第三章 三角函数解三角形.docx
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第三章三角函数解三角形
任意角和弧度制及任意角的三角函数
1.-870°的终边在第几象限
( )
A.一 B.二
C.三D.四
解析:
选C 因-870°=-2×360°-150°.-150°是第三象限角.
4.若点P在角的终边上,且P的坐标为(-1,y),则y等于________.
解析:
因tan=-=-y,∴y=.
答案:
1.
(1)给出下列四个命题:
①-是第二象限角;②是第三象限角;③-400°是第四角限角;④-315°是第一象限角.其中正确的命题有
( )
A.1个 B.2个
C.3个D.4个
(2)如果角α是第二象限角,则π-α角的终边在第________象限.
解析:
(1)-是第三象限角,故①错误.=π+,从而是第三象限角正确.-400°=-360°-40°,从而③正确.-315°=-360°+45°,从而④正确.
(2)由已知+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z),
则-π-2kπ<-α<--2kπ(k∈Z),
即-π+2kπ<-α<-+2kπ(k∈Z),
故2kπ<π-α<+2kπ(k∈Z),
所以π-α是第一象限角.
答案:
(1)C
(2)一
三角函数的定义
典题导入
[例2]
(1)已知角α的终边上有一点P(t,t2+1)(t>0),则tanα的最小值为
( )
A.1 B.2
C.D.
(2)(2012·汕头模拟)已知角α的终边上一点P的坐标为,则角α的最小正值为
( )
A.B.
C.D.
[自主解答]
(1)根据已知条件得tanα==t+≥2,当且仅当t=1时,tanα取得最小值2.
(2)由题意知点P在第四象限,根据三角函数的定义得cosα=sin=,故α=2kπ-(k∈Z),所以α的最小正值为.
[答案]
(1)B
(2)D
2.
(1)(2012·东莞调研)已知角α的终边与单位圆的交点P,则tanα=
( )
A.B.±
C.D.±
解析:
(1)选B 由|OP|2=x2+=1,
得x=±,tanα=±.
已知角α的终边过点P(-8m,-6sin30°),且cosα=-,则m的值为
( )
A.- B.-
C.D.
解析:
选C 由点P(-8m,-6sin30°)在角α的终边上且cosα=-,知角α的终边在第三象限,则m>0,又cosα==-,所以m=.
3.已知角α和角β的终边关于直线y=x对称,且β=-,则sinα=
( )
A.-B.
C.-D.
解析:
选D 因为角α和角β的终边关于直线y=x对称,所以α+β=2kπ+(k∈Z),又β=-,所以α=2kπ+(k∈Z),即得sinα=.
6.已知sinθ-cosθ>1,则角θ的终边在
( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析:
选B 由已知得(sinθ-cosθ)2>1,1-2sinθcosθ>1,sinθcosθ<0,且sinθ>cosθ,因此sinθ>0>cosθ,所以角θ的终边在第二象限.
8.若β的终边所在直线经过点P,则sinβ=________,tanβ=________.
解析:
因为β的终边所在直线经过点P,所以β的终边所在直线为y=-x,则β在第二或第四象限.
所以sinβ=或-,tanβ=-1.
答案:
或- -1
9.如图,角α的终边与单位圆(圆心在原点,半径为1)交于第二象限的点A,则cosα-sinα=________.
解析:
由题图知sinα=,又点A在第二象限,故cosα=-.∴cosα-sinα=-.
答案:
-
12.
(1)设90°<α<180°,角α的终边上一点为P(x,),且cosα=x,求sinα与tanα的值;
(2)已知角θ的终边上有一点P(x,-1)(x≠0),且tanθ=-x,求sinθ,cosθ.
解:
(1)∵r=,∴cosα=,
从而x=,
解得x=0或x=±.
∵90°<α<180°,
∴x<0,因此x=-.
故r=2,sinα==,
tanα==-.
(2)∵θ的终边过点(x,-1),
∴tanθ=-,
又tanθ=-x,∴x2=1,∴x=±1.
当x=1时,sinθ=-,cosθ=;
当x=-1时,sinθ=-,cosθ=-.
2.(教材习题改编)已知sin(π+θ)=-cos(2π-θ),|θ|<,则θ等于
( )
A.-B.-
C.D.
解析:
选D ∵sin(π+θ)=-cos(2π-θ),
∴-sinθ=-cosθ,∴tanθ=.
∵|θ|<,∴θ=.
4.(教材习题改编)如果sin(π+A)=,那么cos的值是________.
解析:
∵sin(π+A)=,∴-sinA=.
∴cos=-sinA=.
答案:
5.已知α是第二象限角,tanα=-,则cosα=________.
解析:
由题意知cosα<0,又sin2α+cos2α=1,
tanα==-.∴cosα=-.
答案:
-
1.
(1)(2012·韶关模拟)若角α的终边落在第三象限,则+的值为
( )
A.3B.-3
C.1D.-1
(2)(2013·肇庆期中)若cosα+2sinα=-,则tanα=________.
解析:
(1)由角α的终边落在第三象限得sinα<0,cosα<0,
故原式=+=+=-1-2=-3.
(2)由
将①代入②得(sinα+2)2=0,
∴sinα=-,cosα=-.∴tanα=2.
答案:
(1)B
(2)2
典题导入
[例3] 在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cosA=-cos(π-B),求△ABC的三个内角.
[自主解答] 由已知得sinA=sinB,cosA=cosB两式平方相加得2cos2A=1,
即cosA=或cosA=-.
(1)当cosA=时,cosB=,又角A、B是三角形的内角,
∴A=,B=,∴C=π-(A+B)=.
(2)当cosA=-时,cosB=-,
又角A、B是三角形的内角,∴A=,B=,不合题意.
综上知,A=,B=,C=.
3.在三角形ABC中,
(1)求证:
cos2+cos2=1;
(2)若cossintan(C-π)<0,求证:
三角形ABC为钝角三角形.
证明:
(1)在△ABC中,A+B=π-C,则=-,
所以cos=cos=sin,
故cos2+cos2=1.
(2)若cossintan(C-π)<0,
则(-sinA)(-cosB)tanC<0,
即sinAcosBtanC<0,
∵在△ABC中,0 ∴sinA>0,或 ∴B为钝角或C为钝角,故△ABC为钝角三角形. 已知sinθ、cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0的两根,则a=________. 解析: 由题意知,原方程判别式Δ≥0, 即(-a)2-4a≥0,∴a≥4或a≤0. ∵ 又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ, ∴a2-2a-1=0, ∴a=1-或a=1+(舍去). 答案: 1- 1.已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则下列不等关系中必定成立的是 ( ) A.sinθ<0,cosθ>0 B.sinθ>0,cosθ<0 C.sinθ>0,cosθ>0D.sinθ<0,cosθ<0 解析: 选B sin(θ+π)<0,∴-sinθ<0,sinθ>0. ∵cos(θ-π)>0,∴-cosθ>0.∴cosθ<0. 2.(2012·广东名校模拟)已知tanx=2,则sin2x+1= ( ) A.0B. C.D. 解析: 选B sin2x+1===. 4.(2013·茂名模拟)已知sin2α=-,α∈,则sinα+cosα= ( ) A.-B. C.-D. 解析: 选B (sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+sin2α=, 又α∈,sinα+cosα>0, 所以sinα+cosα=. 5.已知cos=,且|φ|<,则tanφ= ( ) A.-B. C.-D. 解析: 选D cos=sinφ=, 又|φ|<,则cosφ=,所以tanφ=. 6.已知2tanα·sinα=3,-<α<0,则sinα= ( ) A.B.- C.D.- 解析: 选B 由2tanα·sinα=3得,=3, 即2cos2α+3cosα-2=0,又-<α<0, 解得cosα=(cosα=-2舍去), 故sinα=-. 8.若=2,则sin(θ-5π)sin=________. 解析: 由=2,得sinθ+cosθ=2(sinθ-cosθ),两边平方得: 1+2sinθcosθ=4(1-2sinθcosθ), 故sinθcosθ=, ∴sin(θ-5π)sin=sinθcosθ=. 答案: 9.(2013·中山模拟)已知cos=,则sin=________. 解析: sin=sin =-sin=-cos=-. 答案: - 10.求值: sin(-1200°)·cos1290°+cos(-1020°)·sin(-1050°)+tan945°. 解: 原式=-sin1200°·cos1290°+cos1020°·(-sin1050°)+tan945° =-sin120°·cos210°+cos300°·(-sin330°)+tan225° =(-sin60°)·(-cos30°)+cos60°·sin30°+tan45° =×+×+1=2. 11.已知cos(π+α)=-,且α是第四象限角,计算: (1)sin(2π-α); (2)(n∈Z). 解: ∵cos(π+α)=-,∴-cosα=-,cosα=. 又∵α是第四象限角, ∴sinα=-=-. (1)sin(2π-α)=sin[2π+(-α)]=sin(-α) =-sinα=; (2) = = = = =-=-4. 12.(2012·信阳模拟)已知角α的终边经过点P. (1)求sinα的值; (2)求·的值. 解: (1)∵|OP|=1, ∴点P在单位圆上. 由正弦函数的定义得sinα=-. (2)原式=· ==, 由余弦函数的定义得cosα=.故所求式子的值为. 1.(2012·珠海诊断)已知=-,那么的值是 ( ) A.B.- C.2D.-2 解析: 选A 由于·==-1,故=. 2.若角α的终边上有一点P(-4,a),且sinα·cosα=,则a的值为 ( ) A.4B.±4 C.-4或-D. 解析: 选C 依题意可知角α的终边在第三象限,点P(-4,a)在其终边上且sinα·cosα=易得tanα=或,则a=-4或-. 3.已知A、B、C是三角形的内角,sinA,-cosA是方程x2-x+2a=0的两根. (1)求角A; (2)若=-3,求tanB. 解: (1)由已知可得,sinA-cosA=1.① 又sin2A+cos2A=1, 所以sin2A+(sinA-1)2=1, 即4sin2A-2sinA=0, 得sinA=0(舍去)或sinA=, 则A=或, 将A=或代入①知A=时不成立, 故A=. (2)由=-3, 得sin2B-sinBcosB-2cos2B=0, ∵cosB≠0,∴tan2B-tanB-2=0, ∴tanB=2或tanB=-1. ∵tanB=-1使cos2B-sin2B=0,舍去, 故tanB=2. 1.函数y=tan的定义域是 ( ) A. B. C. D. 解析: 选D ∵x-≠kπ+,∴x≠kπ+,k∈Z. 3.函数y=|sinx|的一个单调增区间是 ( ) A. B. C.D. 解析: 选C 作出函数y=|sinx|的图象观察可知,函数y=|sinx|在上递增. 4.比较大小,sin________sin. 解析: 因为y=sinx在上为增函数且->-,故sin>sin. 答案: > 5.(教材习题改编)y=2-3cos的最大值为________.此时x=________. 解析: 当cos=-1时,函数y=2-3cos取得最大值5,此时x+=π+2kπ,从而x=π+2kπ,k∈Z. 答案: 5 π+2kπ,k∈Z 典题导入 [例1] (1)(2013·湛江调研)函数y=lg(sinx)+的定义域为________. (2)函数y=sin2x+sinx-1的值域为 ( ) A.[-1,1] B. C.D. [自主解答] (1)要使函数有意义必须有 即 解得(k∈Z), ∴2kπ ∴函数的定义域为 . (2)y=sin2x+sinx-1,令sinx=t,则有y=t2+t-1,t∈[-1,1],画出函数图象如图所示,从图象可以看出,当t=-及t=1时,函数取最值,代入y=t2+t-1可得y∈. [答案] (1) (2)C 若本例 (2)中x∈,试求其值域. 解: 令t=sinx,则t∈[0,1]. ∴y=t2+t-1=2-. ∴y∈[-1,1]. ∴函数的值域为[-1,1]. 1. (1)函数y=+的定义域为________. (2)(2012·广东考前适应性训练)函数f(x)=3sin在区间上的值域为 ( ) A.B. C.D. 解析: (1)要使函数有意义 则⇒ 利用数轴可得 函数的定义域是 . (2)当x∈时,2x-∈,sin∈, 故3sin∈即此时函数f(x)的值域是. 答案: (1) (2)B [例2] (2012·华南师大附中模拟)已知函数y=sin,求: (1)函数的周期; (2)求函数在[-π,0]上的单调递减区间. [自主解答] 由y=sin可化为y=-sin. (1)周期T===π. (2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 所以x∈R时,y=sin的减区间为 ,k∈Z. 从而x∈[-π,0]时,y=sin的减区间为 ,. 由题悟法 以题试法2. (1)函数y=|tanx|的增区间为________. (2)已知函数f(x)=sinx+cosx,设a=f,b=f,c=f,则a,b,c的大小关系是 ( ) A.a
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