等比数列求和基础练习题.docx
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等比数列求和基础练习题
等比数列求和基础练习题
考纲要求:
掌握等差、等比数列的求和公式及其应用;掌握常见的数列求和方法.
教材复习
1.基本公式法:
?
1?
等差数列求和公式:
Sn?
a1?
an?
n?
2?
nan?
n?
1?
1?
2d?
q?
1
?
2?
等比数列求和公式:
S?
na1,nn?
?
a
?
1?
1?
q?
a1?
an?
1?
q?
q
1?
q,q?
1?
3?
12?
22?
?
n2?
1
6n?
n?
1?
?
2n?
1?
;?
4?
13?
23?
33?
?
n3
?
1
24?
?
n?
n?
15?
C0?
C1nn
?
C2n?
?
Cn
n?
2n.
2.错位相消法:
给Sn?
a1?
a2?
?
an各边同乘以一个适当的数或式,然后把所得的等
式和原等式相减,对应项相互抵消,最后得出前n项和Sn.
一般适应于数列?
anbn?
的前n向求和,其中?
an?
成等差数列,?
bn?
成等比数列。
3.分组求和:
把一个数列分成几个可以直接求和的数列,然后利用公式法求和。
4.拆项求和:
把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程中消去中间项,
只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有:
?
1?
若?
a11?
11?
n?
是公差为d的等差数列,则a;nan?
1d?
anan?
1?
?
2?
1
2n?
12n?
1?
1?
2?
1?
2n?
1?
1?
2n?
1?
?
;
?
3?
1nn?
1n?
2?
1?
2?
1nn?
1?
1
?
n?
1n?
2?
;
?
?
?
4?
?
1a?
b;
?
5?
?
1
k
;
?
6?
C
m?
1n
?
C
m?
Cm
n?
1n?
1
n
;?
7?
n?
nn?
1n!
;?
8?
a?
S1,
n?
?
?
Sn
?
Sn?
1,n≥25.倒序相加法:
根据有些数列的特点,将其倒写后与原数列相加,以达到求和的目的。
;
6导数法:
灵活利用求导法则有时也可以完成数列求和问题的解答..递推法.8.奇偶分析法.
典例分析:
考点一利用公式、等差等比数列的性质求和
问题1.?
1?
等比数列1,2,22,23,…,求a5?
a6?
a7?
a8?
a9?
a10的值;
?
2?
等差数列?
an?
的前n项和为18,前2n项和为28,求前3n项和.
考点二倒序相加法求和
问题2.求下列数列前n项和:
?
1?
sin21?
?
sin22?
?
sin23?
?
…?
sin289?
;
12?
5Cn?
?
2?
Cn0?
3Cn
n
;?
?
2n?
1?
Cn
问题
x2
3.设f?
,求:
?
1?
f?
f?
f?
f?
f?
f;
1?
x
?
2?
f?
ff?
f.)?
f?
ff2?
的前n项和Sn.
考点四错位相减法求和
*
问题5.“数列?
an?
的前n项和为Sn,a1?
1,an?
1?
2Sn.求数列?
an?
的通项an;求数列?
nan?
的前n项和Tn.
考点五裂项相消法求和
问题6.求和:
1111
1?
22?
33?
4n
问题7.已知二次函数y?
f的图像经过坐标原点,其导函数为
f?
?
6x?
2,数列{an}的前n项和为Sn,点均在函数y?
f的图
像上.求数列{an}的通项公式;设bn?
求使得Tn?
3
,Tn是数列{bn}的前n项和,anan?
1
m?
对所有n?
N都成立的最小正整数m;0
课后作业:
1.设f?
2?
24?
27?
210?
?
23n?
10,则f等于
2n2n?
12n?
32n?
A.B.C.D.
7777
2.明朝程大拉作数学诗:
“远望巍巍塔七层,红光点点加倍增,共灯三百八十一,请问尖
头盏灯”.
3.?
1002?
992982?
972?
?
…?
?
22?
12?
?
4.在数列?
an?
中,an?
12n2?
?
…?
,又bn?
,则数列?
bn?
的前n项n?
1n?
1n?
1an?
an?
1
和为
5.1?
111的结果为1?
21?
2?
31?
2?
3n
走向高考:
3.等比数列及其求和
一、典型例题:
1.若x,2x?
2,3x?
3成等比数列,则x的值为__________.?
4
在2与6之间插入n个数,使它们组成等比数列,则这个数列的公比为________..如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列
为常数数列为非零的常数数列存在且唯一不存在.设等比数列?
an?
的前n项和为Sn,前n项的倒数之和为Tn,则
a1an
SnTn
n?
1
3
的值为.
a1an
n
n
4.在等比数列{an}中,a7?
a11?
6,a4?
a14?
5,则
23
32
?
.
32
23
2323
32
A.B.C.或D.-或-
12
5.等比数列?
an?
的首项a1?
?
1,前n项和为Sn,若
S10S5
?
3132
Sn?
_________.?
)
n
6.已知数列?
an?
是公比q?
1的等比数列,给出下列六个数列:
?
kan?
;?
a2n?
1?
;?
an?
1?
an?
;?
an?
1an?
;?
nan?
;?
an?
.其中仍是等比数列的个数为
3
463.
若2,a,b,c,dlog
9
a?
bc?
d
22
22
=.?
1
8.设?
an?
是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和,若{Sn}是等差数列,则q=_____.1.在正项数列?
an?
中,a?
aa?
21
22
2n
4?
13
n
,则a1?
a2an?
___________.2n?
1
nn
10.已知数列?
an?
的通项公式为an?
3?
2?
2n?
1,求数列?
an?
的前n项和为Sn.
Sn?
3
n?
1
2
?
2
n?
1
?
n?
2
72
11.已知定义在R上的函数f?
0和数列?
an?
满足:
a1?
3,a2?
5,an?
f,
且f?
f?
2
令bn?
an?
1?
an,证明数列{bn}是等比数列;求数列{an}的通项公式.
解?
b1?
a2?
a1?
2?
0,得b2?
a3?
a2?
f?
f?
2?
4?
0由此推知:
bn?
an?
1?
an?
0,…2分
当n?
2时,
bnbn?
1
?
an?
1?
anan?
an?
1
?
f?
fan?
an?
1
?
2an?
an?
1
?
2…4分
?
{bn}是一个首项为2公比为2的等比数列………………………6分
由知:
bn?
b12
n?
1
?
2
n?
1
?
2………7分
n
当n?
N?
,且n?
2时,b1?
b2bn?
1?
2
1?
2
?
2?
2…9分
n
而b1?
b2bn?
1an?
an?
1
?
an?
a1?
b1?
b2bn?
1?
2
1?
2
n
?
2?
2?
an?
2?
1……11分
nn
对n=1时a1?
3也成立,?
an?
2?
1………………12分
3tSn?
Sn?
1?
3t,12.设数列?
an?
的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式:
其中t?
0为
已知常数.
求证:
数列{an}是等比数列;
设?
an?
的公比为f,作数列?
bn?
,使b1?
1,bn?
f,求?
bn?
的通项bn;
3?
2ta23?
2t
?
又3tSn-Sn-1=3t①ta13t
anan?
1
?
2t?
33t
,
3tSn-1-Sn-2=3t②①-②得
3tan-an-1=0∴
所以{an}是一个首项为1,公比为
2t?
33t
的等比数列.
由f=
2t?
33t
?
23
?
1t
,得bn=f?
23
+bn-1.∴bn=1+
23
=
2n?
13
由bn=
2n?
13
,可知{b2n-1}和{b2n}是首项分别为1和
53
,公差均为
43
的等差数列于是
b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1=b2+b4+b6+…+b2n=-
43
=-
4132
n=-
49
二、练习题:
1.已知正项数列?
an?
为等比数列,且a2a4?
2a3a5?
a4a6?
25,则a3?
a5?
_______.2.等差数列?
an?
的公差d?
0,且a1,a5,a17成等比数列,则
a1?
a5?
a17a2?
a6?
a18
=.
2629
3.设等比数列?
an?
的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,则数列的公比q?
_________.
?
3.解:
若q=1,则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1.因a1≠0,得S3+S6≠2S9,显然q=1与题设矛盾,故q≠1.
由S3+S6=2S9,得
2
a11?
q
3
?
a11?
q
6
?
2a11?
q
9
,整理得q3=0,由q≠0,得
2q6-q3-1=0,从而=0,因q3≠1,故q3=-
12
3
,所以q=-
42
.
4.等比数列的前n项的乘积记为Mn,若M10?
20,M20?
10,则M30?
_______..设An为数列?
an?
的前n项和,An=
18
32
,且bn?
4n?
3.
求数列{an}的通项公式;若d∈{a1,a2,a3,…,an,…}∩{b1,b2,b3,…,bn,…},则称d为数列{an}与{bn}
的公共项,将数列{an}{bn}的公共项,按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列
2n?
1
{dn},求证:
数列?
dn?
的通项公式为:
dn?
.
5.解:
由已知An=
32
,当n=1时,a1=
32
,解得a1=3,
当n≥2时,an=An-An-1=
32
,由此解得an=3an-1,即
anan?
1
=3.故an=3n;
证明:
由计算可知a1,a2不是数列{bn}中的项,因为a3=27=4×6+3,所以d1=27是数列{bn}中的第6项
设ak=3k是数列{bn}中的第n项,则3k=4m+3,
因为ak+1=3k+1=3·3k=3=4+1,所以ak+1不是数列{bn}中的项.而ak+2=3k+2=9·3k=9=4+3,所以ak+2是数列{bn}中的项由以上讨论可知d1=a3,d2=a5,d3=a7,…,dn=a2n+1所以数列{dn}的通项公式是dn=a2n+1=32n+1
练习题答案:
1..629
3.?
2
4.
18
5.an?
3n
等比数列性质与求和
1、已知数列?
1,a1,a2,?
4成等差数列,?
1,b1,b2,b3?
4成等比数列,则
a2?
a1
的值为b2
A、
11111B、—C、或—D、2224
,
2、等比数列{an}中a1?
1,公比q?
1,若am?
a1a2a3a4a5,则m=
A、B、10C、11D、12
3、已知{an}是等比数列,且an?
0,a2a4?
2a3a5?
a4a6?
25,那么a3?
a5?
A.10B.1C.D.6
4、设{an}是正数组成的等比数列,公比q?
2,且a1a2a3?
a30?
2,那么a3a6a9?
a30?
A.10
B.20
2
30
C.1D.215
5、等比数列{an}中,an?
0,a1,a99为方程x?
10x?
16?
0的两根,则a20?
a50?
a80的值为C.25D.?
64A.32B.64
6、等比数列?
an?
的各项均为正数,且a5a6?
a4a7=18,则log3a1?
log3a2log3a10=
A.1B.10C.D.2+log35、Sn是公差不为0的等差?
an?
的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,则
A.B.C.8D.10
8、等比数列{an}的首项为1,公比为q,前n项的和为S,由原数列各项的倒数组成一个新数列{的前n项的和是
a2?
a3
等于a1
11},由{anan
1
A.
5
1Sqn
B.nC.n?
1D.
qSqS
9、公差不为零的等差数列?
an?
的前n项和为Sn,若a4是a3与a7的等比中项,S10?
60,则S8等于A、B、3C、3D、40
10、已知等比数列{an}的公比为2,前4项的和是1,则前8项的和为A.1B.1C.19D.21
11、设等比数列{an}的前n项和为sn。
若a1?
1,s6?
4s3,则a4=12、设等比数列{an}的前n项和为Sn,8a2?
a5?
0,则
S5
=S2
13、设等比数列{an}的前n项和为Sn,若
S6S
?
3,则9?
S3S6
14、等比数列{an}的公比q?
0,已知a2=1,an?
2?
an?
1?
6an,则{an}的前4项和S4=15、等比数列?
an?
的前n项和Sn=a?
2?
a?
2,则an=_______.
n
16、记等比数列?
an?
的前n项和为Sn,已知S4=1,S8=17,求?
an?
的通项公式。
17、在等比数列?
an?
中,a1?
1,公比q?
0,设bn?
log2an,且b1?
b3?
b5?
6,b1b3b5?
0.求证:
数列?
bn?
是等差数列;
求数列?
bn?
的前n项和Sn及数列?
an?
的通项公式;试比较an与Sn的大小.
18、设有数列{an},a1?
52
,若以a1,a2,a3,?
an为系数的二次方程an?
1x?
anx?
1?
0都有根?
?
,且满足6
33?
?
1。
求证:
数列{an?
是等比数列。
求数列{an}的通项an以及前n项和Sn。
12
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