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运筹学课件第五章整数规划
第五章整数规划
、学习目的与要求
1、熟悉分支定界法和割平面法的原理及其应用;
2、掌握求解0――1规划问题的隐枚举法;
3、掌握求解指派问题的匈牙利法。
二、课时9学时
第一节整数规划的数学模型及解的特点
整数规划IP(integerprogramming):
在许多规划问题中,如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。
例如,所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等,这样的规划问题称为整数规划,简记IP。
松弛问题(slackproblem):
不考虑整数条件,由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整
数规划问题的松弛问题。
若松弛问题是一个线性规化问题,则该整数规划为整数线性规划(integerlinearprogramming)。
一、整数线性规划数学模型的一般形式
n
max(或min)z八cjxj
ja
"n
ZaijXj<(或=,或X)bi(i=1,2,…,m)
j=1
s.t.」XjX0(j=1,2,…,n)
X-X2,…,xn中部分或全部取整数
I
整数线性规划问题可以分为以下几种类型
1、纯整数线性规划(pureintegerlinearprogramming):
指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。
有时,也称为全整数规划。
2、混合整数线性规划(mixedintegerlinerprogramming):
指决策变量中有一部分必须取整数值,另一部分
可以不取整数值的整数线性规划。
3、0—1型整数线性规划(zero—oneintegerlinerprogramming):
指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。
二、整数规划的例子
例1某服务部门各时段(每2h为一时段)需要服务员的人数见下表。
按规定,服务员连续工作8h(即
四个时段为一班)。
现在求安排服务员的工作时间,使服务部门服务员总数最少?
时段
1
2
3
4
5
6
7
8
服务员最少数目
10
8「
9
11
P13
8
5
3
解:
设在第j时段开始上班的服务员的人数为x。
问题的数学模式略。
例2现有资金总额为B。
可选择投资项目有n个,项目j所需投资额和预期收益分别为aj和Cj(j=1,2,,,
n)。
此外由于种种原因,有三个附加条件:
若选择项目1就必须选择项目2。
反这则不一定;第二,项
目3和项目4中至少选择一个;第三,项目5、项目6和项目7恰好选择两个。
应当怎样选择投资项目,才能使预期收益最大?
解:
每一个投资项目都有被选择和不被选择两种可能,为此令
项目j投资
项目j不投资
(j=1,2,,n)
这样,问题可表示为
n
maxz八cjXj
j2
严n
ZajXj=B
j三
X2兰Xi
S.t. X5+X6+X7=2 Xj=0或1(j=1,2,…,n) 例3工厂Ai和A2生产某种物资。 由于该种物资供不应求,故需要再建一家工厂。 相应的建厂方案有A3和A4两个。 这种物资的需求地有Bi,B2,B3,B4四个。 各工厂年生产能力、各地所需求量、各厂至各 需求地的单位物资运费Cij(i,j=i,2,,,4)见下表。 B1 B2 B3 B4 生产能力 (kt/年) A1 2 9 3 4 400 A2 8 3 5 7 600 A3 7 6 1 2 200 A4 4 5 2 5 200 需求量(kt/年) 350 400 300 150 A3 工厂A3或A4开工后,每年的生产费用估计分别为1200万元或1500万元。 现要决定应该建设工厂 还是A4,才能使今后每年的总费用(即全部物资运费和新工厂生产费用之和)最少? 解: 这是全个物资运输问题,其特点是事先不能确定应该建A3或A4中哪一个,因而不知道新厂投产 后的实际生产费用。 引入0—1变量 1若建工厂A3 y=< 0若建工厂a4 再设Cij为由Ai运往Bj的物资数量(i,j=1,2,,,4),单位是千吨,z表示总费用。 问题数学模型为 44 minz-、q刍y1200(1-y)1400 ji 送\=350 i1 4 Z£=400 i丄 4 送金=300 i亠 4 瓦仏=150 i丄4 s.t.X[j=400 i丄 工X2j=600 4 送X3j=200y 4 XX4j=200(1—y) i丄 XjjK0(i,j=1,2,3,4),y=0或1 三、整数规划的解的特点 相对于松弛问题而言,二者之间既有联系,又有本质的区别 (1)整数规划问题的可行域是其松弛问题的一个子集 (2)整数规划问题的可行解一定是其松弛问题的可行解 (3)一般情况下,松弛问题的最优解不会刚好满足变量的整数约束条件,因而不是整数规划的可行解,是最优解 (4) 甚至也不 对松弛问题的最优解中非整数变量简单的取整,所得到的解不一定是整数规划问题的最优解, 一定是: 整数规划问题的可行解 (5)求解还是要先求松弛问题的最优解,然后用分支定界法或割平面法。 例4考虑下面的整数规划问题: max=x14x2 考虑纯整数规划问题 第二节解纯整数规划的割平面法 n maxz八cjXj j=i ZaijXj旳(i=1,2,…,m) j壬 s.t.«Xj30(j=1,2,…,n) Xi,X2,…,Xn取整数 I 设其中aij(i=1,2,,,m,j=1,2,,,n)和b(j=1,2,,,n)皆为整数。 纯整数规划的松驰问题是一个线性规划问题,可以用单纯形法求解。 在松驰问题的最优单纯形表中, 记Q为m个基变量的下标的集合, K为n-m个非基变量的下标的集合,则m个约束方程可表示为 而对应的最优解X*=(/*,x2* T Xn*) ,其中 bjjEQ Xj*=« 0j乏K 若bj皆为整数,则此解就是纯整数规划的最优解。 否则不是原整数规划最优解。 割平面法基本思路: 通过增加新的约束来切割可原问题伴随规划的可行域,使它在不断缩小的过程中, 将原问题的整数最优解逐渐暴露且趋于可行域极点的位置,这样就有可能用单纯形法求出。 每次增加的新的约束条件应当具备两个基本性质: 一是已获得的不符合整数要求的线性规划最优解不 满足线性约束条件,从而不可能在以后的解中再出现;二是凡整数可行解均满足线性约束条件,因而整数最优解始终被保留在每次形成的线性规划可行域中。 为此若bi0(i。 •Q)不是整数,在 (1)式中的约束方程为 Xi。 •a-jXj (2) j& 其中xi0,Xj(j€K)应为整数,按bi0(i°EQ)不是整数,ai0,j可能是整数也可能不是整数。 分解ai0,j和bi0成两个部分。 一部分是不超过该数的最大整数,另一部分是余下的小数。 即 a.,j=Nio,j-fio,j,Nio,j bi。 =Ni°fio,Nio : : fio-1 (2)式变为 Xi0'Ni0,jXj-Ni0二fi0-'fi°,jXj j: KjIK 因此有fi一送fiiXj<0,即 j-K -7fio,jXj<-fio(3) jWK 上式满足上面要求的两个性质(证明见书P128)。 实际解题时,经验表明若从最优单纯表中选择具有最大(小)数部分的非整分量所在行构造割平面约 束条件,往往可以提高切割效果,减少切割次数。 例5用割平面法解整数规划问题 maxz=3Xi -X2 3x1 -2x2 <3 5x1 +4x2 >10 <2Xi +X2 <5 Xi,X2 I >0且为整数 解: 将原整数规划问题称为原问题Ao,不考虑整数条件的松驰问题为问题Bo,求解过程如下: 1.用单纯形法求解Bo,得最优单纯形表 Cj 3 -1 0 0 0 Cb 基 b X1 X2 X3 X4 X5 3 X1 13/7 1 0 1/7 0 2/7 -1 X2 9/7 0 1 -2/7 0 3/7 0 X4 31/7 0 0 -3/7 1 22/7 Cj-Zj 0 0 -5/7 0 -3/7 2.求一个割平面方程 在最终表上任选一个含有不满足整数条件基变量的约束方程。 若选X! ,则含X! 的约束方程为: 13..6 _7x3_7X5 上式加入松驰变量X6得 Cj 3 -1 0 0 0 0 Cb 基 b X1 X2 X3 X4 X5 X6 3 X1 13/7 1 0 1/7 0 2/7 0 -1 X2 9/7 0 1 -2/7 0 3/7 0 0 X4 31/7 0 0 -3/7 1 22/7 0 0 X6 -6/7 0 0 -1/7 0 -3/7 1 Cj-Zj 0 0 -5/7 0 -3/7 0 13 7X3_"FX5X6 6 7 3、将上述约束方程重新组合。 用对偶单纯形法解新线性规划 3 X1 1 1 0 0 0 0 1 -1 X2 5/4 0 1 0 -1/4 0 -5/4 0 X3 5/2 0 0 1 -1/2 0 -11/2 0 X5 7/4 0 0 0 1/4 1 -3/4 Cj-Zj 0 0 0 -1/4 0 -17/4 113 —4X4~4X6X7——~ 类似的得新割平面约束条件 再解新线性规划得 Cj 31 -1 0 0 0 0 0 Cb 基 b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 3 X1 1 1 0 0 0 0 1 0 -1 X2 2 0 1 0 0 0 -1 -1 0 X3 4 0 0 1 0 0 -5 -2 0 X5 1 0 0 0 0 1 -1 1 0 X4 1 0 0 0 1 0 1 -4 Cj-Zj 0 0 0 0 0 -4 -1 得最优解。 割平面法解整数规划问题的基本步骤 第一步: 用单纯形法解松弛问题,得到最优单纯形表。 第二步: 求一个割平面方程,加到最优单纯形表中,用对偶单纯形法继续求解。 第三步: 若没有得到整数最优解,则继续作割平面方程,转第二步。 第三节分支定界法 分枝定界法是一种隐枚举法或部分枚举法,它不是一种有效算法,是枚举法基础的改进。 分枝定界法的关键是分支和定界。 分支定界法的主要思路是首先求解整数规划的伴随规划,如果求得的最优解不符合整数条件,则增加 新约束一一缩小可行域;将原整数规划问题分支一一分为两个子规划,再解子规划的伴随规划……,最后 得到原整数规划的伴随规划。 这就是所谓的分支” 所谓定界”是在分支过程中,若某个后继问题恰巧获得整数规划问题的一个可行解,那么,它的目标函数值就是一个界限”,可以作为衡量处理其它分支的一个依据。 分支”为整数规划最优解的出现创造了条件,而定界”则可以提高搜索的效率。 例用分支定界法求解整数规划问题 maxz= 石+X2 9 5i Xi +——X2 <— i4 i4 J i -2x1 +X2 <- 3 x1,x^0且为整数 解: 记整数规划为(IP),它的松驰问题为(LP)。 (1)首先解该整数规划的松驰问题为(LP),如图所示,用图解法 不符合整数要求,可任选一个变量,如Xi=3/2进行分支。 由于最接近3/2的整数是1和2,因而可以构造 两个约束条件Xi>2和Xi<1,分别并入原来的约束条件,形成两个分支Si、Si,松驰问题分别记为(LPi)、 (LP2)。 (LPi)其最优解为X*=(2,23/9)'图中点B,Z*=4i/9;(LP2)其最优解为X*=(i,7/3);图中点C,Z*=i0/3;都不整数解,因4i/9>7/3,优先Si分枝。 因X2=23/9,进行分支。 由于最接近23/9的整数是2和3,因而可以构造两个约束条件X2>3和 2,分别并入原来的约束条件,形成两个分支Sii、Si2,松驰问题分别记为(LPii)、(LPi2)。 (LPii)其最 优解为为空;(LPi2)其最优解为X*=(33/i4,2)'图中点D,Z*=6i/i4;不是整数解。 E(3,1) 因xi=33/14,进行分支。 由于最接近33/14的整数是2和3,因而可以构造两个约束条件xi>3和Xi<2,分别并入原来的约束条件,形成两个分支Si21、Si22,松驰问题分别记为(LPi21)、(LP122)。 (LP121) 其最优解为X*=(3,1)'图中点E,Z*=4;(LP122)其最优解为X*=(2,2)'图中点F,Z*=4。 因此有两个最优解,分别是(2,2)、(3,1),最大值为4。 分支定界法的计算步骤 第一步: 计算原问题目标函数值的初始上界 第二步: 计算原问题目标函数值的初始下界 第三步: 增加约束条件将原问题分支 第四步: 分别求解一对分支 第五步: 修改上、下界 第六步: 比较上、下界大小,如有上界=下界,停止计算,找到最优解,否则转3 第四节o—1型整数规划 0—1型整数规划中0—1变量作为逻辑变量(logicalvariable),常被用来表示系统是否处于某一特定状态, 或者决策时是否取某个方案。 1当决策取方案P时 X=< 10当决策不取方案P时 X. 当问题含有多项要素,而个要素的两种选择时,可用一组0—1变量来描述。 ‘1若Ej选择Aj Xj='0若Ej不选择Aj(j=1,2,…,心 一、0—1型整数规划的典型应用问题 例1: 背包问题: 一个登山队员,他需要携带的物品有: 食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、 通信器材等。 每种物品的重量合重要性系数如表所示。 设登山队员可携带的最大重量为25kg,试选择该队员 所应携带的物品。 序号 1 2 3 4 5 6 7 物品 食品 氧气 冰镐 绳索 帐篷 照相器材 通信设备 重量/Kg 5 5 2 6 12 2 4 重要性系数 20 15 18 14 8 4 10 解: 引入0—1变量x,Xi=1表示应携带物品i,,Xi=0表示不应携带物品I maxz=20xt亠15x2亠18x3亠14x4亠8x5亠4x§亠10x7 5人+5x2+2x3+6X4+12x5+2x6+4x7兰25xi=0或1,i=1,2,...,7 上述问题就是一个标准的整数规划问题,解法。 。 。 。 。 。 。 。 比较每种物品的重要性系数和重量的比值,比值大的物品首先选取,直到达到重量限制 解得: X*=(1,1,1,1,0,1,1)'Z*=81 例2: 集合覆盖和布点问题 某市消防队布点问题。 该市共有6个区,每个区都可以建消防站,市政府希望设置的消防站最少,但 必须满足在城市任何地区发生火警时,消防车要在15min内赶到现场。 据实地测定,各区之间消防车行驶 的时间见表,请制定一个布点最少的计划。 地区1 地区2 地区3 地区4 地区5 地区6 地区1 0 10 16 28 27 20 地区2 10 0 24 32 17 10 地区3 16 24 0 12 27 21 地区 4 28 32 12 0 15 25 地区 5 27 17 27 15 0 14 地区 6 20 10 21 25 14 0 解: 弓I入0—1变量x,xi=1表示在该区设消防站,,x=0表示不设 min X Z=Xt +x2 +x2+x3+x 4+X5*X6 >1 X1 +x2 +X6 >1 X3+X4 >1 * X3+X4 +X5 >1 X4 +X5+X6 >1 X2 +X5+X6 >1 x i=1或0 解得: X*=(0,1,0,1,0,0)'Z*=2 二、特殊约束的处理 1•含有相互排斥约束条件的问题: 建模时,有时会遇到相互矛盾的约束,而模型只能两者取一,例如下面两个约束 f(x)一3-0 (1) f(x)<0 (2) 这时引入一个0—1变量y,及一个很大的正数M,原式可化为: -f(x)3-My(3) f(x)-M(1-y)(4) y=0时, (1)与⑶相同,(4)自然满足,实际上不起作用 y=1时,⑷与⑵相同,(3)自然满足,实际上不起作用 对于形似f(x)Za(a》0),可以用以下一对约束代替 f(x)_a f(x)_-a 引入0—1变量后,约束可改为 —f(x)a_My f(x)•a_M(1-y) 2.从p个约束条件中恰好选择q个的问题 模型希望在下列p个约束中,恰在此时好有q个约束有效: n 、aijXj j吐 引入p个0—1整数变量yi,i=1,2,…p 则上式可改写为: (i=1,2,…,p) '1若选择第i个约束条件 yi=」 0若不选择第i个约束条件 n aijXj込biMyi j丄 -p(i二1,2,…,p) yi二p-q i三 三、隐枚举法求解小规模0-1规划问题 例1隐枚举法求解小规模0-1规划问题 max z =3x<,-2x2 +5x 3 乂 + 2x2- X3 < 2 & + 4x2+ X3 < 4 + X2 < 3 4x2+ X3 < 6 ix1 _3 =0或1 解: (1)先用试探的方法找出一个初始可行解,如X1=1,X2=X3=0 则Xo=(1,O,O)'Zo=3 (2)对原有约束增加一个过滤条件,加到原约束条件中 3X1-2X25X3_3 (3)再求解上述问题 按照枚举法得思路,依次检查各种变量得组合。 每找到一个可行解,求出它的目标函数乙,Z1>Zo,则 将过滤条件换成Z1。 求解过程见下表,表中 (1), (2),(3),(4)为原问题得约束条件,(5)为增加的过滤条件,"X”代表不满足约 束,"V”代表满足条件,空格代表不需要计算。 占 八、、 过滤条件 约束 Z值 (5) (1) (2) (3) (4) 3x^-2x2+5X3色3 (0,0,0) X (0,0,1) V V V V V 5 3Xt—2x2+5x3狂5 (0,1,0) X (0,1,1) X (1,0,0) X (1,0,1) V V V V V 8 3Xt_2x2+5x3工8 (1,1,0) X (1,1,1) X 这种对过滤条件的改进,可以减少计算量。 注: 一般常重新排列Xi的顺序使目标函数中Xi的系数是递增(不减)的,在上例中,改写 z=3x1-2x25x3--2x23x15x3 因为—2,3,5是递增的,变量(x2,x1,x3)也按下述顺序取值: (0,0,0),(0,0,1),•这样,最优解容易比较早 的发现,再结合过滤条件的改进,更可使计算简化。 例隐枚举法求解小规模0—1规划问题 minz=3x_,亠7x2—x3亠x4 2x^-2x2十x3—x431 x^-x2+6x3+4x4K8 <5Xt十3x2十x435 Xt」=0或1 解: 采用上例的方法解此例共需36次运算,为了进一步减少运算量,按目标函数中各变量系数的大小顺 序重新排列各变量,以使最优解有可能较早出现。 对于最大化问题,可按由小到大的顺序排列,最小化问题则相反。 本例可写为: minz=7x2亠3xt亠x4—x3 -X2+ 2X1— X4+ 21 _X2+ X1+ 4x4+ 6x3启8 3x2+ 5X! + X4 >5 =0或1 由于本题过滤条件不好选,所以开始不设过滤条件 占 八、、 过滤条件 约束 Z值 (X2,X1,X4,X3) (4) (1) (2) (3) (0,0,0,0) X (0,0,0,1) V X (0,0,1,0) X (0,0,1,1) X (0,1,0,0) V X (0,1,0,1) V X (0,1,1,0) V X (0,1,1,1) V V V 3 (1,0,0,0) X (1,0,0,1) X (1,0,1,0) X (1,0,1,1) X (1,1,0,0) X (1,1,0,1) X (1,1,1,0) X (1,1,1,1) X 此例的最优解X*=(0,1,1,1)'m
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- 运筹学 课件 第五 整数 规划
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