+y=6,
代入①得lgx=2lgy,即x=y2,所以y2+y-6=0.
又y>0,所以y=2,
x=4.
所以方程组的解为.
例9已知a>0,
a1,试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围。
【解】由对数性质知,原方程的解x应满足.①②③
若①、②同时成立,则③必成立,
故只需解.
由①可得2kx=a(1+k2),④
当k=0时,④无解;当k0时,④的解是x=,代入②得>k.
若k<0,则k2>1,所以k<-1;若k>0,则k2<1,所以0<k<1.
综上,当k∈(-∞,-1)∪(0,1)时,原方程有解。
三、基础训练题
1.命题p:
“(log-23)x-(log-53)x≥(log-23)-y-(log-53)-y”是命题q:
“x+y≥0”的_________条件。
2.如果x1是方程x+lgx=27的根,x2是方程x+10x=27的根,则x1+x2=_________.
3.已知f(x)是定义在R上的增函数,点A(-1,1),B(1,3)在它的图象上,y=f-1(x)是它的反函数,则不等式|f-1(log2x)|<1的解集为_________。
4.若log2a<0,则a取值范围是_________。
5.命题p:
函数y=log--2在[2,+∞)上是增函数;命题q:
函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R,则p是q的_________条件。
6.若0<b<1,
a>0且a1,比较大小:
|loga(1-b)|_________|loga(1+b).
7.已知f(x)=2+log3x,
x∈[1,3],则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________。
8.若x=,则与x最接近的整数是_________。
9.函数的单调递增区间是_________。
10.函数f(x)=的值域为_________。
11.设f(x)=lg[1+2x+3
x+…+(n-1)x
+nx·a],其中n为给定正整数,n≥2,a∈R.若f(x)在x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围。
12.当a为何值时,方程=2有一解,二解,无解?
四、高考水平训练题
1.函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是_________.
2.已知不等式x2-logmx<0在x∈时恒成立,则m的取值范围是_________.
3.若x∈{x|log2x=2-x},则x2,
x,1从大到小排列是_________.
4.若f(x)=ln,则使f(a)+f(b)=_________.
5.命题p:
函数y=log-2在[2,+∞)上是增函数;命题q:
函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R,则p是q的_________条件.
6.若0<b<1,
a>0且a1,比较大小:
|log-a(1-b)|
_________|log-a(1+b)|.
7.已知f(x)=2+log3x,
x∈[1,3],则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________.
8.若x=,则与x最接近的整数是_________.
9.函数y=的单调递增区间是_________.
10.函数f(x)=的值域为_________.
11.设f(x)=lg[1+2x+3
x+…+(n-1)x
+nx·a],其中n为给定正整数,n≥2,a∈R。
若f(x)
在x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围。
12.当a为何值时,方程=2有一解,二解,无解?
四、高考水平训练题
1.函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是__________.
2.已知不等式x2-logmx<0在x∈时恒成立,则m的取值范围是________.
3.若x∈{x|log2x=2-x},则x2,
x,1从大到小排列是________.
4.若f(x)=ln,则使f(a)+f(b)=成立的a,
b的取值范围是________.
5.已知an=logn(n+1),设,其中p,
q为整数,且(p
q)=1,则p·q的值为_________.
6.已知x>10,
y>10,xy=1000,则(lgx)·(lgy)的取值范围是________.
7.若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,则实数k的取值范围是________.
8.函数f(x)=的定义域为R,若关于x的方程f?
2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数解,则b,
c应满足的充要条件是________.
(1)b<0且c>0;
(2)b>0且c<0;(3)b<0且c=0;(4)b≥0且c=0。
9.已知f(x)=x,
F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0),则F(x)是________函数(填奇偶性).
10.已知f(x)=lg,若=1,=2,其中|a|<1,
|b|<1,则f(a)+f(b)=________.
11.设a∈R,试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。
12.设f(x)=|lgx|,实数a,
b满足0<a<b,
f(a)=f(b)=2f,求证:
(1)a4+2a2-4a+1=0,
b4-4b3+2b2+1=0;
(2)3<b<4.
13.设a>0且a1,
f(x)=loga(x+)(x≥1),
(1)求f(x)的反函数f-1(x);
(2)若f-1(n)<(n∈N+),求a的取值范围。
五、联赛一试水平训练题
1.如果log2[log(log2x)]=
log3[log(log3x)]=
log5[log(log5z)]=0,那么将x,y,
z从小到大排列为___________.
2.设对任意实数x0>
x1>x2>
x3>0,都有log1993+log1993+log1993>klog1993恒成立,则k的最大值为___________.
3.实数x,
y满足4x2-5xy+4y2=5,设S=x2+y2,则的值为___________.
4.已知0<b<1,
00<α<450,则以下三个数:
x=(sinα)logbsina,
y=(cosα)
logbsina,
z=(sinα)
logbsina从小到大排列为___________.
5.用[x]表示不超过x的最大整数,则方程lg2x-[lgx]-2=0的实根个数是___________.
6.设a=lgz+lg[x(yz)-1+1],
b=lgx-1+lg[xyz+1],
c=lgy+lg[(xyz)-1+1],记a,b,
c中的最大数为M,则M的最小值为___________.
7.若f(x)(x∈R)是周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=,则,由小到大排列为___________.
8.不等式+2>0的解集为___________.
9.已知a>1,
b>1,且lg(a+b)=lga+lgb,求lg(a-1)+lg(b-1).
10.
(1)试画出由方程所确定的函数y=f(x)图象。
(2)若函数y=ax+与y=f(x)的图象恰有一个公共点,求a的取值范围。
11.对于任意n∈N+(n>1),试证明:
[]+[]+…+[]=[log2n]+[log3n]+…+[lognn]。
六、联赛二试水平训练题
1.设x,y,
z∈R+且x+y+z=1,求u=的最小值。
2.当a为何值时,不等式log·log5(x2+ax+6)+loga3≥0有且只有一个解(a>1且a1)。
3.f(x)是定义在(1,+∞)上且在(1,+∞)中取值的函数,满足条件;对于任何x,
y>1及u,v>0,
f(xuyv)≤[f(x)][f(y)]①都成立,试确定所有这样的函数f(x).
4.求所有函数f:
R→R,使得xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立。
5.设m≥14是一个整数,函数f:
N→N定义如下:
f(n)=,
求出所有的m,使得f(1995)=1995.
6.求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数f:
f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)·f(y),x,
y∈Q.
7.是否存在函数f(n),将自然数集N映为自身,且对每个n>1,
f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))都成立。
8.设p,
q是任意自然数,求证:
存在这样的f(x)
∈Z(x)(表示整系数多项式集合),使对x轴上的某个长为的开区间中的每一个数x,
有
9.设α,β为实数,求所有f:
R+→R,使得对任意的x,y∈R+,
f(x)f(y)=y2·f成立。
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